歡迎來到進位制（Number Bases）的世界！
你有沒有想過，電腦本質上只是由數百萬個微小電子開關組成的集合，它們是如何向你展示高清電影或解決複雜的數學問題的呢？這一切都始於我們如何表示數據。在本章中，我們將深入探討進位制。雖然人類偏愛 10 進位（主要是因為我們有十根手指！），但電腦卻偏好更簡單的系統。
別擔心，如果你覺得數學有點嚇人，我們將把它拆解成容易消化的小步驟，並提供許多小技巧來協助你學習！
1. 什麼是進位制？
進位制（或稱基數，radix）就是指一個計數系統中可用的數字個數。它告訴你在需要「進位」到下一欄之前，你可以使用多少個不同的符號。
你需要知道的三種進位制：
- 十進位（Base 10）： 我們每天都在使用的系統。它使用 10 個數字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
- 二進位（Base 2）： 電腦的語言。它只使用 2 個數字：0 和 1。
- 十六進位（Base 16）： 二進位的「速記法」。它使用 16 個符號：0-9 以及 A-F。
你知道嗎？ 電腦使用二進位是因為它能表示電的兩種狀態：開啟 (1) 和 關閉 (0)。對硬體而言，區分「有電」與「沒電」比嘗試測量十種不同的電壓等級要容易得多！
重點總結：
進位制決定了你有多少個符號可用。Base 2 有兩個符號，Base 10 有十個，而 Base 16 有十六個。
2. 二進位（Base 2）
在二進位中，每一欄的數值都是其右邊那一欄的兩倍。我們將單個二進位數字稱為一個位元（bit）。
二進位位值表
為了理解二進位，我們使用一個表格。我們總是從最右邊開始，數值為 1，然後每向左移動一欄就乘以 2：
\(128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1\)
如何將二進位轉換為十進位：
想像二進位數字是一排「電燈開關」。如果開關是 1，代表開啟（我們計算該數值）。如果它是 0，代表關閉（我們忽略它）。
範例：將 10101000 轉換為十進位
- 將數字放入表格中：
\(128(1) + 64(0) + 32(1) + 16(0) + 8(1) + 4(0) + 2(0) + 1(0)\) - 加總所有「開啟」的數值： \(128 + 32 + 8 = 168\)
- 答案： 168
快速回顧： 要從二進位轉換為十進位，只需將所有出現「1」的對應位值相加即可。
3. 十六進位（Base 16）
像 110101101011 這樣的二進位數字非常長，人類很難閱讀。十六進位（或稱 Hex）讓這些數字變得更短且更易於管理。
「字母」的問題
因為我們只有 0-9 這十個數字，十六進位需要更多的符號來表示 10, 11, 12, 13, 14 和 15。我們使用字母來表示：
- A = 10
- B = 11
- C = 12
- D = 13
- E = 14
- F = 15
記憶小撇步： 只需記住 A 是第一個「雙位數」數字 (10)。從那裡開始，你只需要用手指數下去即可！B=11，C=12，以此類推。
重點總結：
十六進位使用 0-9 和 A-F。程式設計師使用它來讓二進位更易於閱讀（例如：顏色代碼或 MAC 位址）。
4. 進位制之間的轉換
考試要求你能在這三個系統之間靈活轉換。以下是最簡單的方法。
A. 二進位轉十六進位（「4 位一組」技巧）
這是最重要的捷徑！一個十六進位數字精確代表四個位元（一個 nibble）。
- 從右邊開始，將你的二進位數字每 4 位分為一組。
- 計算每一組的十進位數值（使用 8, 4, 2, 1）。
- 將任何大於 9 的數值轉換為對應的十六進位字母。
範例：將 11101011 轉換為十六進位
1. 分組： 1110 | 1011
2. 計算第一組 (1110)： \(8+4+2+0 = 14\)。在十六進位中，14 是 E。
3. 計算第二組 (1011)： \(8+0+2+1 = 11\)。在十六進位中，11 是 B。
4. 答案： EB
B. 十六進位轉二進位
只要將「4 位一組」技巧反過來做！取出每個十六進位數字，並將其轉換為 4 個位元。
範例：將 3F 轉換為二進位
1. 3 的二進位（使用 4 位元）是 0011。
2. F (15) 的二進位是 1111。
3. 答案： 00111111
C. 十進位轉二進位（「減法法」）
- 查看你的位值表： \(128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1\)。
- 從左邊 (128) 開始。你可以從你的數字中減去 128 嗎？
- 如果可以：寫下 1 並減去該數值。
- 如果不可以：寫下 0 並移至下一欄。
常見錯誤： 學生經常忘記寫下 0。每一欄都必須填入 1 或 0！
5. 快速參考總結表
以下是前幾個數字之間的對照速查：
十進位 | 二進位 (4-bit) | 十六進位
0 | 0000 | 0
5 | 0101 | 5
9 | 1001 | 9
10 | 1010 | A
12 | 1100 | C
15 | 1111 | F
期末複習清單
- 你能列出 Base 2 的位值嗎？ (1, 2, 4, 8, 16...)
- 你記得在十六進位中 A=10 且 F=15 嗎？
- 你能使用「4 位一組」規則在二進位和十六進位之間轉換嗎？
- 你知道電腦是因為電晶體/開關而使用二進位的嗎？
別擔心，如果剛開始覺得很難，這是很正常的！就像學習一門新語言，你練習用二進位和十六進位「對話」的次數越多，它就會變得越自然。今天就試著把你自己的年齡或門牌號碼轉換成二進位吧！