Bernoulli and binomial distributions

歡迎來到伯努利分佈與二項分佈的世界！

在本章中，我們將探索現實生活中一些最常見的機率測量方法。你有沒有想過，擲 10 次硬幣，恰好出現 3 次「公」的機率是多少？或者工廠生產線上會有多少個產品是不合格的？這正是伯努利分佈 (Bernoulli distribution) 和 二項分佈 (Binomial distribution) 能幫助我們解答的問題。

別擔心，如果統計學起初讓你覺得有些吃力，我們將會把它拆解成簡單的「是或否」步驟！

1. 伯努利分佈：單次實驗的力量

伯努利分佈是統計學中最基礎的組成部分。它描述了一次實驗（稱為試驗 (trial)），該實驗只有兩種可能的結果：成功 (Success) 或 失敗 (Failure)。

試著這樣想：你投籃一次，要麼投進（成功），要麼投失（失敗），沒有「中間地帶」。

關鍵組成部分

我們使用以下符號來描述一次伯努利試驗：

1. \(p\)：成功的機率（通常以數值 1 表示）。
2. \(1 - p\)：失敗的機率（通常以數值 0 表示）。我們有時稱之為 \(q\)。
3. 總機率之和必須永遠等於 1：\(p + (1 - p) = 1\)。

平均值與變異數

即使只是單次試驗，我們也可以計算其平均值 (Mean) 和離散程度（變異數, Variance）：

平均值： \(E(X) = p\)
變異數： \(Var(X) = p(1 - p)\)

小貼士：如果贏得一場比賽的機率是 0.7，那麼平均來說，你每玩 1 場比賽，你就「贏」了 0.7 場。聽起來有點奇怪，但這就是平均值告訴我們的資訊！

重點總結：伯努利分佈適用於單次試驗，且只有兩種結果的情況。

2. 二項分佈：重複的成功

如果我們把那單次的伯努利試驗重複多次會怎樣呢？這就是二項分佈發揮作用的地方。它其實就是多個獨立伯努利試驗的總和。

例子：擲 10 次硬幣，計算出現多少次「公」。每一次投擲都是一次伯努利試驗；這 10 次投擲加起來就構成了二項分佈。

「BINS」準則

要使用二項分佈，情況必須滿足以下四個條件（記住單詞 BINS）：

B - Binary（二元）：只有兩個結果（成功/失敗）。
I - Independent（獨立）：一次試驗不會影響下一次（例如，硬幣不會「記得」上一次的結果）。
N - Number（次數）：有固定的試驗次數 (\(n\))。
S - Success（成功）：每次試驗成功的機率 (\(p\)) 保持不變。

你知道嗎？如果你從袋子裡取出彈珠並且不放回去，這就不是二項分佈，因為每一次的機率都會改變！

3. 計算二項機率

要找出在 \(n\) 次試驗中恰好出現 \(x\) 次成功的機率，我們使用以下公式：

\(P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}\)

拆解公式

1. \(\binom{n}{x}\)：這是組合 (combination)的部分。它告訴我們有多少種不同的排列成功的方式。你可以在計算機上使用 \(nCr\) 按鈕找到它。
2. \(p^x\)：成功的機率的 \(x\) 次方，其中 \(x\) 是我們想要的成功次數。
3. \((1 - p)^{n-x}\)：失敗的機率的餘下次數次方，代表剩餘的失敗次數。

例子：如果你拋擲一顆公平的骰子 5 次，恰好得到兩次 6 點的機率是多少？
\(n = 5\)（總拋擲次數）
\(x = 2\)（期望出現 6 點的次數）
\(p = 1/6\)（出現 6 點的機率）
\(1 - p = 5/6\)（沒有出現 6 點的機率）

計算方式：\(\binom{5}{2} \times (1/6)^2 \times (5/6)^3\)

要避免的常見錯誤

請確保指數（\(x\) 和 \(n-x\)）之和永遠等於 \(n\)。在上面的例子中，\(2 + 3 = 5\)。如果它們相加不等於 \(n\)，代表你遺漏了某個試驗！

重點總結：使用 \(\binom{n}{x}\) 來找出排列方式的數量，然後乘以成功和失敗的機率。

4. 平均值、變異數與標準差

對於二項分佈 \(X \sim B(n, p)\)，計算「平均」結果和「離散程度」非常直接：

平均值（期望值）： \(E(X) = np\)
類比：如果你拋擲一枚硬幣 100 次 (\(n=100\))，且出現正面的機率是 0.5 (\(p=0.5\))，你預期會得到 \(100 \times 0.5 = 50\) 次正面。

變異數： \(Var(X) = np(1 - p)\)
這衡量了結果偏離平均值的程度。

標準差： \(\sigma = \sqrt{np(1 - p)}\)
這只是變異數的平方根。

5. 使用統計表

有時候，逐一計算機率太慢了——特別是對於「至多 (at most)」或「小於 (less than)」類型的問題（例如 \(P(X \leq 4)\)）。

在考試中，你可能會獲得累積二項分佈表 (cumulative binomial tables)。這些表格會告訴你 \(X\) 小於或等於某個數值的機率。

查表技巧：
1. 如果問題詢問 \(P(X \leq 3)\)，直接在表中查找 3 對應的數值。
2. 如果問題詢問 \(P(X < 3)\)，這等同於 \(P(X \leq 2)\)。
3. 如果問題詢問 \(P(X \geq 3)\)，使用「補集」規則：\(1 - P(X \leq 2)\)。

快速複習盒
伯努利： 1 次試驗。平均值 = \(p\)。變異數 = \(p(1-p)\)。
二項： \(n\) 次試驗。平均值 = \(np\)。變異數 = \(np(1-p)\)。
檢查「BINS」：Binary（二元）、Independent（獨立）、Number fixed（次數固定）、Success constant（成功率固定）。
總機率： 永遠等於 1。

如果起初覺得這些很棘手，別擔心！只要你多練習識別 \(n\)、\(p\) 和 \(x\)，它就會變得越來越容易。你一定可以的！