歡迎來到代數與函數的世界！
歡迎來到 Oxford AQA International AS Level 數學課程中代數與函數 (Algebra and Functions) 單元的學習指南。你可以把代數看作數學的「工具箱」。一旦你掌握了這些工具，就能輕鬆地拆解複雜的題目並將其解決。
無論你是熱愛數學，還是覺得它有點令人頭痛，這些筆記都旨在將所有內容簡化為容易理解的步驟。我們將涵蓋從神秘的根式 (Surds) 到強大的圖像變換 (Graph Transformations) 等所有內容。讓我們開始吧！
1. 根式：處理無理數根
根式 (Surd) 是一個用根號（通常是平方根）表示的無理數。你可以把它們想成「精確值」。我們不寫 1.414...，而是直接寫成 \(\sqrt{2}\)。
化簡根式
化簡根式的秘訣是找出根號內數字的最大平方數因數。
例子：化簡 \(\sqrt{12}\)
1. 找出 12 的因數：1, 2, 3, 4, 6, 12。
2. 找出其中的平方數：4。
3. 重寫：\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)。
分母有理化
在數學中，我們不希望分母含有根式。為了修正這一點，我們會進行「有理化」。
情況一：單項根式
要將 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) 有理化，分子和分母同時乘以 \(\sqrt{2}\)：
\(\frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。
情況二：「共軛 (Conjugate)」技巧
如果分母是 \(a - \sqrt{b}\)，則乘以它的「好拍檔」\(a + \sqrt{b}\)。這利用了「平方差公式」來抵消根號！
例子：\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}\)
分子和分母同時乘以 \((\sqrt{2}+1)\)：
\(\frac{1(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1\)。
重點總結： 務必尋找平方數 (\(4, 9, 16, 25...\)) 來化簡根式。若要消除分母的根號，請乘以它的共軛。
2. 指數定律 (Laws of Indices)
指數遵循特定的規則。只要記住這些，你幾乎可以化簡任何表達式。
- 乘法： \(x^a \times x^b = x^{a+b}\)（次方相加）
- 除法： \(x^a \div x^b = x^{a-b}\)（次方相減）
- 冪之冪： \((x^a)^b = x^{ab}\)（次方相乘）
- 負指數： \(x^{-a} = \frac{1}{x^a}\)（「翻轉」規則）
- 分數指數： \(x^{1/n} = \sqrt[n]{x}\)（分母代表根指數）
快速複習： \(x^{2/3}\) 意味著先平方再開立方（或先開立方再平方）！
3. 二次函數 (Quadratic Functions)
二次函數是指 \(x\) 的最高次冪為 \(x^2\) 的任何表達式。它們的圖形呈「U」型（拋物線），如果 \(x^2\) 項為負，則呈倒「U」型。
解二次方程
找出圖形與 x 軸交點（即根 (roots)）的三種主要方法：
1. 因式分解： 將表達式分解成兩個括號，例如 \((x+2)(x-3)=0\)。
2. 二次公式： \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。當數字很複雜時使用！
3. 配方法： 將 \(x^2 + bx + c\) 改寫為 \((x+p)^2 + q\)。
判別式：預測根的性質
公式中根號底下的部分，即 \(b^2 - 4ac\)，稱為判別式 (discriminant)。它無需解方程就能告訴我們方程有多少個根！
- 若 \(b^2 - 4ac > 0\)：兩個不同的實根（圖形與 x 軸交於兩點）。
- 若 \(b^2 - 4ac = 0\)：一個重根（圖形在頂點處剛好觸碰 x 軸）。
- 若 \(b^2 - 4ac < 0\)：無實根（圖形懸浮在 x 軸上方或下方）。
重點總結： 判別式就像二次方程的「水晶球」——在解題前就能預知根的性質。
4. 配方法 (Completing the Square)
這是一個尋找圖形頂點 (vertex)（轉折點）非常有用的技巧。
例子：\(x^2 + 6x - 1\)
1. 取 \(x\) 項係數的一半（6 的一半是 3）。
2. 寫成 \((x+3)^2\)。
3. 減去該數的平方：\((x+3)^2 - 3^2 - 1\)。
4. 化簡：\((x+3)^2 - 10\)。
頂點： 對於 \((x+p)^2 + q\)，轉折點始終位於 \((-p, q)\)。因此，在我們的例子中，轉折點為 \((-3, -10)\)。
5. 聯立方程與不等式
有時我們需要找出直線與曲線的交點。我們會使用代入法 (substitution) 來解決。
線性與二次方程的步驟：
1. 重組線性方程，得到 \(y = ...\) 或 \(x = ...\)。
2. 將其代入二次方程中。
3. 解出該二次方程的一個變數。
4. 將答案代回線性方程，求出另一個變數。
二次不等式
解 \(x^2 + x - 6 \ge 0\) 有點不同：
1. 先找出根（令其等於 0）。這裡 \((x+3)(x-2)=0\)，所以根為 \(-3\) 和 \(2\)。
2. 繪製草圖。
3. 因為我們想要「大於或等於 0」，所以找出圖形中高於 x 軸的部分。
4. 答案：\(x \le -3\) 或 \(x \ge 2\)。
常見錯誤： 解不等式時，除非確定變數（如 \(x\)）為正，否則切勿隨意乘除。將所有項移至一邊並繪製草圖是更穩妥的做法！
6. 多項式：除法與定理
多項式 (Polynomial) 只是像 \(x^3 - 5x^2 + 7x - 3\) 這類表達式的一種高級稱呼。
代數除法
你可以將多項式除以 \((x-a)\)。這就像數字的長除法！你可以使用長除法或比較係數法 (equating coefficients)。
餘式定理 (Remainder Theorem)： 若將多項式 \(f(x)\) 除以 \((x-a)\)，餘數直接為 \(f(a)\)。
因式定理 (Factor Theorem)： 如果代入 \(a\) 後得到 \(f(a) = 0\)，那麼 \((x-a)\) 就是一個因式！這對於分解三次方程非常有用。
7. 圖像變換 (Graph Transformations)
你可以透過改變方程式來平移或伸縮 \(y = f(x)\) 的圖形。把它們想像成照片的濾鏡。
- \(f(x) + a\)： 向上平移 \(a\) 個單位。
- \(f(x + a)\)： 向左平移 \(a\) 個單位。（警告：方向與直覺相反！）
- \(a f(x)\)： 垂直方向伸縮 \(a\) 倍。
- \(f(ax)\)： 水平方向縮放 \(1/a\) 倍。（注意：同樣地，作用是相反的！）
小知識： 你可以使用向量符號來表示平移。向右移動 3 格、向下移動 2 格可寫作 \(\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}\)。
重點總結： 括號「外」的變動會影響 y 軸（垂直）且符合邏輯。括號「內」的變動會影響 x 軸（水平）且通常與直覺相反！
如果剛開始覺得這些變換很混亂也不用擔心。試著畫一個簡單的圖形，例如 \(y = x^2\)，然後試著畫出 \(y = (x-2)^2\)，親自看看它是如何平移的吧！