歡迎來到複數進階課程！
在之前的學習中，你已經掌握了複數的基本運算，並學會在阿爾岡圖（Argand diagram）上繪製圓形和直線等簡單圖形。現在，我們要深入探討更多複雜的圖形（軌跡），並學習如何利用數學函數將整個平面「變換」（transform）到另一個平面。你可以把它想像成一個數碼濾鏡，能將圖片進行拉伸和扭曲——不過這次，我們用的是代數！
1. 進階軌跡：阿波羅尼奧斯圓（Circle of Apollonius）
你已經知道 \( |z - a| = |z - b| \) 代表一條垂直平分線（連接點 \( a \) 和點 \( b \) 且位於兩者正中央的直線）。但如果其中一邊乘以一個常數 \( k \) 會怎樣呢？
方程式： \( |z - a| = k|z - b| \)
當 \( k \neq 1 \) 時，這類軌跡永遠是一個圓形。這就是著名的阿波羅尼奧斯圓。
類比：想像有兩個無線電塔，分別是 \( a \) 和 \( b \)。塔 \( b \) 的訊號比塔 \( a \) 強得多。軌跡代表了所有訊號強度比例恰好為 \( k \) 的點（即塔 \( b \) 的訊號強度是塔 \( a \) 的 \( k \) 倍）。這些訊號平衡點形成的不再是一條直線，而是圍繞著較弱訊號塔的一個圓形。
解題方法：
1. 將 \( z \) 替換為 \( x + iy \)。
2. 將兩邊平方以消除根號： \( (x - a_1)^2 + (y - a_2)^2 = k^2[(x - b_1)^2 + (y - b_2)^2] \)。
3. 展開所有項並移項至等式一側。
4. 對 \( x \) 和 \( y \) 進行配方法（Complete the square），即可找出圓心和半徑。
常見錯誤：忘了對 \( k \) 平方！例如方程式為 \( |z - 3| = 2|z - i| \)，當你兩邊平方時，那個 \( 2 \) 必須變成 \( 4 \)。
重點提示：如果 \( k = 1 \)，軌跡是一條直線；如果 \( k \neq 1 \)，它就是一個圓！
2. 「角度」軌跡
這通常是本章節最棘手的部分，但有一個很漂亮的幾何技巧可以幫助你。
方程式： \( \arg\left(\frac{z - a}{z - b}\right) = \beta \)
這代表一個圓弧（arc of a circle）。具體來說，這是一組點 \( z \)，使得連接 \( z \) 到 \( a \) 以及 \( z \) 到 \( b \) 的兩條線段之間的夾角剛好為 \( \beta \)。
可以這樣想：
想像 \( a \) 和 \( b \) 是球場上的兩個球門柱。如果你想站立在某個位置，使得你看這兩個門柱的視角始終保持 \( 30^\circ \)，你必須沿著一條特定的彎曲路徑行走——這就是一個圓弧！
重要規則：
- 圓弧始於 \( b \)，止於 \( a \)。
- 若 \( \beta \) 是銳角（小於 \( 90^\circ \)），圓弧為優弧（major arc）（超過半圓）。
- 若 \( \beta \) 是鈍角（大於 \( 90^\circ \)），圓弧為劣弧（minor arc）（小於半圓）。
- 若 \( \beta = \pi/2 \) （\( 90^\circ \)），圓弧剛好是一個半圓。
記憶小撇步：「分子」位置的 \( a \) 是終點，而「分母」位置的 \( b \) 是起點。角度是從線段 \( zb \) 到 \( za \) 以逆時針方向測量的。
重點提示：這個軌跡是一條弧，而不是完整的圓。別忘了排除端點 \( a \) 和 \( b \)，因為當點就在門柱上時，夾角是沒有定義的！
3. 阿爾岡圖中的區域
有時候我們尋找的不是線，而是一個完整的區域，這可以用不等式來表示。
水平/垂直帶狀區域： \( p \le \text{Re}(z) \le q \) 代表實部在 \( p \) 和 \( q \) 之間的所有複數。在圖上看起來就像一條垂直的陰影通道。
角度扇形（Angular Wedges）： \( \alpha \le \arg(z - z_1) \le \beta \) 代表從點 \( z_1 \) 發散出的「披薩切片」形狀。邊緣（餅皮）會無限延伸！
快速回顧：
- 實線表示 \( \le \) 或 \( \ge \) （包含邊界）。
- 虛線表示 \( < \) 或 \( > \) （不包含邊界）。
4. 變換：從 \( z \)-平面到 \( w \)-平面
在這一節中，我們將一個阿爾岡圖中的點 \( z \) 利用公式映射到另一個阿爾岡圖中的新點 \( w = u + iv \)。
類型 1： \( w = z^2 \)
這種變換是一個「倍增器」。
- 模數平方： 如果 \( |z| = r \)，則 \( |w| = r^2 \)。
- 輻角加倍： 如果 \( \arg(z) = \theta \)，則 \( \arg(w) = 2\theta \)。
類型 2： 莫比烏斯變換（Möbius Transformation） \( w = \frac{az + b}{cz + d} \)
這是一種非常強大的變換。它其中一個「超能力」就是它通常能將圓和直線映射為其他圓或直線。
變換題型的解題步驟：
範例：求圓形 \( |z| = 2 \) 在變換 \( w = \frac{z + i}{z - 1} \) 下的像（image）。
步驟 1：將 \( z \) 變為主項。 你需要得到 \( z = \dots \) 關於 \( w \) 的表達式。
\( w(z - 1) = z + i \)
\( wz - w = z + i \)
\( wz - z = w + i \)
\( z(w - 1) = w + i \)
\( z = \frac{w + i}{w - 1} \)
步驟 2：代入已知的軌跡方程式。 已知 \( |z| = 2 \)，所以：
\( \left| \frac{w + i}{w - 1} \right| = 2 \)
步驟 3：化簡。 利用法則 \( \left| \frac{A}{B} \right| = \frac{|A|}{|B|} \)：
\( \frac{|w + i|}{|w - 1|} = 2 \)
\( |w + i| = 2|w - 1| \)
步驟 4：識別新軌跡。 觀察結果。看起來很眼熟吧？沒錯！這就是在 \( w \)-平面上的阿波羅尼奧斯圓。你現在可以用第 1 節介紹的「配方法」來繪製它了。
如果一開始覺得困難，別擔心！ 代數運算可能會很繁瑣，但步驟永遠一樣：分離 \( z \)、代入、然後化簡。
重點提示：變換只是「代入」遊戲。整理好方程式讓 \( z \) 成為主項，然後把它代入你原始的圓形或直線方程式中即可。
總結清單
- 我能識別 \( |z - a| = k|z - b| \) 是一個圓嗎？
- 我記得 \( \arg(\dots) = \beta \) 只是一個圓弧嗎？
- 我能熟練地繪製帶有實線或虛線的區域嗎？
- 在處理變換時，我能將 \( w = f(z) \) 重排，讓 \( z \) 成為主項嗎？
你知道嗎？ 莫比烏斯變換在現代物理學中被用於研究光線如何繞過黑洞！你現在學習的數學，正是理解宇宙形狀的基礎。