歡迎來到力學（Mechanics）的世界！
你好！歡迎閱讀你的力學筆記。這一章是物理學中幾乎所有知識的基石。我們將會探討物體如何運動、為什麼會開始運動，以及宇宙運作的「遊戲規則」——從飛越球網的網球到在紅燈前煞停的汽車。如果起初覺得某些數學運算有點嚇人，請別擔心；我們會把它拆解成小部分，直到你完全理解為止！
1. 純量（Scalars）與向量（Vectors）
在研究運動物體之前，我們需要知道如何測量它們。在物理學中，我們將物理量分為兩大「陣營」：純量與向量。
純量：只有大小（magnitude）。例如時間（5 秒）或溫度（20°C）。它沒有「方向」。
向量：既有大小，也有方向。如果你叫某人走 10 米，他們可能會問「往哪裡走？」。這就是向量！例子包括速度（velocity）、位移（displacement）和力（force）。
向量表示法與圖示
我們使用箭號來表示向量。箭號的長度代表大小，箭頭指向則代表方向。
溫馨提示：在考試中，你可能會看到向量以粗體（如 v）表示，或是在字母上方加一個小箭頭。
向量分解（「拆解」技巧）
有時向量會以某個角度作用，我們想知道它在「向上」推了多少，以及在「橫向」推了多少。這叫做分解（resolving）。
如果有一個向量 \(V\) 與水平面成 \(\theta\) 角：
水平分量：\(V_x = V \cos \theta\)
垂直分量：\(V_y = V \sin \theta\)
類比：想像以一個角度拉動行李箱。部分力氣會把它向上提（垂直），而另一部分則把它向前拉（水平）。
合向量（Resultant Vectors）
當兩個力作用於同一個物體時，合力（resultant）就是一個能產生與兩者合併後相同效果的單一力。如果它們互相垂直，只需使用畢氏定理：\(a^2 + b^2 = c^2\)。
快速複習：
• 純量：僅有大小（例如：距離、速率）。
• 向量：有大小 + 方向（例如：位移、速度）。
• 合向量：透過加總分量所得到的「總」向量。
2. 運動：SUVAT 方程
當物體以等加速度（uniform acceleration）（速度恆定改變）運動時，我們可以使用五個神奇的變數，通常稱為 SUVAT：
s = 位移 (m)
u = 初速度 (m/s)
v = 末速度 (m/s)
a = 加速度 (m/s²)
t = 時間 (s)
你需要掌握的方程式：
\(v = u + at\)
\(s = \frac{(u + v)t}{2}\)
\(s = ut + \frac{1}{2}at^2\)
\(v^2 = u^2 + 2as\)
常見錯誤：學生經常忘記 u 和 v 是向量。如果一個物體被向上以 10 m/s 拋出然後落下，你必須決定哪個方向為正！如果向上為正，則重力加速度應為 \(-9.81 m/s^2\)。
重點摘要：SUVAT 只在加速度恆定時才適用。如果加速度會改變，就不能使用這些方程式！
3. 運動圖像
圖像是「觀察」運動的好方法。你需要認識三種類型：
1. 位移-時間圖像（Displacement-Time Graphs）：
• 斜率（gradient） = 速度。
• 水平線表示物體靜止。
• 曲線表示物體正在加速。
2. 速度-時間圖像（Velocity-Time Graphs）：
• 斜率 = 加速度。
• 圖像下的面積 = 位移（移動的距離）。
• 水平線表示恆定速度。
3. 加速度-時間圖像（Acceleration-Time Graphs）：
• 圖像下的面積 = 速度的變化量。
你知道嗎？如果圖像是一條曲線，你可以透過在該點畫一條切線（tangent）並計算其斜率，來求出瞬時（instantaneous）速度或加速度！
4. 拋體運動（Projectile Motion）
拋體是指任何被投擲或發射到空中的物體（例如足球）。解決這類問題的竅門是將水平運動和垂直運動分開處理！
