歡迎來到卡方檢定 (Chi-Squared Tests)！
在本章中，我們將探討一種強大的統計工具：卡方 (\(\chi^2\)) 檢定。你有沒有想過六面骰子是否公平？或者足球比賽中的入球數是否遵循某種特定模式？這正是這些檢定能幫我們解決的問題！我們使用它們來查看我們收集的「觀察」數據是否符合數學模型所預期的「期望」數據。
如果起初覺得這些概念有點抽象，請不用擔心。讀完這些筆記後，你將能夠判斷一組數據是否「符合」模型，或者兩個因素之間是否獨立。
1. 基礎概念：觀察值與期望值
每一次卡方檢定都圍繞著比較兩組數據：
- 觀察頻數 (\(O_i\))： 你從實驗中實際數出來或收集到的數據。
- 期望頻數 (\(E_i\))： 如果你的理論（即虛無假設）完全正確，你「應該」得到的數字。
卡方統計量
我們計算一個單一數值來衡量觀察值與期望值之間的「差距」。公式如下：
\(\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\)
可以這樣想： 如果觀察值與期望值非常接近，\((O - E)\) 就會很小，我們的 \(\chi^2\) 值也會很小。如果它們差異很大，\(\chi^2\) 值就會很大，這暗示我們的理論可能是錯的！
關鍵法則：「5 的法則」(Rule of 5)
為了確保卡方檢定的準確性，每一個儲存格的期望頻數 (\(E_i\)) 必須至少為 5。
常見錯誤： 學生經常去檢查觀察頻數。千萬不要這樣做！請務必檢查期望值。
如果小於 5 怎麼辦？ 你必須合併相鄰的儲存格，直到合併後的期望頻數達到 5 或以上。當你合併儲存格時，請記得你的類別數量 (\(n\)) 會隨之減少！
重點總結： 大的 \(\chi^2\) = 理論與現實之間存在巨大差異。請務必確保 \(E_i \ge 5\)。
2. 適配度檢定 (Goodness of Fit Tests)
適配度檢定用於檢查數據是否符合特定的機率分佈。在 Edexcel FM1 課程中，你需要知道如何對以下分佈進行檢定：
- 離散均勻分佈 (Discrete Uniform)： 每個結果發生的機率都相等（例如公平的骰子）。
- 二項分佈 (Binomial distribution)： 在固定次數的試驗中，成功/失敗的次數。
- 卜瓦松分佈 (Poisson distribution)： 事件以恆定速率發生（例如放射性衰變）。
- 幾何分佈 (Geometric distribution)： 直到第一次成功所需的試驗次數。
檢定步驟
1. 建立假設：
\(H_0\)：數據可以用 [分佈名稱] 進行建模。
\(H_1\)：數據不可以用 [分佈名稱] 進行建模。
2. 計算期望頻數：
\(E_i = \text{該類別的機率} \times \text{總頻數}\)
3. 檢查「5 的法則」： 必要時合併儲存格。
4. 計算 \(\chi^2\)： 使用公式或計算機的列表功能。
自由度 (\(v\))
這是適配度檢定中最棘手的部分！公式如下：
\(v = n - 1 - k\)
其中：
- \(n\) 是儲存格的數量（合併後）。
- \(1\) 是因為總頻數是固定的，所以必須減去 1。
- \(k\) 是你在計算期望值時，必須從數據中估計的參數數量。
什麼時候 \(k > 0\)？
- 卜瓦松分佈： 如果你需要從表格中計算平均值 (\(\lambda\))，則 \(k = 1\)。如果題目直接給出 \(\lambda\)，則 \(k = 0\)。
- 二項分佈： 如果你需要從表格中計算機率 \(p\)，則 \(k = 1\)。
- 均勻分佈： 通常 \(k = 0\)，因為沒有參數需要估計。
你知道嗎？ 「自由度」就像有人告訴你選 5 個數字，總和必須等於 20。你可以自由選擇前 4 個數字，但第 5 個數字必須是固定的，才能湊成總和。這就是為什麼我們通常要減去 1！
快速回顧： \(v = \text{儲存格數} - 1 - \text{估計參數數}\)。請仔細閱讀題目，確認參數是「給定的」還是「計算出來的」。
3. 列聯表 (Contingency Tables，獨立性檢定)
當我們有兩個不同因素（例如性別與科目選擇）並想了解它們是否獨立（無關聯）時，我們就會使用列聯表。
檢定步驟
\(H_0\)：[因素 1] 與 [因素 2] 是獨立的。
\(H_1\)：[因素 1] 與 [因素 2] 不是獨立的（存在關聯）。
計算期望頻數
對於表中的每個儲存格，期望頻數為：
\(E_i = \frac{\text{行總計} \times \text{列總計}}{\text{總計}}\)
列聯表的自由度
這比適配度檢定簡單得多！
\(v = (r - 1) \times (c - 1\))
其中 \(r\) 是列數，\(c\) 是行數。這裡你不需要擔心 \(k\)！
記憶小撇步： 對於列聯表，請記住「RC」（行/列）。自由度只是「減少後」的行數與列數的乘積。
重點總結： 列聯表用於測試兩個變數是否相關。計算期望值時，請使用「行 \(\times\) 列 / 總計」規則。
4. 結束檢定
一旦你計算出 \(\chi^2\) 和自由度 (\(v\))，有兩種方法可以完成檢定：
- 臨界值法： 使用 \(v\) 和顯著水準 (\(\alpha\)) 在統計表中查出臨界值。如果計算出的 \(\chi^2\) > 臨界值，則拒絕 \(H_0\)。
- P 值法： 大多數現代計算機會直接給你 P 值。如果 P 值 < 顯著水準，則拒絕 \(H_0\)。
撰寫結論
結論務必包含以下兩部分：
- 統計結果： 「拒絕 \(H_0\)」或「未能拒絕 \(H_0\)」。
- 情境結果： 「在 5% 的顯著水準下，有足夠的證據表明這顆骰子有偏差」或「沒有足夠的證據表明性別與科目選擇之間存在關聯」。
鼓勵一下： 假設檢定的結論有時看起來很冗長，但如果你每次都遵循這個「結果 + 情境」的模板，就能輕鬆拿到滿分！
檢查清單
- 這是適配度檢定還是列聯表？
- 我的假設清晰且包含情境了嗎？
- 所有的期望頻數都 \(\ge 5\) 嗎？（如果不夠，請合併！）
- 我正確計算了自由度嗎？（注意估計參數的數量！）
- 我的結論是否同時具備統計結果與情境描述？
祝你練習順利！做的 \(\chi^2\) 檢定越多，這個過程就會變得越直觀。