向量簡介：方向至關重要！
歡迎來到向量這一章！向量看起來可能很抽象，但它們非常實用。無論何時你需要描述運動——例如飛機以「特定的速度」在「特定的方向」上飛行，或者是一個推動物體的力——你都需要用到向量。與純量 (scalars)（只有大小，例如溫度或質量）不同，向量 (vectors) 同時具備大小 (magnitude) 和方向 (direction)。
本章將純幾何與代數聯繫起來，為你提供解決複雜二維及三維問題的工具。如果一開始覺得立體空間很難想像，不用擔心；我們將使用簡單的代數法則來處理這些複雜問題！
1. 定義與描述向量
1.1 記法與表達方式
向量可以用兩種常見方式書寫。你必須熟練掌握這兩種方式，儘管在計算中通常首選列向量 (column vectors)。
列向量記法（考試首選）
在二維或三維空間中，我們列出沿 $x$、$y$ 和 $z$ 軸移動的分量：
$$\n\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \quad \text{或} \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}\n$$
$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 記法
這些是單位向量 (unit vectors)（大小為 1 的向量），分別對應正 $x$、$y$ 和 $z$ 軸的方向。
$$\n\mathbf{a} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} \quad \text{或} \quad \mathbf{b} = 4\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 5\mathbf{k}\n$$
類比：想像一趟旅程。上面的向量 $\mathbf{b}$ 意味著「向前走 4 個單位，向右走 1 個單位，向上走 5 個單位」。
1.2 向量的大小
向量的大小就是它的長度，通常稱為模 (modulus)。我們使用畢氏定理來求出它。
若 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$，其大小記為 $|\mathbf{a}|$。
$$\n|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\n$$
在三維空間中，若 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$，其大小為：
$$\n|\mathbf{b}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\n$$
快速複習：大小的計算其實就是三維空間中距離公式的延伸。
你知道嗎？任何大小恰好為 1 的向量都稱為單位向量。你可以將任何向量 $\mathbf{a}$ 除以其大小來得到單位向量 $\hat{\mathbf{a}}$：$$\hat{\mathbf{a}} = \frac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}$$
2. 代數運算與幾何意義
2.1 向量的加法與減法
向量的加減法很簡單：只需將對應的分量相加或相減即可。
若 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ 且 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$：
加法：
$$\n\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3+2 \\ 1+5 \\ 4+(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\n$$
減法：
$$\n\mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3-2 \\ 1-5 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix}\n$$
幾何意義
向量加法遵循三角形法則 (Triangle Rule)：要計算 $\mathbf{a} + \mathbf{b}$，請將 $\mathbf{b}$ 的起點（尾部）接在 $\mathbf{a}$ 的終點（頭部）。結果向量從 $\mathbf{a}$ 的起點開始，到 $\mathbf{b}$ 的終點結束。
2.2 純量乘法
向量乘以一個純量（普通數字）會改變其大小，但不會改變其方向（除非純量為負數，這會使方向反轉）。
若 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ 且 $k=2$，則：
$$\n2\mathbf{a} = 2 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}\n$$
關鍵要點：如果兩個向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 是平行 (parallel) 的，則存在一個純量 $k$ 使得 $\mathbf{u} = k\mathbf{v}$。
2.3 位置向量與位移
位置向量 (position vector) 描述了點相對於原點 $O=(0, 0, 0)$ 的位置。點 $A$ 的位置向量為 $\vec{OA}$，通常記作 $\mathbf{a}$。
表示從點 $A$ 到點 $B$ 的位移向量（即向量 $\vec{AB}$）可通過以下關鍵公式求得：
$$\n\mathbf{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} \quad \text{或} \quad \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}\n$$
記憶秘訣：「終點減起點」。要從 A 到 B，請取 B 的位置減去 A 的位置。
2.4 兩點之間的距離
如果點 $A$ 和 $B$ 的位置向量分別為 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它們之間的距離就是位移向量 $\vec{AB}$ 的大小。
$$\n\text{距離 } AB = |\vec{AB}| = |\mathbf{b} - \mathbf{a}|\n$$
例子：若 $A(1, 0, 5)$ 且 $B(4, 3, 1)$，則 $\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-0 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$。距離為 $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+9+16} = \sqrt{34}$。
3. 直線的向量方程式
在 A-Level 數學中，我們不再用 $y=mx+c$ 描述直線，而是使用向量。這在三維空間中運作良好，而笛卡兒坐標形式在三維空間中會變得困難得多。
3.1 通用形式
通過固定點 $A$（位置向量為 $\mathbf{a}$）且平行於方向向量 $\mathbf{b}$ 的直線 $L$ 的向量方程式為：
$$\n\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\n$$
- $\mathbf{r}$：直線上「任意」點的位置向量（變數）。
- $\mathbf{a}$：直線上的「固定點」（起點）。
- $\mathbf{b}$：方向向量（決定直線走向）。
- $t$：參數（一個純量，代表沿 $\mathbf{b}$ 方向移動的距離倍數）。
