歡迎來到三角函數的世界！
在 A Level 數學中，三角函數常被視為最「困難」的章節之一，但實際上，它是你所學過最實用且邏輯性最強的工具。三角函數的核心，其實就是探討三角形的邊與角之間的關係。無論你對建築學、電子遊戲設計，還是對聲波的運作原理感興趣，三角函數都是你必備的語言。
在這些筆記中，我們將把 Pearson Edexcel (9MA0) 的課程大綱拆解成容易消化的小單元。如果起初覺得有些棘手也別擔心——我們會一步一步來！
1. 弧度法與圓形幾何
到目前為止，你可能習慣使用角度 (degrees) 來測量角。在 A Level 中，我們引入了弧度 (radians)。你可以把弧度想像成圓形的「自然語言」。雖然 360 度是一個比較隨意的數值，但弧度卻是基於圓的半徑而定義的。
什麼是弧度？
當一個圓的弧長 (arc length) 正好等於圓的半徑 (radius) 時，該圓心角即為一弧度。
關鍵換算： \(180^\circ = \pi \text{ 弧度}\)
弧度的實用公式
使用弧度時，圓形計算會變得簡潔得多：
1. 弧長： \(s = r\theta\)
2. 扇形面積： \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)
（注意：使用這些公式時，\(\theta\) 必須為弧度單位！）
重點速覽：
- 由角度轉弧度：乘以 \(\frac{\pi}{180}\)
- 由弧度轉角度：乘以 \(\frac{180}{\pi}\)
重點提示： 弧度法能讓圓形運算更精簡。在開始解題前，請務必檢查你的計算機是否處於 "RAD" (弧度) 模式！
2. 三角函數圖像與精確值
你需要對 \(\sin(x)\)、\(\cos(x)\) 和 \(\tan(x)\) 的「波動」非常熟悉。它們是週期性 (periodic) 的，意味著相同的圖案會無限重複。
單位圓 (Unit Circle)
想像一個半徑為 1 的圓。如果你在圓邊上選一個角度為 \(\theta\) 的點：
- x 坐標 為 \(\cos \theta\)
- y 坐標 為 \(\sin \theta\)
這就是為什麼 \(\sin\) 和 \(\cos\) 的值永遠不會大於 1 或小於 -1！
必須掌握的精確值
你需要熟記 \(0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\) 和 \(\frac{\pi}{2}\) 等角度的精確值。
例如： \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 及 \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\)。
你知道嗎？ 你可以用手勢來記憶這些數值！只要將手指分別代表 \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)，就有簡單的口訣能讓你瞬間找出數值。
重點提示： 記住函數圖像的形狀和精確值，它們是你學習其他所有內容的基石。
3. 小角度近似值
當角度 \(\theta\) 非常、非常小（接近 0）時，三角函數的表現會開始像簡單的線性或二次函數。這讓複雜的方程變得更容易求解。
近似公式（\(\theta\) 以弧度計算）：
1. \(\sin \theta \approx \theta\)
2. \(\tan \theta \approx \theta\)
3. \(\cos \theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}\)
常見錯誤： 忘記這些近似值僅在 \(\theta\) 為弧度時才有效。如果題目提供的是角度，請先進行換算！
4. 倒數與反三角函數
在這裡，我們要認識正弦、餘弦和正切的「堂兄弟」。
倒數函數
這些函數就是原函數的倒數（即 1 除以原函數）：
- 正割 (sec): \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\)
- 餘割 (cosec): \(\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
- 餘切 (cot): \(\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
記憶小技巧： 觀察新函數名稱的第三個字母：
- sec \(\rightarrow\) cosine (餘弦)
- cosec \(\rightarrow\) sine (正弦)
- cot \(\rightarrow\) tangent (正切)
反三角函數
Arcsin、Arccos 和 Arctan 是反函數。當我們已知比值 (ratio) 時，可用它們來找出角度 (angle)。
注意：這些函數有特定的定義域 (domain) 和值域 (range)，因為它們只在圖像的特定範圍內成立。
重點提示： 倒數函數是 \(1/f(x)\)，而反函數則是函數的「逆運算」，用來尋找角度。
5. 三角恆等式
恆等式是永遠成立的方程式。你常需要利用它們來轉換表達式，以便解題。
基本恆等式
1. \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
2. \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
A Level 新增恆等式
將 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 分別除以 \(\cos^2 \theta\) 或 \(\sin^2 \theta\)，我們得到：
- \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\)
- \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\)
證明題步驟：
1. 從較複雜的一邊開始。
2. 將所有項轉換為 \(\sin\) 和 \(\cos\)。
3. 利用恆等式進行簡化。
4. 隨時留意你的「目標」（等式的另一邊）。
6. 和角與倍角公式
有時我們會遇到角度相加的情況，例如 \(\sin(A+B)\)。你不能直接像拆普通括號那樣展開！你必須使用特定的公式。
和角公式 (Compound Angle Formulae)
- \(\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B\)
- \(\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B\)
（小心！餘弦公式中的符號會變號！）
倍角公式 (Double Angle Formulae)
這只是當 \(A\) 和 \(B\) 相等時的和角公式：
- \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)
- \(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A\)
- \(\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\)
重點速覽： \(\cos 2A\) 的公式有三種版本。請選擇最能幫你在題目中消去項目的那一個！
7. \(R \cos(\theta \pm \alpha)\) 形式
有時候題目會給你像 \(3 \sin \theta + 4 \cos \theta\) 這樣的表達式並要求求解。這很困難，因為有兩個不同的三角項。我們可以將它們合併成單一個波形：
\(a \sin \theta + b \cos \theta = R \sin(\theta + \alpha)\)
如何求出 R 和 \(\alpha\)：
1. R: \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\) （這就是畢氏定理！）
2. \(\alpha\): 使用 \(\tan \alpha = \frac{\text{對邊係數}}{\text{鄰邊係數}}\)（通常取決於形式，為 \(\frac{b}{a}\) 或 \(\frac{a}{b}\)）。
類比： 想像海洋中兩道不同的波碰撞。\(R\) 的形式能告訴你「合併後」的那個波長什麼樣子。
8. 解三角方程
這是整合所有知識的地方。題目通常要求你在給定的區間內（例如 \(0 \leq x \leq 360^\circ\)）求解 \(x\)。
一般策略：
1. 簡化： 利用恆等式將方程轉為單一類型的三角函數（例如全部轉為 \(\sin\)）。
2. 求角度： 使用計算機的反函數功能（如 \(\sin^{-1}\) 等）。這會給你主值 (Principal Value)。
3. 尋找其他值： 利用函數圖像的對稱性或 CAST 圖 來找出範圍內的所有其他角度。
4. 調整： 如果題目是 \(\sin(2x)\)，請先求出 \(2x\)，最後再將答案除以 2。
重點提示： 務必檢查你的範圍。如果題目要求 \(x\)，但你算出的是 \(2x\)，你需要尋找範圍兩倍大的角度！
9. 三角函數建模
三角函數非常適合用來模擬隨時間起伏的事物（週期運動）。
例子：
- 潮汐： 港口的水位深度遵循 \(\cos\) 曲線。
- 摩天輪： 你隨旋轉時離地的高度。
- 日光： 全年每天的日照時數。
解題時，「初始 (initial)」通常指時間 \(t = 0\)。最大值和最小值會發生在波的波峰和波谷。
最後鼓勵： 三角函數是一項透過練習就能進步的技能。如果證明第一次沒成功，試試另一個恆等式。你能行的！