Differentiation

微分導論

歡迎來到數學中最具威力的章節之一！微分（Differentiation）本質上就是研究「變化」的學問。無論是汽車加速、人口增長，還是股票價格波動，微分都能讓我們精確計算出在任何特定時刻，這種變化發生的速度有多快。

如果剛開始覺得有點難度，別擔心！ 雖然符號看起來很陌生，但核心概念其實是你已經熟悉的：求直線的斜率（gradient）（即陡峭程度）。在本章中，我們只是學習如何即使在曲線的情況下，也能求出那個陡峭程度。

1. 作為斜率的導數

在 GCSE 中，你學習了使用「垂直變化除以水平變化（rise over run）」來求直線的斜率。在 A-Level 中，我們使用微分來求曲線在任意指定點 \( (x, y) \) 處切線（tangent）的斜率。

我們使用符號 \(\frac{dy}{dx}\) 或 \(f'(x)\) 來表示一階導數（first derivative）。這代表了 \(y\) 相對於 \(x\) 的變率（rate of change）。

由基本原理求導（Differentiation from First Principles）

這是微分來源的「證明」。想像曲線上兩個非常靠近的點。當它們之間的距離（\(h\)）無限趨近於零時，我們就能求出單一點上的精確斜率。

你需要掌握的公式如下：
\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

快速溫習： 若要證明 \(x^2\) 的導數，將 \(f(x) = x^2\) 代入公式，展開並觀察 \(h\) 項如何簡化！

重點總結：

導數 \( \frac{dy}{dx} \) 只是一個能讓你得出曲線在任何一點斜率的公式。

2. 基本微分「工具箱」

你不必每次都使用「基本原理」，我們有一些針對常用函數的快捷運算規則！

x 的冪次

若 \( y = ax^n \)，則 \( \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} \)。
記憶小技巧： 「把冪次乘到前面，然後把原本的冪次減一。」

指數與對數函數

• 若 \( y = e^{kx} \)，則 \( \frac{dy}{dx} = ke^{kx} \)。（\(e\) 的函數非常「容易」，保持不變，只需乘上 \(x\) 的係數即可）。
• 若 \( y = a^{kx} \)，則 \( \frac{dy}{dx} = ka^{kx} \ln a \)。
• 若 \( y = \ln x \)，則 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \)。

三角函數

請記住，運算時角度必須以弧度（radians）為單位！

• 若 \( y = \sin kx \)，則 \( \frac{dy}{dx} = k \cos kx \)
• 若 \( y = \cos kx \)，則 \( \frac{dy}{dx} = -k \sin kx \)
• 若 \( y = \tan kx \)，則 \( \frac{dy}{dx} = k \sec^2 kx \)

常見錯誤： 微分 cos 時忘記加上負號！請記住：「微分餘函數（Co-functions）的結果為負數。」

重點總結：

熟記三角函數、\(\ln\) 和 \(e^x\) 的標準導數，它們是你處理所有其他問題的基礎。

3. 駐點與繪製曲線圖

當斜率為零（\( \frac{dy}{dx} = 0 \)）時，會出現駐點（stationary point）。這就像山頂或谷底，在那一瞬間，你既沒有向上也沒有向下移動。

駐點類型：

• 局部極大值（Local Maximum）： 山頂。
• 局部極小值（Local Minimum）： 谷底。
• 駐點拐點（Stationary Point of Inflection）： 一個「平台」，曲線在那裡變得平坦，但之後繼續保持原來的方向。

二階導數測試

我們使用 \( \frac{d^2y}{dx^2} \)（導數的導數）來判斷點的類型：

• 若 \( \frac{d^2y}{dx^2} > 0 \)，則為極小值（聯想「樂觀的人會微笑」，微笑的弧線是極小值）。
• 若 \( \frac{d^2y}{dx^2} < 0 \)，則為極大值（聯想「悲觀的人會皺眉」，皺眉的弧線是極大值）。
• 若 \( \frac{d^2y}{dx^2} = 0 \)，則測試無法判斷；你必須檢查該點兩側的斜率。

你知道嗎？

拐點（Point of Inflection）是指曲線從「凸（convex）」（向外凸起）變為「凹（concave）」（向內凹陷）的位置。當 \( \frac{d^2y}{dx^2} \) 改變正負號時，就會發生這種情況。

4. 連鎖律、乘積律與商數律

有時函數會「嵌套」在一起，或者兩者相乘，我們需要特殊的法則來處理。

連鎖律（洋蔥規則，The Chain Rule）

用於「函數的函數」，例如 \( y = (3x + 2)^5 \)。
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \)
比喻： 想像像剝洋蔥一樣。先微分外層，再乘以內層的導數。

乘積律（The Product Rule）

用於兩個 \(x\) 的函數相乘時，例如 \( y = x^2 \sin x \)。
若 \( y = uv \)，則 \( \frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \)。

商數律（The Quotient Rule）

用於一個函數除以另一個函數時，例如 \( y = \frac{e^x}{x^2} \)。
若 \( y = \frac{u}{v} \)，則 \( \frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \)。
記憶輔助： 「下乘上導減上乘下導，再除以下平方」（其中「導」指微分）。

重點總結：

首先識別方程式的結構。是乘積？分數？還是括號？這會告訴你該用哪條法則。

5. 切線與法線

切線（tangent）是與曲線在某一點相切的直線。法線（normal）是與切線在同一點垂直的直線。

步驟說明：
1. 對曲線進行微分以求出 \( \frac{dy}{dx} \)。
2. 代入 \(x\) 坐標以求切線的斜率 (\(m_1\))。
3. 對於法線，斜率為 \(m_2 = -\frac{1}{m_1} \)。
4. 使用直線方程式：\( y - y_1 = m(x - x_1) \)。

6. 隱函數與參數微分

隱函數微分（Implicit Differentiation）

有時 \(x\) 和 \(y\) 混在一起，你無法單獨將 \(y\) 提出（例如 \( x^2 + y^2 = 25 \)）。
微分含有 \(y\) 的項時，像對待 \(x\) 一樣微分，但需乘以 \( \frac{dy}{dx} \)。
例子： 對 \(x\) 微分 \( y^2 \) 會得到 \( 2y \frac{dy}{dx} \)。

參數微分（Parametric Differentiation）

有時 \(x\) 和 \(y\) 都是由第三個變量（通常為 \(t\) 或 \( \theta \)）定義的（例如 \( x = 2t, y = t^2 \)）。
要求斜率：
\( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)

快速溫習框：

• 遞增函數： 在整個區間內 \( \frac{dy}{dx} \geq 0 \)。
• 遞減函數： 在整個區間內 \( \frac{dy}{dx} \leq 0 \)。
• 垂直斜率： 兩者相乘等於 \(-1\)。

7. 相關變化率（Connected Rates of Change）

這是微分與現實世界結合的地方！如果你知道半徑增長的速度（\( \frac{dr}{dt} \)），你就能計算出圓面積增長的速度（\( \frac{dA}{dt} \)）。

我們使用連鎖律將它們聯繫起來：
\( \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt} \)

重點總結：

務必寫下你已知的（例如 \( \frac{dr}{dt} = 2 \)）和你想求出的（例如 \( \frac{dV}{dt} \)）。然後找到一個聯繫變量的公式（如 \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)）並對其進行微分。