純數 P2：微分章節
歡迎來到微分 (Differentiation) 的世界！這一章是純數學的基石之一。起初它看起來可能很抽象，但其本質是在理解「變化」——特別是事物變化的快慢，以及這些變化會導向何處。
簡單來說，微分讓我們能夠找出曲線在任何特定點上的斜率 (gradient)（或陡峭程度）。如果你掌握了斜率，就能解決涉及速度、增長率和最優化（尋找最大值或最小值）等現實世界的問題。準備好深入探討了嗎？我們開始吧！
1. 微分的基本概念
1.1 什麼是導數 (Derivative)？
導數是「函數瞬時變化率 (instantaneous rate of change)」的一個專業術語。想像一下開車：整個旅程的平均速度可能是 50 km/h，但你的瞬時速度（車速表顯示的數值）卻每秒都在變。微分正是為了求出這個瞬時變化率。
從幾何角度來看，導數就是曲線 \(y = f(x)\) 在給定點上的切線斜率 (gradient of the tangent line)。
關鍵記號：
- \(y\) 對 \(x\) 的導數記作 \(\frac{dy}{dx}\)。
- 如果你使用的是函數 \(f(x)\)，其導數記作 \(f'(x)\)。
- 二階導數（即導數的導數）記作 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 或 \(f''(x)\)。
（學習提示：別擔心，你不需要從第一原理 (first principles) 開始微分——只需學習並應用規則即可！）
重點總結：
導數 \(\frac{dy}{dx}\) 是用於計算曲線 \(y\) 在任意點 \(x\) 上斜率的公式，它告訴我們變化的速率。
2. 多項式與冪函數的規則 (P1.3)
你必須掌握的最基本規則是冪法則 (Power Rule)。它適用於任何形式為 \(ax^n\) 的項，其中 \(n\) 是有理數（可以是正數、負數或分數）。
2.1 冪法則 (Power Rule)
若 \(y = ax^n\)，則其導數為：
$$\frac{dy}{dx} = anx^{n-1}$$
逐步技巧：
- 相乘：將現有的冪次 (\(n\)) 移下來，與係數 (\(a\)) 相乘。
- 減冪：將冪次減 1 (\(n-1\))。
例： 若 \(y = 5x^4\)。
1. 相乘：\(5 \times 4 = 20\)。
2. 減冪：\(4 - 1 = 3\)。
所以，\(\frac{dy}{dx} = 20x^3\)。
2.2 處理不同形式
在使用冪法則之前，務必確保每一項都寫成 \(ax^n\) 的形式。這是學生最容易犯錯的地方！
- 分數：使用負指數。
例如： 若 \(y = \frac{3}{x^2}\)，將其改寫為 \(y = 3x^{-2}\)。則 \(\frac{dy}{dx} = (3)(-2)x^{-3} = -6x^{-3}\) 或 \(-\frac{6}{x^3}\)。 - 根式：使用分數指數。
例如： 若 \(y = \sqrt{x}\)，將其改寫為 \(y = x^{1/2}\)。則 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}x^{-1/2}\) 或 \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。 - 常數：若 \(y = c\)（其中 \(c\) 為常數，例如 \(y=7\)），其斜率為零。
\(\frac{d}{dx}(c) = 0\)。（水平線的斜率為零！）
2.3 和與差
如果一個函數是若干項的和或差（即多項式），則分別對每一項進行微分：
若 \(f(x) = g(x) + h(x)\)，則 \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\)。
例： 若 \(y = 2x^3 - 4x + 9\)，則 \(\frac{dy}{dx} = 6x^2 - 4 + 0 = 6x^2 - 4\)。
重點總結：
在使用冪法則前，務必先利用指數 (\(x^n\)) 改寫函數，然後逐項微分。
3. 標準函數的導數 (P2.6)
進入 A-Level 數學後，你需要了解如何對三角函數、指數函數和對數函數進行微分。
關於線性組合的重要提示：如果函數的輸入是線性項 \(kx\)，則按正常方式微分，然後將結果乘以常數 \(k\)。
標準導數表：
函數 \(f(x)\) | 導數 \(f'(x)\)
\(e^x\) | \(e^x\)
\(e^{kx}\) | \(ke^{kx}\)
\(\ln x\) | \(\frac{1}{x}\)
\(\sin x\) | \(\cos x\)
\(\sin kx\) | \(k\cos kx\)
\(\cos x\) | \(-\sin x\)
\(\cos kx\) | \(-k\sin kx\)
\(\tan x\) | \(\sec^2 x\)
你知道嗎？函數 \(y = e^x\) 是唯一（在常數倍數內）其導數仍為自身的函數。它完美地模擬了指數增長！
重點總結：
請記住標準導數。若函數為 \(f(kx)\)，記得要乘以常數 \(k\)。
4. 微分的重要規則 (P2.6)
有時函數會以複雜的方式組合——例如相乘、相除或函數嵌套。對於這些情況，我們使用三個關鍵規則。
4.1 連鎖律 (Chain Rule)（函數的函數）
當你遇到函數嵌套在另一個函數內（像俄羅斯套娃一樣）時，請使用此規則。通常寫作 \(y = f(g(x))\)。
若 \(y\) 是 \(u\) 的函數，且 \(u\) 是 \(x\) 的函數，則：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$$
步驟流程：
- 識別「外層」函數（主要運算，例如冪次運算）。
- 識別「內層」函數 (\(u\))。
- 對外層微分，保持內層不變 (\(\frac{dy}{du}\))。
- 乘以內層函數的導數 (\(\frac{du}{dx}\))。
例： 對 \(y = (x^2 + 5)^3\) 微分。
1. 外層：\(u^3\)。內層：\(u = x^2 + 5\)。
2. \(\frac{dy}{du} = 3u^2\)。
3. \(\frac{du}{dx} = 2x\)。
4. \(\frac{dy}{dx} = (3u^2) \times (2x) = 3(x^2 + 5)^2 (2x) = 6x(x^2 + 5)^2\)。
4.2 乘積法則 (Product Rule)
當要對兩個函數的乘積 \(y = uv\) 微分時使用。
$$\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$$
