歡迎來到運動學 (Kinematics)！你的運動指南
你好！如果你正在研讀 M2 力學，你即將深入了解運動學 (Kinematics)——即關於運動的幾何學。簡單來說，運動學是用數學方法描述物體如何運動，而無需探討它們「為什麼」會運動（那是力學與牛頓定律的工作！）。
本章連結了課程中的多個範疇：基礎代數、解題技巧、繪製圖表，以及至關重要的 AS 純數微積分（微分與積分）。
如果起初覺得有點棘手，別擔心！我們會將運動拆解為兩個簡單的類別：恆定加速度與變加速度，並為兩者提供清晰的步驟！
1. 運動學基礎：關鍵定義
在力學中，精確的語言至關重要。距離 (Distance) 與位移 (Displacement) 並不相同！速率 (Speed) 與速度 (Velocity) 也不相同！
1.1 純量與向量
純量 (Scalar) 只有大小 (magnitude)。
向量 (Vector) 同時具備大小與方向。
- 距離 (純量)： 行經路徑的總長度。例子：我走了 5 公里。
- 位移 (向量, $s$)： 從起點到終點的最短路徑長度。例子：我處於起點東方 2 公里處。
類比：如果你在 1 公里的跑道上慢跑了 5 圈，你走過的距離是 5 公里，但你的最終位移是 0 公里（因為你回到了出發點！）。
- 速率 (純量)： 距離隨時間的變化率。
- 速度 (向量, $v$)： 位移隨時間的變化率。
- 加速度 (向量, $a$)： 速度隨時間的變化率。如果加速度是恆定的，這意味著速度在每一秒內變化的量都相同。
快速複習：基本變數
\(s\)：位移 (m)
\(u\)：初速度 (\(\text{ms}^{-1}\))
\(v\)：末速度 (\(\text{ms}^{-1}\))
\(a\)：恆定加速度 (\(\text{ms}^{-2}\))
\(t\)：時間 (s)
2. 恆定加速度運動 (SUVAT) (M1.1)
當物體沿直線做恆定加速度運動時，我們使用五個標準運動學（或稱 SUVAT）方程式。你只需要知道其中三個變數的值，就能求出另外兩個未知數。
2.1 恆定加速度方程式
這些公式聯繫了上述五個變數。它們僅在加速度 $a$ 為恆定值時才有效。
- \(\boldsymbol{v = u + at}\)
- \(\boldsymbol{s = ut + \frac{1}{2}at^2}\)
- \(\boldsymbol{s = vt - \frac{1}{2}at^2}\)
- \(\boldsymbol{v^2 = u^2 + 2as}\)
- \(\boldsymbol{s = \frac{1}{2}(u + v)t}\)
記憶小撇步：選擇正確的方程式
要選擇使用哪個公式，請找出你的題目中未涉及的變數（即「缺失」的變數）。
- 公式 1（\(s\) 缺失）：如果你不關心位移，就用這個。
- 公式 2（\(v\) 缺失）：如果你不知道或不需要末速度，就用這個。
- 公式 3（\(u\) 缺失）：如果你不知道或不需要初速度，就用這個。
- 公式 4（\(t\) 缺失）：如果你不知道或不需要時間，就用這個。
- 公式 5（\(a\) 缺失）：如果你不知道或不需要加速度，就用這個。
2.2 重力影響下的垂直運動
由重力引起的運動是直線恆定加速度運動的一種特殊情況（垂直線）。當物體被拋出或落下時，（忽略空氣阻力）它受到的唯一力就是重力。
重力加速度以 \(g\) 表示，你必須使用標準值：\(g = 9.8 \text{ ms}^{-2}\)。
關鍵步驟： 務必決定哪個方向為正方向！
- 如果你取向上為正，則 \(a = -g = -9.8 \text{ ms}^{-2}\)。
- 如果你取向下為正，則 \(a = +g = +9.8 \text{ ms}^{-2}\)。
要避免的常見錯誤： 當粒子到達最高點時，它的速度 (\(v\)) 瞬間為零，但它的加速度仍然是 \(g\)（因為它始終在向下加速！）。
關鍵要點：恆定加速度
如果加速度是恆定的，請列出你的 SUVAT 變數，設定一個正方向，然後挑選那個避開你不需要的變數的方程式。
3. 運動學圖表 (M1.1)
圖表對於視覺化運動及解決問題至關重要，特別是涉及多階段運動的問題。
3.1 位移-時間 (\(s-t\)) 圖
- \(s-t\) 圖的斜率 (gradient) 代表速度。
- 直線且為正的斜率代表恆定的正速度。
- 曲線代表速度正在變化（存在加速度）。
- 如果圖表是水平的，物體則是靜止的 (\(v=0\))。
3.2 速度-時間 (\(v-t\)) 圖
這是運動學中最重要的一種圖表！
- \(v-t\) 圖的斜率代表加速度 (\(a = \frac{dv}{dt}\))。
- \(v-t\) 圖下方的面積代表位移 (\(s = \int v \, dt\))。
提示：如果加速度是恆定的（如 SUVAT），\(v-t\) 圖將會是一條直線，這使得面積計算變得簡單（通常使用梯形或三角形公式）。
3.3 加速度-時間 (\(a-t\)) 圖
- \(a-t\) 圖下方的面積代表速度的變化量 (\(\Delta v = \int a \, dt\))。
關鍵要點：運動學圖表
記住這個層級關係：位置/位移 \(\rightarrow\) 速度 \(\rightarrow\) 加速度。
斜率讓你向層級下方移動（例如：從 \(s\) 到 \(v\)）。
面積讓你向層級上方移動（例如：從 \(a\) 到 \(v\)，或從 \(v\) 到 \(s\)）。
4. 變加速度運動（微積分）(M1.2)
如果加速度不是恆定的，你就不能使用 SUVAT 方程式。相反，位置、速度和加速度是時間的函數，我們必須使用微分和積分。這需要 AS 單元 P1 的知識。
