Newton’s Law of Motion

歡迎來到 M1：牛頓運動定律！

你好！本章節絕對是力學的核心。如果說運動學（運動方程式）告訴我們物體「如何」運動，那麼牛頓定律則解釋了它們「為何」運動——這一切都與力 (Forces) 有關。

別擔心一開始覺得這些概念很抽象；我們會將這些概念拆解成簡單明瞭的步驟。掌握了這一章，就等於掌握了解決物理世界中幾乎所有涉及運動與交互作用問題的基礎數學工具。讓我們開始吧！

1. 理解作用力 (M1.3)

在運用牛頓定律之前，我們必須能夠識別並標示作用於物體上的所有力。這始於繪製一張清晰的力圖 (Force Diagram)（或稱自由體圖）。

1.1 常見作用力

• 重量 (\(W\)) 或重力： 這是物體因受重力作用而產生的力，方向永遠垂直向下。

  \(W = mg\)

  其中 \(m\) 是質量（單位為 kg），\(g\) 是重力加速度。 在 OxfordAQA A Level 力學課程中，\(g\) 取 \(9.8 \text{ ms}^{-2}\)。

  你知道嗎？ 質量是恆定的，但重量會隨重力場而改變（例如：你在月球上的體重會比較輕！）。



• 正向力/法向反作用力 (\(R\))： 當物體靜止在表面上時，該表面會給予物體一個向上的支撐力。此力永遠與接觸面垂直（即「法向」）。

  類比：如果你向下按壓桌子，桌子會透過正向力向上推回你的手。



• 張力 (\(T\))： 由繩子、纜線或鏈條沿軸向傳遞的拉力。它總是沿著繩子的方向，背離物體拉動。


• 推力 (Thrust/Compression)： 由剛性桿傳遞的推力（與張力相反）。


• 阻力（例如：空氣阻力、摩擦力）： 這些力會與運動方向相反。如果粒子向右移動，空氣阻力和摩擦力則向左作用。

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2. 牛頓三大運動定律 (M1.3)

這三大定律是古典力學的基石。你必須理解每一定律的含義，更重要的是，學會如何在數學上運用第二定律。

2.1 牛頓第一定律（慣性定律）

除非受到合力 (Resultant force) 的作用，否則物體將保持靜止，或繼續以恆定速度（沿直線做勻速運動）運動。

• 如果一個物體處於靜止狀態或以恆定速度運動，則作用於其上的力是平衡的。
• 合力/淨力 (\(F_{\text{net}}\)) 為零。
• 當合力為零時，我們稱該物體處於平衡狀態 (Equilibrium)。

2.2 牛頓第二定律（計算定律）

作用於物體的合力等於其動量的變化率，且與質量及加速度成正比。

對於質量不變的情況，這可簡化為本章最重要的公式：

合力 = 質量 × 加速度

$$\mathbf{F} = \mathbf{ma}$$

• \(F\) 是作用於物體的淨力 (Net Force) 或合力 (Resultant Force)（單位為牛頓，N）。
• \(m\) 是質量（單位為公斤，kg）。
• \(a\) 是加速度（單位為 \(\text{ms}^{-2}\)）。

記住：方程式中的 \(F\) 不僅僅是「任何」力，它是導致運動的「總力」！如果你有驅動力 \(D\) 和阻力 \(R\)，那麼 \(F = D - R\)。

2.3 牛頓第三定律（作用力與反作用力）

每一個作用力都有一個大小相等、方向相反的反作用力。

• 這兩個力大小相等。
• 這兩個力方向相反。
• 最關鍵的是：它們作用於不同的物體上。

常見誤區：如果一個箱子靜止在地板上，向下的重量 \(W\) 和向上的正向力 \(R\) 並非牛頓第三定律的一對作用力與反作用力，因為它們都作用在箱子上。符合第三定律的一對力應該是：(1) 地球拉箱子（重量）和 (2) 箱子拉地球（大小相等、方向相反的引力）。

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3. 摩擦力與阻力 (M1.3)

摩擦力是一種關鍵的阻力，它總是平行於接觸面，並阻礙物體的運動（或運動趨勢）。

3.1 動摩擦力

當物體實際在運動（滑動）時，所受的摩擦力稱為動摩擦力 (Dynamic friction)。其最大值（極限摩擦力）與正向力成正比。

$$\mathbf{F} = \mathbf{\mu R}$$

• \(F\) 是摩擦力的大小（N）。
• \(\mu\) 是摩擦係數 (Coefficient of friction)（一個無量綱的數，通常介於 0 到 1 之間）。
• \(R\) 是正向力 (Normal Reaction)（N）。

