Further probability

S1.1：進階概率 —— 掌握運算法則

歡迎來到「進階概率」！如果你已經掌握了計算機會的基礎，那麼這一章將為你提供必要的工具——即數學定律，幫助你處理更複雜的情況，例如多個事件同時發生或相繼發生的情景。如果一開始覺得有點棘手也不用擔心，我們會拆解每一個法則，並提供清晰的例子！

基礎：事件與集合符號

在概率論中，我們使用特定的符號來描述事件之間的關係。雖然在回答問題時不一定要寫出這些符號，但理解它們能讓運算法則變得更清晰！

關鍵符號回顧

• 事件 \(A\)：特定的結果（例如：擲出 6 點）。
• \(P(A)\)：事件 A 發生的概率。請記住，\(0 \le P(A) \le 1\)。
• \(A'\) (A 的補集)：事件 A 的補集。這意味著「A 沒有發生」。
• \(A \cap B\) (A 交 B)：這意味著事件 A 與事件 B 同時發生。可以想像成兩者的重疊部分。
• \(A \cup B\) (A 聯 B)：這意味著事件 A 或事件 B 發生，或者兩者同時發生。

類比：想像兩個圓圈（A 和 B）代表不同事件。交集 (\(\cap\)) 是它們重疊的地方；聯集 (\(\cup\)) 則是包含在兩個圓圈內的所有範圍。

第一節：加法定理（處理「或」事件）

加法定理幫助我們找出一個事件或另一個事件發生的概率。這在正式術語中稱為求聯集，即 \(P(A \cup B)\)。

1. 互斥事件（簡單法則）

如果兩個事件 A 和 B 不能同時發生，我們稱它們為互斥事件。它們沒有重疊，因此 \(P(A \cap B) = 0\)。

公式（適用於兩個或多個事件）：

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

例子：如果你擲一次骰子，擲出 2 點 (A) 和擲出 5 點 (B) 就是互斥事件。你不可能同時擲出這兩個點數。

重點：如果事件不能共享結果，你只需直接相加它們的概率。

2. 一般加法定理（當事件有重疊時）

如果兩個事件 A 和 B 不是互斥的（意味著它們可以同時發生，即 \(P(A \cap B) > 0\)），我們必須使用一般加法定理，以避免重複計算重疊的部分。

公式（僅適用於兩個事件）：

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$$

為什麼要減去交集？

當你將 \(P(A)\) 和 \(P(B)\) 相加時，你會把同時參與兩項活動的學生計算了兩次！因此減去一次 \(P(A \cap B)\) 即可修正這個數值。

例子：班上有 40% 的學生喜歡數學 (M)，50% 喜歡物理 (P)，而 20% 兩者都喜歡 (\(M \cap P\))。

一名學生喜歡數學或物理 (\(M \cup P\)) 的概率是多少？

$$P(M \cup P) = P(M) + P(P) – P(M \cap P)$$

$$P(M \cup P) = 0.40 + 0.50 – 0.20 = 0.70$$

第二節：互補事件

通常計算事件「不發生」的概率比計算事件本身更容易，特別是當事件包含許多結果時（例如：擲出「至少一個 6」）。

補集 \(A'\) 的概率為：

$$P(A') = 1 – P(A)$$

提示：如果題目要求「至少一個」的概率，使用互補事件法則幾乎總是最簡單的方法！你只需要計算 1 減去「一個都不發生」的概率即可。

第三節：乘法定理（處理「且」事件）

乘法定理幫助我們找出事件 A 和事件 B 相繼或同時發生的概率。這在正式術語中稱為求交集，即 \(P(A \cap B)\)。

記憶法：關鍵字「且 (AND)」意味著相乘 (MULTIPLY)！

1. 條件概率

當第一個事件 (A) 的結果會影響第二個事件 (B) 的概率時，這些事件稱為相關事件 (Dependent Events)。

我們使用條件概率的概念，記作 \(P(B|A)\)，意指「在已知事件 A 已經發生的情況下，事件 B 發生的概率」。

一般乘法公式（適用於兩個或多個事件）：

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$$

該公式也可以重組以求出條件概率：

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

例子（相關事件）：從一副牌中不放回地抽取兩張牌。

A = 第一張抽到國王 (King)。\(P(A) = \frac{4}{52}\)。

B = 第二張抽到國王。

由於第一張國王沒有放回，剩下的國王只有 3 張，總牌數剩下 51 張。因此，在已知 A 發生的情況下，B 發生的概率為 \(P(B|A) = \frac{3}{51}\)。

$$P(\text{兩張國王}) = P(A \cap B) = \frac{4}{52} \times \frac{3}{51}$$

概念拆解：條件概率的含義

條件概率將你的關注點限制在一個新的、較小的樣本空間內。當計算 \(P(B|A)\) 時，你不再查看所有可能的結果，而只關注那些 A 已經發生的情況。

2. 獨立事件

如果事件 A 的發生不會影響事件 B 的發生概率，那麼兩個事件 A 和 B 稱為獨立事件。

如果 A 和 B 是獨立的，則條件概率 \(P(B|A)\) 就等於 \(P(B)\)。

乘法公式（適用於兩個或多個獨立事件）：

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

例子（獨立事件）：擲一枚硬幣（正面，H）和擲一顆骰子（六點，S）。

擲硬幣的結果不會改變擲出六點的機會。

$$P(H \cap S) = P(H) \times P(S) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$$

第四節：概率定律的應用

課程大綱確認，你主要會通過直接應用定律、計算等可能性結果，或使用頻率/相對頻率表來解決問題。

小知識：雖然考官不要求你一定要繪畫它們，但使用樹狀圖 (Tree Diagrams) 來處理相關事件，以及使用文氏圖 (Venn Diagrams) 來處理聯集和交集，對於理解題目和檢查答案非常有幫助！

使用頻率表的步驟範例

假設一項調查記錄了 100 人上下班的交通方式（汽車或巴士）及其性別（男或女）。

	汽車 (C)	巴士 (B)	總計
男 (M)	30	10	40
女 (F)	45	15	60
總計	75	25	100

我們可以利用表格計算相對頻率（概率）：

1. 簡單概率： \(P(M)\) 是多少？（身為男性的概率）

$$P(M) = \frac{40}{100} = 0.4$$

2. 交集（且）： \(P(F \cap B)\) 是多少？（女性且搭乘巴士）

$$P(F \cap B) = \frac{15}{100} = 0.15$$

3. 聯集（或，一般加法定理）： \(P(C \cup M)\) 是多少？（搭汽車或男性）

使用公式：\(P(C \cup M) = P(C) + P(M) – P(C \cap M)\)

$$P(C) = \frac{75}{100} = 0.75$$

$$P(M) = \frac{40}{100} = 0.40$$

$$P(C \cap M) = \frac{30}{100} = 0.30$$

$$P(C \cup M) = 0.75 + 0.40 – 0.30 = 0.85$$

（檢查：30 + 10 + 45 = 85 人符合條件）

4. 條件概率： \(P(C|M)\) 是多少？（搭汽車，在已知是男性的情況下）

我們將觀察範圍限制在「男」這一行（總數 = 40）。

$$P(C|M) = \frac{\text{搭汽車的男性人數}}{\text{男性總數}} = \frac{30}{40} = 0.75$$

或者，使用條件概率公式：

$$P(C|M) = \frac{P(C \cap M)}{P(M)} = \frac{0.30}{0.40} = 0.75$$

重點總結：多練習直接應用這些定律，並在選擇公式前，務必先清楚判斷事件是獨立、相關還是互斥的。