P2.4 三角學：綜合學習筆記 (9660)

歡迎來到高等三角學的世界！在 AS Level 中，你已經學過基本的運算規則和函數。來到 P2，我們將深入探討恆等式、倒數函數以及強大的公式，這些工具能讓我們合併、簡化並解決更複雜的三角問題。這是不可或缺的知識，特別是在後續的微分（Differentiation）與積分（Integration）單元中，這些恆等式會被大量運用。

1. 基礎：函數與關鍵恆等式（AS 複習）

在進入 P2 的內容之前，請確保你對正弦、餘弦和正切函數的操作已經非常熟練。

基本定義與圖像

這些核心函數具有週期性（periodic），意指它們的圖像會在固定區間內重複出現。

  • 正弦 (\(\sin x\))： 週期為 \(360^\circ\) 或 \(2\pi\) 弧度。值域為 \([-1, 1]\)。從 (0, 0) 開始。
  • 餘弦 (\(\cos x\))： 週期為 \(360^\circ\) 或 \(2\pi\) 弧度。值域為 \([-1, 1]\)。從 (0, 1) 開始。
  • 正切 (\(\tan x\))： 週期為 \(180^\circ\) 或 \(\pi\) 弧度。值域為 \( ( -\infty, \infty ) \)。在 \(90^\circ, 270^\circ, \dots\) 處有垂直漸近線。
必備恆等式（必須背誦）

以下兩個恆等式是幾乎所有三角證明與化簡的基石：

  1. 商數恆等式（Quotient Identity）：

    $$ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $$

  2. 畢氏恆等式（Pythagorean Identity）：

    $$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$

    記憶小撇步： 這個恆等式直接源於單位圓中直角三角形的畢氏定理：\((\text{對邊})^2 + (\text{鄰邊})^2 = (\text{斜邊})^2\)，即 \((\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2 = 1^2\)。

快速複習：求解簡單方程式

記得求解指定範圍（例如 \(0^\circ \le x \le 360^\circ\)）內的方程式時，必須遵循四個關鍵步驟：
1. 將三角函數項單獨隔離。
2. 使用 \(\sin^{-1}, \cos^{-1}\) 或 \(\tan^{-1}\) 找出主值（Principal Value, PV）（這必須是一個正的銳角）。
3. 使用 CAST 圖表 或函數圖像來找出所有符合條件的象限。
4. 計算出範圍內的角度。（別忘了檢查範圍的兩個端點！）

第一節重點總結： 熟練掌握三種基本函數圖像，並能即時應用基本的畢氏恆等式與商數恆等式。

2. 弧度制、弧長與扇形面積

弧度（Radian）是 A-Level 數學（特別是微積分）中角度的標準單位。當題目沒有註明單位時，請預設為弧度。

認識弧度

弧度定義為圓弧長度等於半徑時，圓心所對應的圓心角。與隨意定義的「度」不同，這是一個基本的度量單位。

  • 轉換： \( \pi \text{ 弧度} = 180^\circ \)
  • 將度轉換為弧度時，乘以 \( \frac{\pi}{180} \)。
  • 將弧度轉換為度時，乘以 \( \frac{180}{\pi} \)。

你知道嗎？ \( 1\) 弧度大約等於 \(57.3^\circ\)。

弧長與扇形面積公式

這些公式只有在角度 \(\theta\) 以弧度計算時才有效。

  • 弧長 (\(l\))： $$ l = r\theta $$
  • 扇形面積 (\(A\))： $$ A = \frac{1}{2}r^2\theta $$

類比： 這些公式比對應的「度」制公式（涉及乘以 \(\frac{\theta}{360} \times 2\pi r\) 或 \(\frac{\theta}{360} \times \pi r^2\)）簡潔得多。使用弧度是非常高效的！

第二節重點總結： 如果題目涉及弧長或扇形面積，或是屬於 P2 的微積分題目，請務必將計算機設為弧度模式（RADIAN MODE），並直接使用 \(l=r\theta\) 和 \(A=\frac{1}{2}r^2\theta\) 公式。

3. 高等三角函數與恆等式 (P2 內容)

在 P2 中，我們引入三個新的函數——即原始三個函數的倒數——以及三個從基本畢氏恆等式推導出來的強大新恆等式。

倒數函數

這些函數只是正弦、餘弦和正切的乘法逆元（即翻轉）：

  • 正割 (\(\sec x\))： \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \)
  • 餘割 (\(\operatorname{cosec} x\) 或 \(\csc x\))： \( \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\sin x} \)
  • 餘切 (\(\cot x\))： \( \cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x} \)

