Differential equations

歡迎來到微分方程章節！

你好！這章聽起來可能很複雜，但它其實是純數學（Pure Mathematics）中最強大的工具之一。微分方程（Differential Equations, DEs）簡而言之，就是包含「導數」（變化率）的方程式。

如果微分是用來計算某個量的變化率，那麼微分方程就是讓你從變化率「反推」，找出原本的量或函數！

為什麼這很重要？ 微分方程是描述「變化」的語言。幾乎所有隨時間變化的現象都可以用它來建模，包括人口增長、放射性衰變、疾病傳播以及物理學中的運動問題。

在本單元（P2）中，我們將重點解決最簡單但也最常見的一階微分方程類型：變量可分離（Separable Variables）的方程。

---

1. 理解微分方程 (DEs)

1.1 什麼是微分方程？

微分方程是一種將未知函數與其自變量（如 \(x\) 或 \(t\)）以及該函數的一個或多個導數聯繫起來的方程式。

例子：
\(\frac{dy}{dx} = 3x^2\)（很簡單，只需對右側進行積分即可求解！）
\(\frac{dy}{dx} = 5y\)（導數取決於函數本身——這就是一個微分方程！）

1.2 微分方程的階數 (Order)

微分方程的階數是指方程中出現的最高導數的階數。

• 一階 (First Order)： 只涉及一階導數 \(\frac{dy}{dx}\)（或 \(\frac{dx}{dt}\)）。這是我們在 P2 中重點關注的類型。
• 例子： \(\frac{dy}{dx} = 4y + \cos x\)
• 二階 (Second Order)： 涉及二階導數 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。（P2/A2 數學 9660 課程大綱不要求。）

重點總結： 在這一章，請記住我們只需要解決變量可以分離的一階微分方程。

---

2. 建立簡單的微分方程（情境應用）

在求解之前，你必須能夠將關於變化率的現實描述轉換為數學上的微分方程。這通常涉及「正比」的概念（即變化率與某個量成正比）。

2.1 變化率與正比

在建模問題中，變化率通常是相對於時間 \(t\) 而言的。如果 \(X\) 是該物理量（例如人口、質量、溫度），則其變化率為 \(\frac{dX}{dt}\)。

翻譯口訣：

• 「\(X\) 的增加率...」意味著 \(\frac{dX}{dt}\) 為正。
• 「\(X\) 的減少率...」意味著 \(\frac{dX}{dt}\) 為負。
• 「...與 \(Y\) 成正比...」意味著 \(= kY\)，其中 \(k\) 是一個常數。

2.2 增長與衰減模型

P2 中最常見的模型是變化率與該量本身成正比。這描述了指數增長或指數衰減（例如細菌繁殖、放射性物質衰變）。

敘述： 量 \(P\) 的增加率與該時刻 \(P\) 的值成正比。

建立 DE：

\(\frac{dP}{dt} \propto P\)
\(\frac{dP}{dt} = kP\)

如果 \(k\) 為正，則是增長；如果 \(k\) 為負，則是衰減。

你知道嗎？ 這個微分方程 \(\frac{dP}{dt} = kP\) 可以直接導出標準的指數公式 \(P = Ae^{kt}\)，其中 \(A\) 是初始數量。

重點總結： 尋找關鍵字「變化率」(\(\frac{d}{dt}\)) 和「成正比」(\(k\)) 來構建你的方程式。

---

3. 解析解法：變量分離法

如果一開始覺得棘手，請別擔心——一旦掌握了步驟，求解變量可分離的微分方程是一個簡單且重複的過程！

如果一個一階微分方程可以寫成以下形式，我們稱之為可分離的：

\(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\)

這意味著你可以將 \(x\) 項（以及 \(dx\)）與 \(y\) 項（以及 \(dy\)）分開。

3.1 求解可分離 DE 的分步方法

讓我們用一個明確的例子：求解 \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}\)。

步驟 1：分離變量

將所有包含 \(y\) 的項（包括 \(dy\)）移到左邊，將所有包含 \(x\) 的項（包括 \(dx\)）移到右邊。在分離目的下，我們將 \(dy\) 和 \(dx\) 視為獨立的部分。

原始方程： \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y}\)
分離後： \(y \, dy = x^2 \, dx\)

步驟 2：兩邊積分

現在，對分離後的方程兩邊進行積分：

\(\int y \, dy = \int x^2 \, dx\)

