歡迎來到統計分佈的世界！
在本章中，我們將從分析已有的數據，轉向對未來可能發生的情況進行建模 (Modelling)。你可以把分佈想像成一張「數學藍圖」，它告訴我們不同結果出現的可能性。無論你是要預測拋 100 次硬幣會出現多少次正面，還是要估算一個城市中人們的身高，統計分佈都是你最好的幫手。
如果剛開始覺得有點抽象，別擔心。我們將它拆解為兩大類：離散型 (Discrete)（你可以數出來的事物）和 連續型 (Continuous)（你需要測量的事物）。
1. 離散隨機變量 (Discrete Random Variables)
離散隨機變量 (Discrete Random Variable)（通常記作 \(X\)）是指只能取特定、離散數值的變量。例如，一場比賽中射入的球數可以是 0、1 或 2，但絕不可能是 1.5！
離散均勻分佈 (The Discrete Uniform Distribution)
這是最簡單的分佈。當每個結果出現的機率都相等時，就會出現這種分佈。 例子：投擲一枚公平的六面骰子。從 1 到 6 的每一個數字出現的機率都剛好是 \(1/6\)。
一般離散分佈 (General Discrete Distributions)
分佈通常以表格形式呈現，其中所有機率 \(P(X=x)\) 的總和必須等於 1。如果加起來不等於 1，那這就不是一個有效的機率分佈！
快速回顧：- 離散型：只能取可數的數值。
- 均勻分佈：所有結果的機率相同。
- 機率總和：\(\sum P(X=x) = 1\)。
2. 二項分佈 (The Binomial Distribution) \(X \sim B(n, p)\)
當你進行固定次數的「試驗」並想求出「成功」次數的機率時，就會用到二項分佈。
什麼時候可以使用？（BINS 準則）
要使用二項分佈模型，必須滿足四個條件。你可以透過縮寫 BINS 來記憶：
- B - Binary (二元)：只有兩種可能的結果（成功或失敗）。
- I - Independent (獨立)：一次試驗的結果不會影響下一次。
- N - Number (次數)：試驗次數是固定的 (\(n\))。
- S - Success (成功率)：每次試驗的成功機率 (\(p\)) 保持不變。
使用計算機
對於 9MA0 課程，你不需要死記複雜的公式，善用計算機就夠了！你需要熟悉兩種模式：
- Binomial PD (機率密度)：用於計算「剛好」等於某個數值的情況。例如：\(P(X = 5)\)。
- Binomial CD (累積機率)：用於計算「小於或等於」某個數值的情況。例如：\(P(X \leq 5)\)。
常見錯誤：如果題目問的是 \(P(X > 5)\)，請記住你的計算機只會計算「小於或等於」。你必須計算 \(1 - P(X \leq 5)\)。
重點總結：二項分佈用於模擬在 \(n\) 次試驗中，以固定機率 \(p\) 獲得成功的次數。使用前一定要檢查是否符合 BINS 準則！3. 常態分佈 (The Normal Distribution) \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)
如果說二項分佈用於計數，那麼常態分佈就是用於測量身高、體重或時間等連續數值。它是連續型分佈，意味著 \(X\) 可以取任何數值（例如 1.752m）。
鐘形曲線 (The Bell Curve)
常態分佈呈現對稱的鐘形：
- 頂峰位於平均值 (Mean) (\(\mu\)) 處。
- 曲線以平均值為中心完全對稱。
- 曲線下的總面積為 1（代表 100% 的機率）。
- 曲線的「寬度」由標準差 (Standard Deviation) (\(\sigma\)) 決定。
拐點 (Points of Inflection)
你知道嗎？當距離平均值正好一個標準差時，鐘形曲線的「弧度」會從向下彎曲變為向上彎曲。 重要點：拐點位於 \(x = \mu + \sigma\) 和 \(x = \mu - \sigma\)。
求機率
請使用計算機的 Normal CD 模式。你需要輸入下限 (Lower)、上限 (Upper)、\(\sigma\) 和 \(\mu\)。 例子：要計算 \(P(X > 10)\)，將下限設為 10，上限設為一個非常大的數字，如 99,999。
快速回顧：- \(\mu\)：鐘形的中心。
- \(\sigma\)：鐘形的寬度。
- 總面積：永遠等於 1。
4. 用常態分佈近似二項分佈 (Normal Approximation to the Binomial)
有時候，當二項分佈的規模非常大時，其形狀會變得非常接近常態分佈。我們可以使用常態分佈來近似二項分佈，從而簡化計算。
什麼時候可以使用這種方法？
只有滿足以下條件時，才能用常態分佈近似 \(B(n, p)\)：
- \(n\) 很大（通常 \(n > 50\)）。
- \(p\) 接近 0.5（分佈不會太過偏斜）。
參數設定
如果 \(X \sim B(n, p)\)，那麼近似的常態分佈 \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\) 的參數為：
- 平均值：\(\mu = np\)
- 變異數：\(\sigma^2 = np(1 - p)\)
連續性修正 (Continuity Correction)
這是最讓學生頭痛的地方！因為我們從離散的「階梯狀」（二項）轉變為平滑的「斜坡」（常態），我們必須對數值進行微調。
- 如果二項題目問 \(P(X \leq 5)\)，使用常態分佈計算 \(P(Y < 5.5)\)。
- 如果二項題目問 \(P(X \geq 5)\)，使用常態分佈計算 \(P(Y > 4.5)\)。
- 如果二項題目問 \(P(X = 5)\)，使用常態分佈計算 \(P(4.5 < Y < 5.5)\)。
可以這樣想：為了完整包含數字 5 的整個「柱狀圖區間」，你需要從 4.5 延伸到 5.5。
5. 選擇與評估分佈模型
在考試中，你可能會被問到為什麼某個模型不適用。以下是一些常見的原因：
二項分佈失效的原因：
- 試驗不獨立（例如：從抽屜中取出襪子但不放回）。
- 機率會隨時間改變（例如：天氣模式）。
常態分佈失效的原因：
- 數據呈現偏斜 (Skewed)（不對稱）。
- 數據中存在常態模型無法解釋的「極端離群值」。
9MA0 最終考試小撇步
- 讀懂符號：\(N(\mu, \sigma^2)\) 中括號裡的是變異數 (Variance)。如果題目說 \(N(10, 16)\)，則 \(\sigma = 4\)。別忘了輸入計算機前要開根號！
- 畫出曲線：在做常態分佈題時，一定要快速畫出鐘形曲線，並標示出你要找的區域。這有助於避免在上下限設定上犯低級錯誤。
- 聯立方程：如果需要求 \(\mu\) 和 \(\sigma\)，請使用統計分佈表或計算機的 Inverse Normal 功能來建立兩個方程式求解。
- 檢查邊界：對於 Binomial CD，務必檢查題目問的是 \(\leq\) 還是 \(<\)。你的計算機只會計算 \(\leq\)。
你一定做得到的！統計分佈只是一套工具。一旦你知道該選哪種工具，以及按下計算機上的哪些按鈕，分數自然會手到擒來！