Roots and coefficients of a quadratic equation Content Additional information

歡迎來到根與係數的世界！

在你過去的數學學習中，你已經學會如何透過解二次方程來找出 \(x\) 的值（即根）。但在進階數學（Further Mathematics）中，我們有更聰明的捷徑。我們不再直接尋求根本身，而是探討根與方程中各項係數之間的關係。

這是一個非常強大的工具，因為它讓我們不需要用到二次公式（quadratic formula），就能構建出新的方程並解決複雜的問題！如果這聽起來有點抽象，別擔心——一旦你看出了當中的規律，解題過程就如同解開一道令人滿足的拼圖。

1. 黃金法則：和與積

每個二次方程都可以寫成以下形式：
\(ax^2 + bx + c = 0\)

假設兩個根分別為 \(\alpha\) (alpha) 和 \(\beta\) (beta)。即使不知道它們確切是多少，我們也掌握了關於它們的兩個神奇法則：

根的和 (Sum of the Roots)：
\(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)

根的積 (Product of the Roots)：
\(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)

快速回顧：
如果你有方程 \(2x^2 - 8x + 5 = 0\)：
• \(a = 2, b = -8, c = 5\)
• 和 (\(\alpha + \beta\)) = \(-(-8)/2 = 4\)
• 積 (\(\alpha\beta\)) = \(5/2 = 2.5\)

記憶小撇步：記住「和是負的 B 除以 A」。你可以把和公式中的負號想像成烹飪時加的一小撮鹽——求和時總是需要它，但求積時就不需要！

2. 表達式的變換

有時候，試題會要求你求出像 \(\alpha^2 + \beta^2\) 這樣複雜的值。由於我們只知道 \((\alpha + \beta)\) 和 \((\alpha\beta)\) 的值，我們必須利用這些「積木」來改寫複雜的表達式。

「必知」恆等式：

1. 根的平方和：
\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\)
（比喻：想像你有一個面積為 \((\alpha + \beta)^2\) 的正方形。為了得到 \(\alpha^2\) 和 \(\beta^2\) 這兩個正方形，你需要把中間那兩個 \(2\alpha\beta\) 的長方形減掉。）

2. 根的立方和（課程要求）：
\(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\)

3. 分數形式：
\(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\)
（要解這個，只需通分即可！）

重點總結：你的目標永遠是將任何表達式改寫成只包含 \(\alpha + \beta\) 和 \(\alpha\beta\) 的形式。一旦變成了這個樣子，直接代入數字就完成了！

3. 形成新方程

FP1 中最常見的任務之一，就是給定一個根為 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的方程，然後要求你求出一個新的方程，其根為不同的值（例如 \(2\alpha\) 和 \(2\beta\)）。

秘密配方：
任何二次方程都可以寫成：
\(x^2 - (\text{新根之和})x + (\text{新根之積}) = 0\)

步驟指引：
1. 找出原方程根的和與積（即 \(\alpha + \beta\) 和 \(\alpha\beta\)）。
2. 將新根相加，計算出新和。
3. 將新根相乘，計算出新積。
4. 將這些值代入公式：\(x^2 - (\text{和})x + (\text{積}) = 0\)。

常見陷阱：很多同學會忘記方程中「和」前面的負號。一定要檢查清楚：是 \(x^2\) 減去「和」乘以 \(x\)！

4. 處理更複雜的根

課程中會提到像 \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\) 或者 \(\alpha + \frac{2}{\beta}, \beta + \frac{2}{\alpha}\) 這樣的根。別被它們嚇倒！方法是完全一樣的。

範例：新根為 \(\frac{1}{\alpha}\) 和 \(\frac{1}{\beta}\)
• 新和： \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}\)
• 新積： \(\frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta}\)

範例：新根為 \(\alpha^3\) 和 \(\beta^3\)
• 新和： \(\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\)
• 新積： \(\alpha^3 \times \beta^3 = (\alpha\beta)^3\)

你知道嗎？
這些關係被稱為韋達定理 (Vieta's Formulas)，是以 16 世紀法國數學家弗朗索瓦·韋達（François Viète）的名字命名的。他是最早在數學中使用字母來代表數字的人之一，這就是為什麼我們今天仍然使用 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的原因！

總結檢查表

• 你能從任何二次方程中找出 \(\alpha + \beta\) 和 \(\alpha\beta\) 嗎？（記得留意正負號！）
• 你能只用「和」與「積」來改寫 \(\alpha^2 + \beta^2\) 和 \(\alpha^3 + \beta^3\) 嗎？
• 你能求出「新根」的和與積嗎？
• 你能使用 \(x^2 - (\text{和})x + (\text{積}) = 0\) 組建新方程嗎？

如果剛開始覺得這很棘手，請別擔心！練習「構建」這些表達式的次數越多，就會覺得越自然。你現在學的是二次方程的 DNA！