歡迎來到碰撞的世界！
在本章中，我們將探討一維彈性碰撞。這是你 Further Mechanics 1 (Paper 3C) 課程的核心部分。你有沒有想過為什麼桌球在撞擊另一顆球時會瞬間停下，或者為什麼超級彈力球比一團黏土跳得更高？這正是我們接下來要計算的內容！
我們將研究物體在直線上（一維）運動並互相碰撞的情況。為了簡化問題，我們將這些物體視為粒子（具有質量的微小點）。
1. 先備知識：基礎概念
在深入新內容之前，我們先快速溫習兩個你可能已經學過的概念：
- 動量 (Momentum)： 計算公式為質量乘以速度，即 \(p = mv\)。
- 動量守恆定律 (PCLM)： 在一個封閉系統中，碰撞前的總動量等於碰撞後的總動量。\(m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2\)。
2. 牛頓恢復係數定律 (Newton’s Law of Restitution)
這是本章的「主角」。動量描述了系統中的總「衝力」，而牛頓恢復係數定律則告訴我們碰撞有多「彈」。
我們使用一個稱為恢復係數 (coefficient of restitution) 的數值，以字母 \(e\) 表示。它是速度的比值：
\(e = \frac{\text{分離速度}}{\text{接近速度}}\)
\(e\) 到底代表什麼？
\(e\) 的值總是在 0 到 1 之間 (\(0 \le e \le 1\))：
- 如果 \(e = 0\)： 碰撞為完全非彈性 (perfectly inelastic)。碰撞後物體黏在一起（就像口香糖撞到牆上）。
- 如果 \(e = 1\)： 碰撞為完全彈性 (perfectly elastic)。沒有動能損失，物體以最大效率反彈。
- 如果 \(0 < e < 1\)： 這就是現實世界！部分能量損失，物體反彈的速度比接近時慢。
快速複習：
記住：\(e\) 只是一個數字。它沒有單位，因為它是速度的比值！如果你算出 \(e = 1.5\)，請務必檢查你的計算——這是不可能的！
生活中的類比
想像你正跑向朋友準備擊掌。如果兩人撞在一起立刻停住並擁抱，那就是 \(e = 0\)。如果你們擊掌後以與跑過來時相同的速度向後飛開，那就是 \(e = 1\)。大部分的擊掌都在這兩者之間！
3. 逐步解決碰撞問題
當兩個球體（我們稱為 \(A\) 和 \(B\)）發生直接碰撞時，你通常需要找出它們的新速度（\(v_A\) 和 \(v_B\)）。如果剛開始覺得很難也不用擔心，我們總是使用同樣的兩個「秘密武器」來解決。
第 1 步：畫出清晰的圖表。
畫出「碰撞前」和「碰撞後」的球體。用箭頭標示移動方向。進階提示： 始終選定一個方向（通常向右）為正方向。如果球向左移動，其速度就是負數！
第 2 步：應用動量守恆定律。
寫出方程式：\(m_Au_A + m_Bu_B = m_Av_A + m_Bv_B\)。
第 3 步：應用牛頓恢復係數定律。
使用公式：\(v_B - v_A = e(u_A - u_B)\)。
注意：在這裡要非常小心符號！
第 4 步：解聯立方程式。
現在你有了兩個未知數（\(v_A\) 和 \(v_B\)）的兩個方程式，像在 GCSE 數學中那樣解出來即可！
關鍵點： 你幾乎總是需要同時使用動量方程式和恢復係數方程式來解決這些問題。
4. 動能的損失
在大多數碰撞（\(e < 1\)）中，部分動能 (KE) 會「損失」。它並非從宇宙中消失，而是轉化為熱能或聲音（如桌球碰撞時發出的「啪」聲）。
動能公式為 \(KE = \frac{1}{2}mv^2\)。
要找出 KE 的損失：
\(\text{損失} = (\text{碰撞前總 KE}) - (\text{碰撞後總 KE})\)
避免常見錯誤： 計算 KE 時，千萬不要用動量！你必須分別計算每個物體的 \(\frac{1}{2}mv^2\)，然後將它們相加。此外，由於速度是平方，無論物體向左還是向右移動，KE 永遠是正數！
5. 與固定表面（牆壁）的碰撞
如果一個球體撞上一面堅固、不可移動的牆會發生什麼事？由於牆不動，其速度始終為 0。
恢復係數定律簡化為：
\(\text{分離速度} = e \times \text{接近速度}\)
\(v = eu\)
等等！為什麼這裡動量不守恆？
問得好！只有在沒有外力作用時，動量才會守恆。牆壁與地球相連，對於球而言，這是外「力」。因此，對球本身而言動量改變了，但恢復係數定律依然完全適用。
你知道嗎？
這就是為什麼壁球選手要先熱球。加熱球內的空氣會增加其「彈性」，從而有效地提高了它的恢復係數 (\(e\))！
6. 連續碰撞
有時候，一次碰撞後樂趣還沒結束。你可能會遇到三個球排成一列（\(A\)、\(B\) 和 \(C\)）。
- 首先，\(A\) 撞擊 \(B\)。解出這個碰撞以找出 \(A\) 和 \(B\) 的新速度。
- 接著，將 \(B\) 的「新」速度作為它與 \(C\) 碰撞時的「初始」速度。
- 解出 \(B\) 與 \(C\) 之間的碰撞。
記憶輔助： 把這想像成接力賽。前一次碰撞的「碰撞後」速度，就是下一次碰撞的「碰撞前」速度。
7. 重點摘要
- 恢復係數 (\(e\))： 測量彈性程度。\(e = \frac{\text{分離速度}}{\text{接近速度}}\)。
- 直接碰撞： 同時使用 PCLM 和牛頓恢復係數定律。
- 能量： 除非 \(e = 1\)，否則 KE 會損失。\(\text{損失} = KE_{\text{初}} - KE_{\text{末}}\)。
- 牆壁： 分離速度僅為 \(e \times\) 接近速度。
- 符號： 千萬、千萬、千萬要檢查你的方向箭頭！負速度表示物體正在向後移動。
最後鼓勵： 力學全在於設置過程。如果你能多花一分鐘畫一張清晰的圖表，標註質量、初始速度 (\(u\)) 和最終速度 (\(v\))，數學計算就會變得簡單得多。你一定做得到！