4.1 向下層級移動（微分）
如果位移 \(s\) 是時間 \(t\) 的函數，那麼：
- 速度是位移的變化率：
\(\boldsymbol{v = \frac{ds}{dt}}\) - 加速度是速度的變化率：
\(\boldsymbol{a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}}\)
例子：如果粒子的位置由 \(s(t) = 3t^2 - 5t\) 給出，則速度為 \(v(t) = \frac{ds}{dt} = 6t - 5\)，加速度為 \(a(t) = \frac{dv}{dt} = 6\)（在本例中為恆定加速度）。
4.2 向上層級移動（積分）
積分是微分的反過程。
- 速度是加速度對時間的積分：
\(\boldsymbol{v = \int a \, dt}\) - 位移是速度對時間的積分：
\(\boldsymbol{s = \int v \, dt}\)
關鍵點：積分常數 (\(+c\))
進行積分時，你必須加上積分常數 \(c\)。此常數需透過初始條件（即 \(t=0\) 時的位置或速度）來求出。
分步積分法：
1. 對加速度表達式進行積分以獲得速度函數，記得加上 \((+c)\)。
2. 使用給定的初速度（例如 \(t=0\) 時 \(v=u\)）來求出 \(c\)。
3. 對已完整求出的速度函數進行積分以求得位移函數，記得加上一個新的常數 \(c'\)。
4. 使用給定的初始位移（例如 \(t=0\) 時 \(s=0\)）來求出 \(c'\)。
關鍵要點：變加速度
當加速度發生變化時，微積分就是你的工具。如果題目給出加速度並要求位移，你必須進行兩次積分，並使用初始條件（在 \(t=0\) 時）來找出積分常數。
5. 向量運動學（二維或三維運動）(M2.2)
到目前為止，我們僅探討了沿直線的運動。現在我們使用向量來處理平面（\(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 分量）或空間（\(\mathbf{i}\)、\(\mathbf{j}\) 和 \(\mathbf{k}\) 分量）中的運動。
5.1 位置、速度與加速度向量
粒子的位置由位置向量 (position vector) \(\mathbf{r}\) 表示，它通常是時間 \(t\) 的函數。
位置：\(\boldsymbol{r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k}\)
核心原則不變：微分和積分的運作方式完全相同，只需逐個分量 (component by component) 進行計算即可。
微分（求速度與加速度）
要找出速度 \(\mathbf{v}\)，對 \(\mathbf{r}\) 的每個分量進行微分：
\(\boldsymbol{v = \frac{dr}{dt} = f'(t)i + g'(t)j + h'(t)k}\)
要找出加速度 \(\mathbf{a}\)，對 \(\mathbf{v}\) 的每個分量進行微分：
\(\boldsymbol{a = \frac{dv}{dt} = f''(t)i + g''(t)j + h''(t)k}\)
積分（求速度與位置）
要從加速度求速度，對 \(\mathbf{a}\) 的每個分量進行積分：
\(\boldsymbol{v = \int a \, dt}\) (記得積分常數向量，例如 \(\mathbf{C} = c_1\mathbf{i} + c_2\mathbf{j} + c_3\mathbf{k}\))
要從速度求位置，對 \(\mathbf{v}\) 的每個分量進行積分：
\(\boldsymbol{r = \int v \, dt}\)
步驟提示：解向量積分問題時，你本質上是同時解決三個一維問題（一個針對 \(\mathbf{i}\)，一個針對 \(\mathbf{j}\)，一個針對 \(\mathbf{k}\)），並利用初始條件來求出常數。
5.2 求速率（速度的大小）
當你有速度向量 \(\mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j}\)（在二維中）時，速率即為速度向量的大小，使用畢氏定理求出：
\(\boldsymbol{\text{速率} = |\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}}\)
對於三維運動，公式擴展為：
\(\boldsymbol{|\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}}\)
你知道嗎？ 這個原則在更進階的力學主題中非常關鍵，例如拋體運動 (Projectile Motion)，其中水平運動通常是恆定速度 (\(a_x=0\))，而垂直運動是恆定加速度 (\(a_y = -g\))。所有的向量運動學問題都是建立在這個框架之上的！
關鍵要點：向量運動學
向量問題不過是按分量分開的一維問題。對 \(\mathbf{i}\)、\(\mathbf{j}\) 和 \(\mathbf{k}\) 分量分別進行微分或積分。速率即為速度向量的大小。
章節總結
現在你擁有了描述任何運動的工具，無論是簡單還是複雜：
- 恆定加速度： 使用強大的 SUVAT 方程式。
- 變加速度（一維）： 使用純數微積分。微分可從位移到速度再到加速度；積分（記得加 \(+c\)）則可反向操作。
- 變加速度（二維/三維）： 使用向量。按分量應用微積分，並使用畢氏定理求出速率。
在開始解題前，請先練習辨別加速度是恆定的還是變化的。祝你好運！你一定沒問題的！