避免常見錯誤： 學生經常搞混正割 (sec) 和餘割 (cosec)。竅門是觀察它們的第三個字母：'S'ecant 對應 'C'osine；'C'osecant 對應 'S'ine。

推導出的畢氏恆等式

我們將原始恆等式 (\( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)) 分別除以 \(\cos^2\theta\) 或 \(\sin^2\theta\)，即可得到另外兩個基礎恆等式。

恆等式 1：除以 \(\cos^2\theta\)

$$ \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} $$

化簡後得到：

$$ \mathbf{1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta} $$

恆等式 2：除以 \(\sin^2\theta\)

$$ \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta} $$

化簡後得到：

$$ \mathbf{1 + \cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta} $$

記憶小撇步： 要記住誰和誰一組，可以看它們「首字母」的關聯：

  • Secant 和 Tangent 配對 (\(\sec^2\theta\) 和 \(\tan^2\theta\))
  • Cosecant 和 Cotangent 配對 (\(\operatorname{cosec}^2\theta\) 和 \(\cot^2\theta\))

反三角函數 (\(\sin^{-1}, \cos^{-1}, \tan^{-1}\))

反函數用於找出對應於特定比例的角度。由於原始三角函數是週期性的（很多角度會對應到相同的輸出），反函數必須有受限的定義域與值域，以確保它們是真正的函數。

反函數的輸出稱為主值（principal value）。你需要記住這些值域：

  • \(y = \sin^{-1} x\)： 定義域 \([-1, 1]\)。值域 \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) 或 \([-90^\circ, 90^\circ]\)。
  • \(y = \cos^{-1} x\)： 定義域 \([-1, 1]\)。值域 \( [0, \pi] \) 或 \([0^\circ, 180^\circ]\)。
  • \(y = \tan^{-1} x\)： 定義域 \( (-\infty, \infty) \)。值域 \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) 或 \((-90^\circ, 90^\circ)\)。

類比： 想像電影螢幕正在播放一部不斷重複的電影（即三角函數圖形）。反函數只會顯示一個小的、獨特的片段（即主值域），其中包含所有可能的高度值，且不會重複。

第三節重點總結： 三個新的倒數函數與兩個推導出的畢氏恆等式（\(1+\tan^2\theta=\sec^2\theta\) 與 \(1+\cot^2\theta=\operatorname{cosec}^2\theta\)）是證明與化簡的必備利器。請務必牢記反函數的主值域。

4. 複角公式（加法公式）

這些公式能讓你展開如 \(\sin(A+B)\) 這類兩個角度之和或差的三角函數。

公式（公式冊中提供）
  • $$ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $$
  • $$ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $$
  • $$ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $$

記憶小撇步：

  • Sine (正弦) 是「混合型」且「符號不變」：正弦、餘弦、餘弦、正弦。
  • Cosine (餘弦) 是「純粹型」且「符號改變」：餘弦、餘弦、正弦、正弦。

應用： 你可以使用這些公式計算非標準角度的精確值，例如計算 \(\cos(75^\circ)\)：

逐步示範： 1. 將 \(75^\circ\) 看作 \(45^\circ + 30^\circ\)。 2. 使用公式： \( \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \) 3. 代入精確值： \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \) 4. 化簡： \( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \)

5. 倍角公式

這些是複角公式在 \(A=B\) 情況下的特例。它們對於積分涉及 \(\sin^2 x\) 或 \(\cos^2 x\) 的表達式至關重要。

公式（P2 必須熟記）
  1. 正弦倍角： $$ \sin 2A = 2 \sin A \cos A $$
  2. 餘弦倍角（三種形式）：

    $$ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A $$

    這是基本形式。透過代入 \( \sin^2 A = 1 - \cos^2 A \) 或 \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \)，我們可以得到另外兩種：

    $$ \cos 2A = 2 \cos^2 A - 1 \quad \text{（當你只想保留餘弦項時很有用）} $$

    $$ \cos 2A = 1 - 2 \sin^2 A \quad \text{（當你只想保留正弦項時很有用）} $$

  3. 正切倍角： $$ \tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A} $$
使用倍角恆等式化簡方程式

