歡迎來到複數的世界！
在學校裡，你是不是常被告知不能計算負數的平方根？好吧，在進階數學（Further Maths）中，我們要打破這個規矩！複數讓我們能夠解開以前認為「不可能」的方程式，例如 \(x^2 + 1 = 0\)。它們不僅僅是數學上的小把戲，在現實生活中，從設計飛機機翼到理解電力和量子物理，它們的應用無處不在。
如果起初覺得這些概念有點奇怪，不用擔心。我們基本上只是為數字增加了一個「二維」的維度。讓我們開始探索吧！
1. 基礎概念：什麼是 \(i\)？
本章的基礎是虛數單位，以字母 \(i\) 表示。我們定義為：
\(i = \sqrt{-1}\) 或 \(i^2 = -1\)
一個複數通常寫成 \(z = x + iy\) 的形式，其中：
- \(x\) 是實部，記作 \(Re(z)\)。
- \(y\) 是虛部，記作 \(Im(z)\)。
你知道嗎？ 儘管它們被稱為「虛數」，但這些數字在應用上非常真實！工程師利用它們來模擬電網中的交流電（AC）。
重點摘要：
一個複數由兩部分組成：實部和虛部。它們就像特殊地圖上某一點的坐標一樣。
2. 複數算術
對複數進行運算與基本代數非常相似。只需將 \(i\) 當作變數（像 \(x\) 一樣）來處理，但要記住：每當你看到 \(i^2\)，就要將其替換為 \(-1\)。
加法與減法
只需將實部歸類在一起，虛部歸類在一起即可。
例子： \((3 + 2i) + (5 - 4i) = (3 + 5) + (2 - 4)i = 8 - 2i\)
乘法
使用 FOIL 法（First, Outside, Inside, Last，即展開括號），就像在 GCSE 中展開括號一樣。
例子： \((2 + 3i)(1 - 2i)\)
\( = 2(1) + 2(-2i) + 3i(1) + 3i(-2i)\)
\( = 2 - 4i + 3i - 6i^2\)
由於 \(i^2 = -1\)，最後一項變為 \(-6(-1) = +6\)。
\( = 2 - i + 6 = 8 - i\)
複數共軛 (Complex Conjugate)
如果 \(z = x + iy\)，其共軛複數（記作 \(z^*\)）為 \(z^* = x - iy\)。只需將虛部的符號改變即可！
小技巧： 將一個複數乘以它的共軛複數，結果總是一個實數：\(z \cdot z^* = x^2 + y^2\)。
除法（商）
要進行複數除法，請將分子和分母同時乘以分母的共軛複數。這樣可以「消去」分母中的 \(i\)。
例子： 若要計算 \(\frac{2+i}{3-i}\)，請將分子和分母同時乘以 \((3+i)\)。
需避免的常見錯誤：
當對像 \((3i)^2\) 這樣的虛數項進行平方時，許多同學會忘記對 3 進行平方。請記住：\((3i)^2 = 9i^2 = -9\)。
3. 阿爾岡圖 (Argand Diagram)
阿爾岡圖就是一個用來繪製複數的坐標圖。橫軸是實軸 (Re)，縱軸是虛軸 (Im)。
- 要標記 \(z = 3 + 2i\)，你需要向右移動 3 個單位，向上移動 2 個單位。
- 共軛複數 \(z^* = 3 - 2i\) 只是 \(z\) 在實軸上的鏡像反射。
4. 模 (Modulus) 與輻角 (Argument)
每個複數都可以用它距離原點的「距離」和「角度」來描述。
模 (\(|z|\))
模是從原點到該點的線段長度（大小）。我們使用畢氏定理：
\(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
輻角 (\(arg(z)\))
輻角 (\(\theta\)) 是該線段與正實軸之間所成的角度，以弧度為單位。
\(\tan \theta = \frac{y}{x}\)
重要提示： 務必畫一個草圖來確認你的點位於哪個象限！如果點在圖的左側，你可能需要對計算機算出的結果加上或減去 \(\pi\)。
快速回顧：
模： 多遠？（距離）
輻角： 什麼方向？（角度）
5. 極座標形式 (Polar Form)
除了使用 \(x + iy\)（笛卡兒形式）外，我們還可以用模 (\(r\)) 和輻角 (\(\theta\)) 來表示複數。這稱為極座標形式：
\(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\)
其中 \(x = r \cos \theta\) 且 \(y = r \sin \theta\)。
6. 解方程式
在課程的這部分，你需要能夠處理兩種類型的方程式：
比較實部與虛部
如果兩個複數相等，它們的實部必須相等，虛部也必須相等。
例子： 如果 \(2z + z^* = 1 + i\)，設 \(z = x + iy\)。
代入：\(2(x + iy) + (x - iy) = 1 + i\)
展開：\(2x + 2iy + x - iy = 1 + i\)
簡化：\(3x + iy = 1 + i\)
因此，\(3x = 1\)（所以 \(x = 1/3\)）且 \(y = 1\)。
二次方程式的非實數根
如果你求解一個實係數二次方程式（例如 \(ax^2 + bx + c = 0\)）且判別式為負（\(b^2 - 4ac < 0\)），則其根必定是一對共軛複數。
記憶輔助： 如果 \(3 + 2i\) 是一個根，那麼 \(3 - 2i\) 必定也是另一個根。它們總是成對出現的！
7. 複數平面上的軌跡 (Loci)
「軌跡」(Locus，複數為 Loci) 指的是由滿足特定規則的點所組成的路徑或區域。
圓： \(|z - a| = r\)
這代表所有距離點 \(a\) 正好為 \(r\) 的點 \(z\)。這形成了一個以 \(a\) 為圓心，\(r\) 為半徑的圓。
例子： \(|z - 2 - i| = 5\) 是一個圓心在 \((2, 1)\)，半徑為 5 的圓。
垂直平分線： \(|z - a| = |z - b|\)
這代表所有距離點 \(a\) 和點 \(b\) 相等（即位於中點）的點。這是一條垂直平分 \(a\) 與 \(b\) 之間線段的直線。
射線： \(arg(z - a) = \theta\)
這是一條從點 \(a\) 出發，並以角度 \(\theta\) 向外延伸的「射線」。注意：起點 \(a\) 通常用空心圓表示，因為在點 \(a\) 本身的角度是未定義的。
常見錯誤：
當你看到 \(|z - 2 - i|\) 時，請將其改寫為 \(|z - (2 + i)|\)。這能明確告訴你圓心位於 \(2 + i\)。別忘了提取負號！
重點總結
- \(i^2 = -1\)：複數的黃金法則。
- 共軛複數：改變 \(i\) 項的符號，用於除法或尋找根。
- 模：距離原點的長度 (\(\sqrt{x^2+y^2}\))。
- 輻角：與正實軸之間的角度。
- 阿爾岡圖：實軸為 \(x\)，虛軸為 \(y\)。
- 根：二次方程式的非實數根總是成對共軛出現 (\(a \pm bi\))。