歡迎來到二維碰撞的世界！
嘿！準備好將你的力學知識帶入二維空間了嗎？在之前的學習中，你可能接觸過所有物體都在一條直線上運動的碰撞。但在現實世界中——例如在桌球檯上或是玩波子時——物體經常會以一定角度相撞。這些我們稱之為斜向碰撞 (oblique collisions)。
在本章中，我們將學習如何精確預測球體在以一定角度撞擊牆壁或互相碰撞後的去向。如果起初覺得有點棘手，別擔心；我們其實只是把你已學過的一維碰撞知識，同時應用到兩個不同的方向上而已。讓我們馬上開始吧！
1. 先修檢查：基本概念
在開始之前，讓我們重溫一下一維力學中的兩條「黃金定律」：
1. 線性動量守恆定律 (Conservation of Linear Momentum, CLM)： 碰撞前總動量 = 碰撞後總動量 (\( m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2 \))。
2. 牛頓恢復係數定律 (Newton’s Law of Restitution, NLR)： 分離速率等於 \( e \) 乘以接近速率 (\( v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2) \))。
在二維空間中，我們同樣應用這些規則，但必須小心我們所觀察的方向。
2. 球體與光滑固定表面的碰撞
想像一個光滑的球體以一定角度撞擊地面或牆壁。這是二維碰撞最簡單的形式。
原理：
當球撞擊一個光滑 (smooth) 表面時，唯一作用在球上的力是來自牆壁的衝力 (impulse)，該力作用於與表面垂直 (perpendicular) 的方向。由於表面是「光滑」的，因此沒有摩擦力作用於平行於表面的方向。
這引出了關於速度分量的兩條重要規則：
1. 平行於表面： 速度保持完全不變。因為在這個方向上沒有任何推力或拉力！
2. 垂直於表面： 我們使用牛頓恢復係數定律 (\( e \))。撞向牆壁的速度分量會反向，並乘以 \( e \)。
數學解析：
如果球體以速度 \( u \) 和法線（垂直於牆壁的線）成角度 \( \alpha \) 撞擊牆壁：
- 平行於牆壁的速度分量： \( u \sin \alpha \)
- 垂直於牆壁的速度分量： \( u \cos \alpha \)
碰撞後（速度為 \( v \)，角度為 \( \beta \)）：
- 新的平行分量： \( v \sin \beta = u \sin \alpha \)
- 新的垂直分量： \( v \cos \beta = e(u \cos \alpha) \)
小比喻： 想像一下你穿著溜冰鞋斜著跑向一堵牆。你在牆壁「沿著」方向的速度不會改變，因為冰面很滑（光滑），但你向外「彈開」的程度則取決於牆壁有多彈（彈性）。
你知道嗎？ 如果碰撞是完全彈性 (perfectly elastic) 的 (\( e = 1 \))，那麼反射角將等於入射角，就像光線射向鏡子一樣！
重點總結： 對於牆壁碰撞，平行於牆壁的速度分量是恆定的，而垂直分量則會改變為原來的 \( e \) 倍。
3. 兩個光滑球體的斜向碰撞
現在，讓我們看看當兩個正在運動的球體（假設半徑相同）相撞時會發生什麼。解決這些問題的秘訣在於連心線 (Line of Centres)。
逐步流程：
1. 識別連心線： 這是在兩球接觸瞬間，連接兩球球心的假想線。碰撞的衝力只會沿著這條線作用。
2. 分解速度： 求出速度在連心線方向上 (along) 以及垂直於 (perpendicular to) 連心線的分量。
3. 垂直方向： 垂直於連心線的速度分量對兩個球體來說都不會改變。（因為球體是光滑的，沒有力能改變它們）。
4. 連心線方向： 將其視為一維碰撞來處理！對這個方向的分量應用 CLM 和 NLR。
避免常見錯誤： 學生常試圖直接對整個速度向量使用 CLM。請記住：只對連心線方向上的分量應用 CLM 和 NLR。
重點總結： 在垂直於碰撞線的方向上，速度會保持不變。在碰撞線方向上，請使用一維碰撞規則。
4. 使用向量處理
有時候，試題會以向量形式（使用 i 和 j）給你速度。這其實很有幫助！
如果一個速度為 \( (u_x \mathbf{i} + u_y \mathbf{j}) \) 的球體撞擊一堵平行於 i 單位向量的牆壁：
- i 分量（平行）保持不變： \( v_x = u_x \)。
- j 分量（垂直）發生變化： \( v_y = -e u_y \)。
記憶小撇步： 「平 (P)行保持恆 (P)常；垂 (P)直是乘 (P)積。」（垂直分量是原速度與 \( -e \) 的乘積）。
5. 動能損失
在大多數碰撞中 (\( e < 1 \))，部分能量會以熱能或聲音形式「散失」。要計算動能損失 (Loss of Kinetic Energy)，請計算碰撞前的總動能並減去碰撞後的總動能。
\( \text{KE Loss} = \left( \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 \right) - \left( \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 \right) \)
注意：當計算 \( v^2 \) 時，請記得 \( v^2 = (v_{\text{parallel}})^2 + (v_{\text{perpendicular}})^2 \)。
6. 連續碰撞
如果一個球撞擊一堵牆，然後撞向另一堵牆呢？或者撞擊一個球體後又撞向牆壁？
別慌！只需將它們視為獨立事件即可。先解第一個碰撞求出新的速度，然後將其作為第二個碰撞的「起始」速度。只需在每個階段記清楚你的角度和分量即可。
快速回顧箱：
- 光滑表面？ 平行於表面的速度不變。
- 連心線？ 發生「反彈」的方向。
- 彈性 (\( e \))？ 總是應用於撞擊的方向。
- 能量？ 計算動能時，請務必使用速度向量的總大小（模）。
最後鼓勵： 你一定做得到！這一章的大多數問題都可以通過畫出清晰的圖表、將速度分解為分量，然後應用這兩條規則來解決。先練習幾道「牆壁反彈」的題目，再轉向「球對球」的碰撞。你很快就能成為力學專家！