通常，三角方程式會包含不同的角度（如 \(2x\) 和 \(x\)）或不同的冪次（\(\sin^2 x\) 和 \(\cos x\)）。你必須利用這些恆等式重新整理方程式，使所有項的角度相同且函數類型一致（例如全部轉換為 \(\cos x\)）。

範例：求解 \( 3\sin 2x = \cos x \)，區間 \( 0 \le x < 2\pi \)。 1. 使用 \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \)： $$ 3(2 \sin x \cos x) = \cos x $$ $$ 6 \sin x \cos x - \cos x = 0 $$ 2. 因式分解（切記：絕對不要直接除以 \(\cos x\)，否則會丟失解！）： $$ \cos x (6 \sin x - 1) = 0 $$ 3. 令每個因式為零： $$ \cos x = 0 \quad \text{或} \quad 6 \sin x = 1 \implies \sin x = 1/6 $$ （接下來用弧度求解這兩個簡單方程式。）

第四、五節重點總結： 加法公式與倍角公式能進行複雜的化簡。請記住 \(\cos 2A\) 的三種形式。這些公式不僅對解方程式至關重要，也是積分問題的核心（例如：若要積分 \(\cos^2 x\)，你必須先將其改寫為 \(\frac{1}{2}(1 + \cos 2x)\)）。

6. R-公式（輔助角形式）

R-公式（或稱輔助角公式）是一種強大的技巧，用於將 \( a\cos\theta + b\sin\theta \) 這類形式的表達式合併為單一、更易於處理的三角函數：即 \( R\sin(\theta \pm \alpha) \) 或 \( R\cos(\theta \pm \alpha) \)。

為什麼 R-公式很有用？

如果你有一個函數如 \( f(\theta) = 3\sin\theta + 4\cos\theta \)，很難找出其最大值或求解 \( f(\theta) = 2 \)。透過將其轉換為單一函數（例如 \( 5\sin(\theta + 53.1^\circ) \)），這些問題就變得輕而易舉了。

應用：

  • 尋找表達式的最大值與最小值。
  • 找出達到這些極值時的角度。
  • 求解複雜的三角方程式。

操作流程：將 \( a\cos\theta + b\sin\theta \) 寫成 \( R\sin(\theta + \alpha) \) 的形式

我們希望 \( a\cos\theta + b\sin\theta \equiv R\sin(\theta + \alpha) \)。(餘弦形式的操作方法類似。)

第一步：展開目標形式 $$ R\sin(\theta + \alpha) = R(\sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha) $$ $$ R\sin(\theta + \alpha) = (R\cos\alpha)\sin\theta + (R\sin\alpha)\cos\theta $$

第二步：比較係數 將展開式與 \( a\cos\theta + b\sin\theta \) 進行比較：

\(\sin\theta\) 的係數： \( b = R\cos\alpha \quad \mathbf{(1)} \)

\(\cos\theta\) 的係數： \( a = R\sin\alpha \quad \mathbf{(2)} \)

第三步：求 R (振幅) 將 (1) 與 (2) 平方後相加： $$ b^2 + a^2 = (R\cos\alpha)^2 + (R\sin\alpha)^2 $$ $$ a^2 + b^2 = R^2 (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $$ 由於 \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \)： $$ R = \sqrt{a^2 + b^2} $$ R 恆為正數。

第四步：求 \(\alpha\) (相位偏移) 用 (2) 除以 (1)： $$ \frac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha} = \frac{a}{b} $$ $$ \tan\alpha = \frac{a}{b} $$ 計算 \( \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right) \)。由於 \(\alpha\) 代表相位偏移，通常要求其為銳角，即 \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \) (或 \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \))。

避免常見錯誤： 確保根據你選擇的公式正確配對係數。例如，如果你使用的是 \( R\cos(\theta - \alpha) \)，推導出的係數關係會有所不同！

尋找極值的範例

如果你求得 \( 3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^\circ) \)：

  • 最大值為 \( R = 5 \)，發生在 \(\sin(\theta + 53.1^\circ) = 1\) 時。
  • 最小值為 \( -R = -5 \)，發生在 \(\sin(\theta + 53.1^\circ) = -1\) 時。
第六節重點總結： R-公式是一種代數轉換，能將兩個獨立的函數合併成一個波形。請牢記關鍵步驟：1. 展開。 2. 比較係數。 3. 使用畢氏定理求 R。 4. 使用正切求 \(\alpha\)。