Motion in a straight line with variable acceleration

M1.2：變加速度下的直線運動

你好！歡迎來到運動並不總是那麼規律且可預測的精彩世界。在力學（M1.1）中，你已經處理過在恆定加速度下的運動，並使用了我們熟悉的 SUVAT 方程。但說實話，在現實世界中，物體幾乎很少以完美的恆定加速度移動！

想像一下火箭發射或是汽車急煞車的場景。加速度是在不斷變化的！這就是變加速度，要處理這種情況，我們必須利用純數學（P1）知識中微積分（微分與積分）的力量，將數學能力提升一個檔次。

如果起初覺得有些棘手，不必擔心。我們只是在定義位移、速度和它們隨時間變化之間的基礎關係而已。

核心概念：位移、速度與加速度的定義

在本章中，我們探討的是沿直線移動的質點。我們使用三個關鍵變量來定義其位置，這些變量均為時間 \(t\) 的函數：

• 位移 (\(s\))：質點相對於固定原點 \(O\) 的位置，單位為米 (m)。
• 速度 (\(v\))：位移的變化率，單位為米每秒 (\(\text{m s}^{-1}\))。
• 加速度 (\(a\))：速度的變化率，單位為米每秒平方 (\(\text{m s}^{-2}\))。

你知道嗎？ 由於我們使用微積分，\(s\)、\(v\) 和 \(a\) 通常被表示為時間的函數，例如：\(s(t) = 2t^3 - 5t\)。

第一部分：微積分的聯繫（力學家的工具箱）

整個課題的核心在於兩個簡單但至關重要的觀念：微分與積分互為逆運算。

1.1 向下推導：從位移到加速度（微分）

當你知道質點作為時間函數的位置時，你可以對其進行微分以求得速度，再微分一次即可求得加速度。

類比：將此想像成「順流而下」。這通常是較容易的方向，正如微分往往比積分更容易操作一樣。

關鍵公式（微分）：

速度是位移的導數：
\[v = \frac{ds}{dt}\]

加速度是速度的導數：
\[a = \frac{dv}{dt}\]

加速度是位移的二階導數：
\[a = \frac{d^2s}{dt^2}\]

步驟示範（微分）：

1. 若位移由 \(s = t^3 - 4t^2 + 5t\) 給出。
2. 對 \(s\) 關於 \(t\) 微分以求出速度：
   \[v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 8t + 5\]
3. 對 \(v\) 關於 \(t\) 微分以求出加速度：
   \[a = \frac{dv}{dt} = 6t - 8\]

1.2 向上推導：從加速度到位移（積分）

當你知道質點作為時間函數的加速度時，你必須對其進行積分以求出速度，再對速度進行積分以求出位移。

類比：這就像「逆流而上」。這通常較困難，因為你需要額外的資訊來完成整個過程！

關鍵公式（積分）：

速度是加速度的積分：
\[v = \int a \, dt\]

位移是速度的積分：
\[s = \int v \, dt\]

第二部分：積分常數 (\(C\)) 的關鍵作用

這是大多數學生犯錯的地方！當你進行不定積分時，必須始終加上積分常數 \(C\)。這個常數代表了質點的起始值或初始條件。

由於我們需要進行兩次積分才能從加速度推導到位移，因此你將會有兩個常數 (\(C_1\) 和 \(C_2\)) 需要求出。

技巧：你必須使用關於質點運動的已知資訊（通常在 \(t=0\) 時）來求出這些常數。

步驟示範（積分）：

一個質點從原點 (\(s=0\)) 出發，在 \(t=0\) 時初始速度為 \(5 \text{ m s}^{-1}\)。加速度為 \(a = 6t - 2\)。

1. 求速度函數 (\(v\))：
   \[v = \int a \, dt = \int (6t - 2) \, dt\] \[v = 3t^2 - 2t + C_1\]
2. 利用初始條件求 \(C_1\)：
   我們知道當 \(t=0\) 時，\(v=5\)。代入這些值：
   \(5 = 3(0)^2 - 2(0) + C_1\)
   \(\implies C_1 = 5\)
   因此，速度函數為 \(v = 3t^2 - 2t + 5\)。
3. 求位移函數 (\(s\))：
   \[s = \int v \, dt = \int (3t^2 - 2t + 5) \, dt\] \[s = t^3 - t^2 + 5t + C_2\]
4. 利用初始條件求 \(C_2\)：
   我們知道當 \(t=0\) 時，質點從原點出發，所以 \(s=0\)。
   \(0 = (0)^3 - (0)^2 + 5(0) + C_2\)
   \(\implies C_2 = 0\)
   因此，位移函數為 \(s = t^3 - t^2 + 5t\)。

應避免的常見錯誤！

• 忘記加 \(+ C\)： 如果你忘記積分常數，你計算出的位置或速度將會有一個固定的偏移量。請務必在積分後立即加上 \(C\)（或 \(C_1, C_2\)）。
• 混淆初始條件： 確保你理解初始條件的含義：
  

  「從原點出發」 \(\implies t=0\) 時 \(s=0\)。

  「由靜止開始」 \(\implies t=0\) 時 \(v=0\)。

• 搞錯函數類型： 請記住，AS Level M1 的題目限於你可以用 P1 規則積分的函數（通常是多項式或如 \(t^{1/2}\) 的冪函數）。在積分或微分前，記得將 \(\frac{1}{t^2}\) 等表達式重寫為 \(t^{-2}\)。

第三部分：位移與路程，以及方向的重要性

請記住位移 (\(s\)) 與行走路程之間的區別。

• 位移是距離原點 \(O\) 的向量。它可為正值或負值。
• 路程是一個純量（始終為正值）。

當加速度是變量時，質點可能會改變方向。如果方向改變，你必須分段計算行走路程。

當速度 (\(v\)) 為零時，質點會改變方向。

步驟：計算總路程

1. 求出速度函數 \(v(t)\)。
2. 令 \(v(t) = 0\) 並解出 \(t\)。這些時間點是質點停止並可能反轉方向的時刻。
3. 分別計算起始時刻、反轉時刻和結束時刻的位移 \(s\)。
4. 計算每段過程中的路程（始終取正值）。將這些絕對距離相加，即可得到總路程。

例子： 如果一個質點從 \(s=0\) 開始，移動到 \(s=5\)，然後在 \(t=5\) 時反轉回 \(s=2\)。
至 \(t=5\) 為止的總路程為：(距離 1) + (距離 2) = \((5 - 0) + |2 - 5| = 5 + 3 = 8\)。