例子：通過點 $(1, 0, 2)$ 且方向為 $\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ 的直線。
$$\n\mathbf{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\n$$
3.2 直線的交點（二維與三維）
要判斷兩條直線 $L_1$ 和 $L_2$ 是否相交，我們將它們的向量方程式相等。
若 $L_1: \mathbf{r}_1 = \mathbf{a}_1 + t\mathbf{b}_1$ 且 $L_2: \mathbf{r}_2 = \mathbf{a}_2 + s\mathbf{b}_2$（注意：第二條線需使用不同的參數，例如 $s$！），則在交點處，$\mathbf{r}_1 = \mathbf{r}_2$。
求交點的步驟
- 建立分量方程： 令 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 分量相等，生成三個包含參數 $t$ 和 $s$ 的聯立方程式。
- 解參數： 利用其中兩個方程式（例如 $x$ 和 $y$ 分量）來解出 $t$ 和 $s$。
- 檢查一致性（關鍵步驟）： 將計算出的 $t$ 和 $s$ 代入第三個方程式（$z$ 分量）。
- 如果第三個方程式成立，則直線相交。
- 如果第三個方程式出現矛盾（例如 $5=7$），則直線不相交。
- 找點： 將 $t$ 代回 $\mathbf{r}_1$（或將 $s$ 代回 $\mathbf{r}_2$）以求出交點的座標。
常見錯誤： 學生常解出前兩個方程式的 $t$ 和 $s$ 後就假設直線相交，忘記在第三個方程式中進行驗證。一定要檢查第三個分量！
3.3 平行線與歪斜線（三維空間）
對於具有方向向量 $\mathbf{b}_1$ 和 $\mathbf{b}_2$ 的兩條直線 $L_1$ 和 $L_2$：
- 平行： 若存在非零純量 $k$ 使得 $\mathbf{b}_1 = k\mathbf{b}_2$，則 $L_1$ 和 $L_2$ 平行。
- 歪斜 (skew)（僅限三維）： 如果兩條直線不平行且不相交，它們就是歪斜線。它們在空間中互不接觸且不平行，這是三維空間特有的現象。
直線部分的關鍵要點： 為不同的直線使用不同的參數，並且在求交點時一定要檢查第三個方程式。
4. 純量積（點積）
純量積 (scalar product)，又稱點積 (dot product)，是一種將兩個向量運算後得到一個「純量」（數值）的數學工具。它能揭示兩個向量在方向上的關係。
4.1 計算純量積
若 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ 且 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$，則純量積為：
$$\n\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\n$$
你只需要將對應分量相乘後相加。
4.2 幾何定義與角度計算
純量積也有幾何定義：
$$\n\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta\n$$
其中 $\theta$ 是兩個向量起點重合時的夾角。
重組公式即可求出夾角 $\theta$： $$\n\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\n$$
求兩向量夾角的步驟
- 計算點積： 求出 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$。
- 計算大小： 求出 $|\mathbf{a}|$ 和 $|\mathbf{b}|$。
- 代入： 將結果代入餘弦公式並求出 $\theta$。
4.3 垂直條件
若兩個向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 垂直 (perpendicular)（正交），它們之間的夾角 $\theta$ 為 $90^\circ$。由於 $\cos(90^\circ) = 0$，這導出了一個重要的規則：
$$\n\text{若 } \mathbf{a} \text{ 垂直於 } \mathbf{b} \text{，則 } \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\n$$
記憶技巧： 當向量呈 90 度時，點積會變為「零」。
點積關鍵要點： 純量積是你在向量問題中求角度和證明垂直的主要工具。
5. 點到直線的垂直距離
這是向量章節中最常見且最具挑戰性的應用題之一。它結合了直線方程式與垂直條件（$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$）。
目標：求點 $P$ 到直線 $L$ 的最短距離。
最短距離總是沿著線段 $PF$，其中 $F$ 是直線 $L$ 上的一點，使得 $PF$ 垂直於 $L$。$F$ 被稱為垂足 (foot of the perpendicular)。
步驟流程
假設直線 $L$ 為 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$，$P$ 是給定點，其位置向量為 $\mathbf{p}$。
- 定義垂足 ($F$)： 由於 $F$ 在直線 $L$ 上，其位置向量 $\mathbf{f}$ 必須能由直線方程式中的參數 $t$ 定義。 $$\n \mathbf{f} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}\n $$
- 求向量 $\vec{PF}$： 使用「終點減起點」求出從 $P$ 到 $F$ 的向量。該向量將包含參數 $t$。 $$\n \vec{PF} = \mathbf{f} - \mathbf{p} = (\mathbf{a} + t\mathbf{b}) - \mathbf{p}\n $$
- 應用垂直條件： 由於 $\vec{PF}$ 垂直於直線 $L$，它必然垂直於方向向量 $\mathbf{b}$。因此，它們的純量積為零。 $$\n \vec{PF} \cdot \mathbf{b} = 0\n $$
- 解出 $t$： 展開點積方程式。這將變成一個關於 $t$ 的線性方程式，解出 $t$ 的值。
- 求垂足 $F$： 將 $t$ 代回第 1 步中 $\mathbf{f}$ 的表達式，求出 $F$ 的準確座標。
- 計算距離： 求向量 $\vec{PF}$ 的大小（使用計算出的 $t$），或計算 $P$ 與 $F$ 之間的距離。 $$\n \text{距離 } = |\vec{PF}|\n $$
溫馨提示： 第 3 步的代數運算看起來複雜，但請記住你代入的是 $\mathbf{a}, \mathbf{b},$ 和 $\mathbf{p}$ 的具體數值。方程式通常會迅速簡化，例如變成 $14t = 28$。保持條理，清楚列出你的代入過程！
總結：向量的核心要點 (P2)
向量為物理學和三維幾何提供了語言。請熟練掌握這些核心概念：
- 位移： $\vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$（終點減起點）。
- 大小： $|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
- 直線方程式： $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$。
- 純量積： 用於求角度：$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$。
- 垂直條件： $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$。這是計算垂直距離的基礎。