複數簡介
歡迎來到進階數學（Further Mathematics）中最令人興奮的章節之一！在過去，你可能被告知不能對負數開平方根。但在 核心純數學（Core Pure Mathematics）中，我們要把這條規則拋諸腦後。透過引入虛數單位 \(i\)，我們開啟了一個全新的數系維度。如果初看之下覺得這些數字有點「不真實」，別擔心——複數在工程、物理，甚至是描述光和聲音的行為方面都至關重要！
1. 基礎：什麼是複數？
複數 \(z\) 由兩部分組成：實部和虛部。我們以笛卡兒形式（Cartesian form）寫作：
\(z = x + iy\)
- \(x\) 是實部，記作 \(Re(z)\)。
- \(y\) 是虛部，記作 \(Im(z)\)。
- \(i\) 的定義性質為 \(i^2 = -1\)。
複數運算
複數運算與基礎代數非常相似。將 \(i\) 視為一個變數（例如 \(x\)），但每當你看到 \(i^2\) 時，將其替換為 \(-1\) 即可。
- 加法/減法： 將實部和虛部分別相加或相減。
例子：\((3 + 2i) + (1 - 4i) = (3+1) + (2-4)i = 4 - 2i\) - 乘法： 使用 FOIL 方法（展開四項）。
例子：\((2 + i)(3 - i) = 6 - 2i + 3i - i^2 = 6 + i - (-1) = 7 + i\) - 除法： 要進行除法，請將分子和分母同時乘以分母的共軛複數，以將分母「實數化」。
共軛複數
\(z = x + iy\) 的共軛複數寫作 \(z^* = x - iy\)。
記憶小撇步： 只需將虛部的符號「反轉」即可！
快速複習： \(z \times z^*\) 的結果永遠是一個實數：\(x^2 + y^2\)。
重點總結
複數由實部和虛部組成。將 \(i\) 視作代數運算，但切記 \(i^2 = -1\)。2. 解多項式方程式
在本課程中，你將會解係數為實數的二次、三次和四次方程式。
共軛根定理（Conjugate Pair Theorem）
這是一條至關重要的規則：如果一個多項式具有實數係數，且複數 \(z_1\) 是一個根，那麼它的共軛複數 \(z_1^*\) 也必定是該方程式的根。 複數根總是成對出現的！
逐步解題：解高次方程式
如果你被要求解一個三次方程式 \(f(z) = 0\)：
- 題目通常會給你一個根或一個線性因式（如 \(z+2\)）。
- 使用多項式除法或觀察法，將該三次式除以已知的因式。
- 這會讓你剩下一個二次方程式。
- 使用二次公式解該二次方程式，以求出剩餘的兩個根（這兩個根可能是複數）。
常見錯誤： 忘記如果 \(3 + 2i\) 是一個根，那麼 \(3 - 2i\) 自動也是一個根。題目不需要同時告知兩個根！
重點總結
實係數方程式的複數根總是成對出現。3. 阿爾岡圖（Argand Diagram）
將阿爾岡圖想像成複數的地圖。我們不再使用 \(x\) 和 \(y\) 軸，而是使用：
- 實軸（Real Axis）（水平軸）
- 虛軸（Imaginary Axis）（垂直軸）
複數 \(z = x + iy\) 僅僅是平面上的一個點 \((x, y)\)，或者是一個從原點出發指向該點的向量。
模（Modulus）與輻角（Argument）
我們也可以透過複數距離原點的長度及其角度來描述它。
- 模 \(|z|\)： 到原點的距離。使用畢氏定理：\(|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2}\)。
- 輻角 \(\arg(z)\)： 向量與正實軸之間形成的夾角 \(\theta\)。
以弧度（radians）為單位，範圍為 \(-\pi < \theta \leq \pi\)。
你知道嗎？ 我們使用「主輻角」，這意味著我們總是取從正實軸出發的最短路徑。如果你在第二或第三象限，使用 \(\arctan(y/x)\) 時要特別小心——務必畫個草圖來檢查你的角度！
重點總結
阿爾岡圖將數字轉化為幾何。模是距離；輻角是方向。4. 模-輻角形式與指數形式
除了笛卡兒形式（\(x + iy\)）之外，我們還有另外兩種非常有用的複數書寫方式：
- 模-輻角形式： \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)
- 指數（歐拉）形式： \(z = re^{i\theta}\)
乘法與除法的魔力
使用這些形式，數學運算會變得簡單得多：
- 乘法： 將模（\(r\)）相乘，並將輻角（\(\theta\)）相加。
- 除法： 將模（\(r\)）相除，並將輻角（\(\theta\)）相減。
快速複習盒：
\(\cos\theta = \frac{1}{2}(e^{i\theta} + e^{-i\theta})\)
\(\sin\theta = \frac{1}{2i}(e^{i\theta} - e^{-i\theta})\)
重點總結
加減法使用笛卡兒形式（\(x+iy\)）。乘除法使用模-輻角或指數形式（\(re^{i\theta}\)）。5. 棣美弗定理（De Moivre’s Theorem）
棣美弗定理是處理複數冪次的「超能力」。它敘述如下：
\([r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\)
基本上，要將複數進行 \(n\) 次方運算，你只需將模做 \(n\) 次方，並將輻角乘以 \(n\)。
應用
- 多倍角公式： 你可以使用棣美弗定理和二項式展開，找出 \(\cos(n\theta)\) 或 \(\sin(n\theta)\) 用 \(\cos\theta\) 和 \(\sin\theta\) 的冪次表示的表達式。
- 級數求和： 它有助於計算涉及三角函數的幾何級數之和。
重點總結
棣美弗定理：模做次方，角度乘倍數。6. 阿爾岡圖中的軌跡（Loci）與區域
軌跡（Locus，複數為 loci）是一組滿足特定規則的點的集合。在複數中，這些規則通常會形成圓形或直線。
常見的軌跡類型：
- 圓形： \(|z - a| = b\)。這是一個以 \(a\) 為圓心、\(b\) 為半徑的圓。
（注意：\(a\) 通常是一個像 \(2 + 3i\) 的複數）。 - 垂直平分線： \(|z - a| = |z - b|\)。這是一條位於點 \(a\) 和 \(b\) 正中間的直線。
- 射線（Half-lines）： \(\arg(z - a) = \theta\)。這是一條從點 \(a\) 出發（但不包含 \(a\) 本身）並以角度 \(\theta\) 延伸的直線。
鼓勵的話： 軌跡聽起來可能很抽象，但試著把它們想成「所有與 \(a\) 點距離剛好為 \(b\) 的點集」。這只是一種幾何描述而已！
重點總結
\(|z - a|\) 代表 \(z\) 與 \(a\) 之間的距離。運用這一點來「解讀」方程式的幾何意義。7. 複數的根
正如 \(x^2 = 4\) 有兩個根（\(2\) 和 \(-2\)）一樣，像 \(z^n = re^{i\theta}\) 這樣的複數方程式有 \(n\) 個不同的根。
如何求 \(n\) 次方根：
- 將數字寫成指數形式：\(re^{i(\theta + 2k\pi)}\)。我們加上 \(2k\pi\) 是因為正弦和餘弦函數每轉一圈就會重複一次。
- 開 \(n\) 次方：\(z = r^{1/n} e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)}\)。
- 代入 \(k = 0, 1, 2, \dots, n-1\) 來得到你的 \(n\) 個不同的根。
根的幾何意義
如果你在阿爾岡圖上繪製一個數的 \(n\) 次方根，它們總是會形成一個以原點為中心的正 \(n\) 邊形的頂點。例如，一個數的三個立方根將會形成一個正三角形！