歡迎來到幾何分佈！
你有沒有想過，在擲硬幣時，你需要擲多少次才能第一次看到「正面」？或者你需要購買多少包球星卡才能抽到那張稀有的球員卡？在統計學中，當我們在等待**第一次成功**出現時，我們就會用到**幾何分佈 (Geometric Distribution)**。
別擔心，統計學有時看起來就像一座充滿公式的大山。我們將會把它拆解成簡單、易懂的步驟。讀完這些筆記後，你會發現幾何分佈其實就是「一連串失敗」加上「最後一次成功」的規律。讓我們開始吧！
1. 什麼時候使用它？（適用條件）
在開始計算之前，我們需要確認幾何分佈是否適合眼前的問題。一個情境要成為「幾何」模型，必須符合以下規則：
1. 兩種結果：每次試驗只有兩種可能性：**成功** 或 **失敗**。（例如：考試及格或不及格）。
2. 獨立試驗：一次嘗試不會影響下一次。（例如：如果你第一次投籃沒進，你下一次投籃命中的機率依然保持不變）。
3. 固定機率：成功的機率（我們稱之為 \(p\)）在每一次試驗中必須保持完全不變。
4. 「直到」規則：我們不斷進行試驗，**直到**第一次成功出現為止。一旦成功，試驗立即停止。
記憶小撇步：想像「堅持不懈的幼兒」
想像一個幼兒試著堆疊積木。他們失敗、失敗、失敗……就在他們成功的那一刻，他們會拍手並停止動作。這就是幾何分佈！
快速複習：我們使用符號 \(X \sim Geo(p)\)，其中 \(X\) 是獲得第一次成功所需的試驗次數，而 \(p\) 是單次試驗中成功的機率。
2. 計算機率
假設成功的機率為 \(p\)，這意味著失敗的機率為 \(q = 1 - p\)。
找出在第 \(x\) 次試驗中恰好成功的機率
如果成功發生在第 \(x\) 次嘗試，意味著你必須連續 失敗 了 \(x-1\) 次，然後在最後一次嘗試中 成功。
公式：
\(P(X = x) = q^{x-1} \times p\)
例子：如果你命中目標的機率是 0.2，那麼你在第 4 次嘗試時第一次命中目標的機率是多少？
1. 成功 (\(p\)) = 0.2
2. 失敗 (\(q\)) = 0.8
3. 我們需要 3 次失敗然後 1 次成功：\(0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.2\)
4. 計算：\(0.8^3 \times 0.2 = 0.1024\)
找出在一定次數內獲得成功的機率
有時我們想知道成功在第 \(x\) 次或之前發生的機率。這寫作 \(P(X \le x)\)。
公式：
\(P(X \le x) = 1 - q^x\)
為什麼這個公式成立？
邏輯思考一下：你在 \(x\) 次試驗內 沒有 成功的唯一情況，就是你連續 \(x\) 次 每次都失敗。失敗 \(x\) 次的機率是 \(q^x\)。因此，不是每次都失敗的機率就是 \(1 - q^x\)。這是一個節省你時間的絕佳捷徑！
重點提示：當你想找出第一次成功需要 超過 \(x\) 次試驗的機率時，請使用 \(P(X > x) = q^x\)。
3. 平均值與變異數
在考試中，你需要知道如何求出幾何分佈的「平均值」（Mean）和「離散程度」（Variance）。
平均值： \(E(X) = \frac{1}{p}\)
這非常直觀！如果你有 1/10 的機率獲勝（\(p=0.1\)），你會預期玩 10 次才能贏一次（\(1 / 0.1 = 10\)）。
變異數： \(Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{q}{p^2}\)
這告訴我們試驗次數相對於平均值可能會有多少波動。
你知道嗎？
幾何分佈是 無記憶性 (memoryless) 的。這意味著即使你已經失敗了 10 次，你在第 11 次試驗中成功的機率依然只是 \(p\)。「宇宙」不會因為你一直失敗就欠你一次成功！
4. 推導（給勇敢的你！）
課程大綱要求你理解這些公式的來源。如果一開始覺得很難別擔心；這主要是運用你在純數（Pure Maths）學過的 幾何級數 知識。
推導平均值 \(E(X)\)
根據定義，期望值是（值 \(\times\) 機率）的總和：
\(E(X) = \sum x \cdot P(X=x) = 1p + 2qp + 3q^2p + 4q^3p + ...\)
提取 \(p\)：
\(E(X) = p(1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...)\)
括號內的部分是幾何級數 \(1 + q + q^2 + q^3...\) 的導數，該級數和為 \(\frac{1}{1-q}\)。
透過微積分/代數運算，括號內的總和變為 \(\frac{1}{(1-q)^2}\)。
由於 \(1-q = p\)，我們得到：
\(E(X) = p \times \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}\)
快速複習框：
• 期望值： \(1/p\)
• 變異數： \(q/p^2\)
• \(P(X \le x)\)： \(1 - q^x\)
• 永遠記得： \(q = 1 - p\)
5. 常見錯誤避坑指南
1. 使用錯誤的「x」：在公式 \(q^{x-1}p\) 中，次方是 \(x-1\)，而不是 \(x\)。如果你想在第 5 次試驗成功，你只有 4 次失敗。
2. 忘記「直到」規則：學生常將幾何分佈與二項分佈混淆。請記住：二項分佈有 固定的試驗次數（例如：擲 10 次）。幾何分佈有 固定的成功次數（例如：擲到出現 1 次正面為止）。
3. 誤解「超過」：如果題目要求 \(P(X > 5)\)，意味著你在前 5 次試驗都失敗了。公式單純是 \(q^5\)。你不需要進行繁瑣的加總！
幾何分佈總結
• 它用於模擬獲得 第一次 成功所需的試驗次數。
• 成功機率 \(p\) 必須是 固定 的，且試驗必須是 獨立 的。
• 平均試驗次數為 \(1/p\)。
• 直到第 \(x\) 次試驗都失敗的機率為 \(q^x\)。
• 務必再次確認題目問的是「恰好」、「超過」還是「至多」。
你一定沒問題的！試著練習幾題計算 \(E(X)\) 和 \(P(X=x)\) 的題目，讓這些公式成為你的直覺吧。