口訣： 前項微分後項不變，加上前項不變後項微分。
例： 對 \(y = x^2 \sin x\) 微分。
令 \(u = x^2\)，則 \(\frac{du}{dx} = 2x\)。
令 \(v = \sin x\)，則 \(\frac{dv}{dx} = \cos x\)。
$$\frac{dy}{dx} = (x^2)(\cos x) + (\sin x)(2x)$$
4.3 商法則 (Quotient Rule)
當對分子和分母都是 \(x\) 的函數的分數 \(y = \frac{u}{v}\) 微分時使用。
$$\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$$
口訣： 「下乘上導，減去上乘下導，除以下項的平方」。
常見錯誤：在使用商法則時順序非常重要，因為中間是減號。永遠從 \(v\)（分母）開始。
重點總結：
連鎖律、乘積法則和商法則是你處理組合函數的利器。先判斷需要用哪個規則！
5. 進階技巧 (P2.6)
5.1 隱函數微分 (Implicit Differentiation)
有時方程式中的 \(y\) 不能輕易寫成 \(x\) 的函數（例如 \(x^2 + y^2 = 25\)）。當我們對這些方程式微分時，會使用隱函數微分。
規則：對任何包含 \(y\) 的項進行微分時，先對 \(y\) 進行正常微分，然後將結果乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。
例： 對 \(y^3 + 2xy = 5\) 微分。
1. \(\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \frac{dy}{dx}\)
2. \(\frac{d}{dx}(2xy)\) 需要用到乘積法則！
\(u=2x\)，\(\frac{du}{dx}=2\)。\(v=y\)，\(\frac{dv}{dx}=1 \cdot \frac{dy}{dx}\)。
乘積法則結果：\((2x)(\frac{dy}{dx}) + (y)(2) = 2x\frac{dy}{dx} + 2y\)。
3. \(\frac{d}{dx}(5) = 0\)。
4. 合併並求出 \(\frac{dy}{dx}\)：
$$3y^2 \frac{dy}{dx} + 2x\frac{dy}{dx} + 2y = 0$$
$$\frac{dy}{dx}(3y^2 + 2x) = -2y$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{-2y}{3y^2 + 2x}$$
（課程提醒：你只需要求出隱函數曲線的一階導數。）
5.2 參數微分 (Parametric Differentiation)
若 \(x\) 和 \(y\) 都表示為第三個參數（通常是 \(t\) 或 \(\theta\)）的函數，我們使用以下關係來求 \(\frac{dy}{dx}\)：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \text{ 或 } \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$$
過程：
- 求 \(\frac{dx}{dt}\)。
- 求 \(\frac{dy}{dt}\)。
- 兩者相除。
例： 若 \(x = t^2\) 且 \(y = 2t + 1\)。
1. \(\frac{dx}{dt} = 2t\)。
2. \(\frac{dy}{dt} = 2\)。
3. \(\frac{dy}{dx} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}\)。
重點總結：
隱函數微分要求你在對每一項 \(y\) 微分時都要乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。參數微分則是利用除法公式來連結 \(\frac{dy}{dt}\) 和 \(\frac{dx}{dt}\)。
6. 微分的應用 (P1.3 & P2.6)
導數不僅僅是一個理論量；它有巨大的實際用途，特別是在求直線方程和定位轉向點方面。
6.1 切線與法線 (Tangents and Normals)
我們使用導數 \(\frac{dy}{dx}\) 來求特定點 \((x_1, y_1)\) 的切線斜率。直線方程則使用 \(y - y_1 = m(x - x_1)\) 求出。
- 切線斜率 (\(m_T\))：求出 \(\frac{dy}{dx}\) 並代入 \(x\) 坐標。
- 法線斜率 (\(m_N\))：法線與切線垂直，因此其斜率為切線斜率的負倒數：\(m_N = -\frac{1}{m_T}\)。
快速複習：記得坐標幾何中若兩線垂直，其斜率乘積為 \(-1\)。
6.2 平穩點 (Stationary Points)（極大值與極小值）
平穩點（也稱為臨界點或轉向點）發生在斜率為零的地方——即曲線暫時平坦的地方。
求平穩點的步驟：
步驟 1：求 \(\frac{dy}{dx}\)。
步驟 2：令 \(\frac{dy}{dx} = 0\) 並求解 \(x\)。這些就是平穩點的 \(x\) 坐標。
步驟 3：將這些 \(x\) 值代回原函數 \(y = f(x)\) 以求出對應的 \(y\) 坐標。
6.3 分類平穩點（二階導數測試）
找到平穩點後，你需要判斷它是極大值（峰值）還是極小值（谷值）。我們使用二階導數 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。
極大值/極小值測試：
- 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\)，該點為極大值（想像成凹向下的「悲傷」形狀）。
- 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\)，該點為極小值（想像成凹向上的「快樂」形狀）。
- 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\)，測試無效（它可能是拐點，但這不在考綱範圍內）。
6.4 遞增與遞減函數
微分也能告訴我們函數在何處上升或下降。
- 若斜率為正 \(\frac{dy}{dx} > 0\)，函數為遞增。
- 若斜率為負 \(\frac{dy}{dx} < 0\)，函數為遞減。
重點總結：
微分通過找出斜率為零的地方 (\(\frac{dy}{dx}=0\)) 並使用二階導數 (\(\frac{d^2y}{dx^2}\)) 對其分類，從而解決最優化等實際問題。