關鍵規則： 你只需要一個積分常數 \(+C\)，並且建議始終將其加在包含自變量（通常是 \(x\) 或 \(t\)）的那一側。

積分結果：
\(\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{3}x^3 + C\)

這個結果就是通解 (General Solution)。

步驟 3：整理得出通解（如有需要）

通常題目會要求你用 \(x\) 表示 \(y\)。你可能需要對常數 \(C\) 進行代數運算。

整理：
\(y^2 = \frac{2}{3}x^3 + 2C\)

因為 \(2C\) 仍然是一個任意常數，我們可以簡化記號，令 \(A = 2C\)。

通解： \(y^2 = \frac{2}{3}x^3 + A\)

3.2 處理指數與對數類的 DE

在求解與增長/衰減相關的 DE（如 \(\frac{dy}{dx} = ky\)）時，積分通常涉及 \(\ln\) 和 \(e\)。處理常數 \(C\) 的代數變換時要小心。

例子： 求解 \(\frac{dy}{dt} = 5y\)

步驟 1：分離
\(\frac{1}{y} \, dy = 5 \, dt\)

步驟 2：積分
\(\int \frac{1}{y} \, dy = \int 5 \, dt\)
\(\ln |y| = 5t + C\)

步驟 3：整理（取指數）
\(|y| = e^{5t + C}\)
\(|y| = e^{5t} \cdot e^C\)

因為 \(e^C\) 是一個正的常數，我們用 \(A\) 來替換它：\(A = e^C\)。同時去掉絕對值符號（因為 \(A\) 可以包含符號的正負選擇）。

通解： \(y = Ae^{5t}\)

重點總結： 當你將 \(\frac{1}{y}\) 積分得到 \(\ln|y| = f(x) + C\) 時，最終的代數形式通常會變成 \(y = Ae^{f(x)}\)，其中 \(A\) 是一個整合了 \(e^C\) 和符號項的新常數。

---

4. 尋找特解 (Particular Solution)

通解包含任意常數 \(C\)（或 \(A\)），它描述了一族滿足微分方程的曲線。

特解是這族曲線中單一的、唯一的曲線。要找到它，你需要一個初始條件 (Initial Condition) 或邊界條件——即解必須經過的一個特定點 \((x_0, y_0)\)。

4.1 尋找 C 的過程

使用 3.1 節中的例子：\(y^2 = \frac{2}{3}x^3 + C\)。假設初始條件為當 \(x=0\) 時，\(y=2\)。

步驟 1：將初始條件代入通解。

將 \(x=0\) 和 \(y=2\) 代入方程式：

\(2^2 = \frac{2}{3}(0)^3 + C\)
\(4 = 0 + C\)
\(C = 4\)

步驟 2：寫出特解。

將 \(C\) 的值代回通解。

\(y^2 = \frac{2}{3}x^3 + 4\)

如果題目要求，將 \(y\) 獨立出來：\(y = \sqrt{\frac{2}{3}x^3 + 4}\)

重點總結： 如果問題要求「求出解」，則意味著它需要特解，你必須利用給定的初始條件算出 \(C\)。

---

5. 實際問題的應用

求解變量可分離微分方程的能力，讓我們能夠對現實世界的情境進行建模，通常涉及人口、濃度或金融等領域中的指數增長或衰減。

5.1 人口增長示例

人口 (\(P\)) 增長的簡化模型通常是 \(\frac{dP}{dt} = kP\)。

如果一個城鎮的人口每年增加 10%，則增加率與當前人口成正比 (\(k=0.1\))。

如果起始人口（在 \(t=0\) 時）為 5000，我們已知通解為 \(P = Ae^{kt}\)。
當 \(t=0\) 時，\(P=5000\)：
\(5000 = Ae^{k(0)} \implies 5000 = A(1)\)
因此，\(A=5000\)。

特解： \(P = 5000e^{0.1t}\)

現在我們可以用這個公式來預測未來任何時間 \(t\) 的人口。

5.2 衰減示例（物理/化學）

放射性物質 (\(M\)) 的衰變速率與剩餘質量成正比。由於是衰減，常數 \(k\) 為負。

DE： \(\frac{dM}{dt} = -kM\)

求解後得到 \(M = M_0e^{-kt}\)，其中 \(M_0\) 是初始質量。題目通常會要求你利用給定的半衰期（質量減半所需的時間）來找出 \(k\)。

重點總結： 在應用題中，任意常數 \(A\) 通常代表所建模量的初始值（即時間 \(t=0\) 時的值）。