如果題目說明表面是光滑的 (smooth)，則假設 \(\mu = 0\)，因此 \(F = 0\)。如果表面是粗糙的 (rough)，則存在摩擦力。

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4. 使用 F = ma 解題

在運用牛頓第二定律時，我們僅限於直線運動（水平或垂直，包括斜面上的上下移動）。由於本單元不要求力分解，力通常會與加速度共線。

\(F=ma\) 解題指南

1. 繪製力圖： 畫出粒子並標示出所有作用力（W, R, T, F 等）。
2. 選定運動方向： 確定加速度 (\(a\)) 的方向。此方向即為計算中的正方向。
3. 應用 \(F = ma\)： 合力 (\(F_{\text{net}}\)) 等於沿正方向的力之和減去與其相反方向的力之和。

   $$(\text{沿 } a \text{ 方向的力}) - (\text{阻礙 } a \text{ 的力}) = ma$$

4. 求解： 代入已知數值，解出未知量（質量、加速度或力）。

例：一個質量為 5 kg 的粒子在粗糙表面上被 20 N 的水平力拉動，摩擦力為 5 N。

步驟 1 & 2：力圖顯示向前 20 N，向後 5 N。\(a\) 指向前方。
步驟 3：\(F_{\text{net}} = ma\)
$$(20) - (5) = 5a$$
$$15 = 5a$$
步驟 4：\(a = 3 \text{ ms}^{-2}\)。

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5. 連接粒子問題 (M1.3)

這類問題涉及兩個或多個物體，通常由輕質不可伸長的繩子或桿連接。主要情境有兩種：車輛與拖車、以及滑輪系統。

5.1 車輛與拖車 / 連接的箱子

想像一輛車（質量 \(M_C\））以驅動力 \(D\) 拉著一輛拖車（質量 \(M_T\)）。拖車由拖桿連接（產生張力 \(T\) 或推力）。

核心概念： 由於物體由不可伸長的繩子或剛性桿連接，它們必須具有相同的加速度 (\(a\))。

方法一：將系統視為整體

如果你將整個系統（車 + 拖車）視為一體，內部力（張力 \(T\) 或推力）會抵消，因為它們是作用在物體間的一對作用力與反作用力。

$$F_{\text{net (系統)}} = m_{\text{總}} a$$

此時只需考慮外部力（驅動力、總阻力）。

方法二：將粒子分開處理

若要求出內部力 (\(T\))，你必須對每個物體分別應用 \(F=ma\)：

• 車： \(D - R_{\text{車}} - T = M_C a\)
• 拖車： \(T - R_{\text{拖車}} = M_T a\)

現在你有了一組聯立方程式，可以解出 \(a\) 和 \(T\)。

5.2 滑輪系統（阿特伍德機）

這涉及兩個物體由一條經過光滑固定釘或滑輪的輕質不可伸長繩子連接。

假設：

• 滑輪/釘子是光滑的（無摩擦）。
• 繩子是輕質的（無質量，忽略其重量）。
• 繩子是不可伸長的（不會彈性變形，因此兩物體具有相同的速度和加速度 \(a\)）。

滑輪系統解題步驟

考慮兩個質量 \(M_1\) 和 \(M_2\)，由光滑滑輪連接，且 \(M_1 > M_2\)。

1. 判定運動方向： \(M_1\) 將加速下降，\(M_2\) 將加速上升。對兩者使用相同的張力 \(T\)。
2. 對 \(M_1\) 應用 \(F=ma\)（向下為正）： $$W_1 - T = M_1 a$$ $$\text{即 } M_1 g - T = M_1 a \hspace{1cm} (\text{方程式 1})$$
3. 對 \(M_2\) 應用 \(F=ma\)（向上為正）： $$T - W_2 = M_2 a$$ $$\text{即 } T - M_2 g = M_2 a \hspace{1cm} (\text{方程式 2})$$
4. 聯立求解： 將方程式 1 和 2 相加以消去 \(T\) 並求出 \(a\)。 $$(M_1 g - T) + (T - M_2 g) = M_1 a + M_2 a$$ $$g(M_1 - M_2) = a(M_1 + M_2)$$ $$a = \frac{g(M_1 - M_2)}{(M_1 + M_2)}$$

這個方法非常可靠！請務必根據每個物體預期的運動方向定義你的正方向。