水平運動：沒有水平力（忽略空氣阻力），因此水平速度保持恆定。使用 \(s = vt\)。
垂直運動：重力以 \(9.81 m/s^2\) 將其向下拉。這裡請使用你的 SUVAT 方程。
類比：想像一個鬼影和它的影子。如果你投擲一個球，球在地面上的影子會以恆定速度移動（水平），而球本身則會上升和下降（垂直）。
5. 牛頓運動定律
艾薩克·牛頓爵士給了我們三條描述力如何運作的法則。
牛頓第一定律：除非受到合外力作用，否則物體將保持靜止或以恆定速度運動。這稱為慣性（Inertia）。
牛頓第二定律：力等於質量乘以加速度，\(\sum F = ma\)。請注意，「F」是合力（resultant force）。
牛頓第三定律：如果物體 A 對物體 B 施加一個力，那麼物體 B 也會對物體 A 施加一個大小相等、方向相反的力。這些作用力與反作用力對必須是同類型的力！
重量與重力
質量（mass）是你體內有多少「物質」（kg），而重量（weight）是由重力作用於該質量而產生的力（N）。
\(W = mg\)
其中 \(g\) 是重力場強度（地球上約為 \(9.81 N/kg\)）。
終端速度（Terminal Velocity）
當物體下落時，它會加速，直到向上的阻力（drag force）等於向下的重量。此時合力變為零，加速度也變為零。物體隨後會以穩定的速度落下，稱為終端速度。
快速複習：
• \(F=ma\) 是最重要的一條！請務必先算出合力。
• 當阻力 = 重量時，就會達到終端速度。
6. 動量（Momentum）
動量是用來衡量使運動物體停下來有多困難的量。它是一個向量。
方程式： \(p = mv\)（動量 = 質量 × 速度）
動量守恆（Conservation of Momentum）
在任何碰撞或爆炸中，碰撞前的總動量 = 碰撞後的總動量，前提是沒有外力作用。
記憶法：「進多少，出多少。」如果兩個溜冰者互相推開，他們的總動量保持為零，因為他們向相反方向移動！
7. 力矩與平衡（Moments and Equilibrium）
力矩（moment）是力的轉動效應。
力矩 = 力 × 到支點的垂直距離 (\(Fx\))
重心（Centre of Gravity）：這是物體整體重量看似作用於此的一點。對於均勻的尺來說，重心就在正中央。
平衡（Equilibrium）：物體要達到完美平衡（處於平衡狀態）：
1. 總合力必須為零。
2. 總順時針力矩必須等於總逆時針力矩。
8. 功、能量與功率
功（Work Done）：這是力使物體移動時所傳遞的能量。
\(\Delta W = F\Delta s\)
（如果力是有角度的，請使用運動方向上的分量：\(W = Fs \cos \theta\)）。
動能（\(E_k\)）：運動物體所擁有的能量。
\(E_k = \frac{1}{2}mv^2\)
重力勢能（\(\Delta E_{grav}\)）：提升物體所增加的能量。
\(\Delta E_{grav} = mg\Delta h\)
能量守恆（Conservation of Energy）
能量不能被創造或消滅，只能轉移。在理想世界中，減少的 \(GPE\) = 增加的 \(KE\)。在現實世界中，部分能量會因為摩擦力而以熱能形式「流失」。
功率與效率
功率（Power）：做功的快慢。
\(P = \frac{E}{t}\) 或 \(P = \frac{W}{t}\)（單位：瓦特，W）
效率（Efficiency）：輸入能量中有多少轉化為有用的能量。
\(效率 = \frac{\text{有用能量輸出}}{\text{總輸入能量}}\)
總結：力學的核心就是追蹤能量與力。如果你能畫出受力分析圖（free-body force diagram）並標出作用於物體上的所有箭號，你就已經成功解決了一半的問題！
如果剛開始覺得有點困難，請別擔心——多練習你的 SUVAT 和畫圖技巧，很快你就能成為力學大師！