卡方 (\(\chi^2\)) 檢定簡介
歡迎來到進階統計學中最實用的章節之一！你有沒有想過一枚硬幣是否真的公平，或者一間公司聲稱糖果包裝內顏色分佈是「隨機」的說法是否屬實？卡方檢定 (Chi-squared tests) 就是數學家用來解答這些疑問的工具。
在本章中，我們基本上是在比較我們觀察到的數值 (Observed values) 與基於數學模型預期會出現的數值 (Expected values)。如果兩者差異巨大，我們就可能推論該模型是錯誤的！
1. 適合度檢定 (Goodness of Fit Test)
「適合度」檢定旨在檢查特定的機率分佈（例如離散均勻分佈、二項分佈或卜瓦松分佈）與實際數據的吻合程度。
虛無假設與對立假設
每次檢定都從兩個陳述開始：
\(H_0\) (虛無假設)：數據符合該指定分佈（例如：「數據服從卜瓦松分佈」）。
\(H_1\) (對立假設)：數據不符合該指定分佈。
檢定統計量
為了衡量觀察值與預期值之間的「差距」，我們使用卡方統計量：
\(\chi^2_{calc} = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\)
其中：
- \(O_i\) = 觀察頻率（實際發生次數）。
- \(E_i\) = 預期頻率（數學模型預測發生的次數）。
類比：想像你預期每天會收到 10 則訊息。如果收到 9 則，那沒什麼大不了；但如果你收到 200 則，肯定有什麼地方不對勁！卡方統計量正是用來計算這種差異有多「異常」。
黃金法則：「5 的規則」
為了確保卡方檢定的準確性，每個儲存格的預期頻率 (\(E_i\)) 必須至少為 5。
常見錯誤：學生經常去檢查觀察值 (\(O_i\))。千萬別這樣做！一定要檢查預期值 (\(E_i\))。如果某個數值小於 5，你必須將該儲存格與相鄰的儲存格合併（並且記得隨後要調整自由度！）。
快速複習箱：
1. 設定 \(H_0\) 與 \(H_1\)。
2. 計算預期頻率 (\(E_i\))。
3. 檢查是否有 \(E_i < 5\)。若有，請合併儲存格。
4. 計算 \(\chi^2\) 統計量。
2. 自由度 (\(\nu\))
「自由度」（用希臘字母 nu, \(\nu\) 表示）告訴我們該使用哪條卡方曲線。這是最容易丟分的地方，所以務必留心！
對於適合度檢定：
\(\nu = n - 1 - k\)
其中：
- \(n\) = 儲存格總數（合併後的數量）。
- \(1\) = 由於總頻率固定，必須減去 1。
- \(k\) = 從數據中估計出的參數數量。
何時使用 \(k\)？
- 離散均勻分佈：通常 \(k=0\)（沒有參數需要估計）。
- 卜瓦松分佈：如果你已知 \(\lambda\)，則 \(k=0\)；如果你必須先從數據中計算平均值 (\(\bar{x}\))，則 \(k=1\)。
- 二項分佈：如果你已知 \(p\)，則 \(k=0\)；如果你必須利用數據的平均值來計算 \(p\)，則 \(k=1\)。
冷知識：「自由度」一詞指的是系統中有多少數值可以自由變動。如果你知道總頻率，且知道除最後一個外的所有儲存格數值，那最後一個數值就「被鎖定」了，這就是為什麼我們要減去 1 的原因！
3. 列聯表 (Contingency Tables)
列聯表用於檢定兩個不同因素是否獨立。例如：「學生的最愛科目與性別之間是否存在關聯？」
列聯表的假設：
\(H_0\)：兩個因素相互獨立（無關聯）。
\(H_1\)：兩個因素不獨立（存在關聯）。
計算預期頻率：
對於表中的每個儲存格，使用這個簡單的公式：
\(E = \frac{\text{行總和} \times \text{列總和}}{\text{總計}}\)
列聯表的自由度：
\(\nu = (r - 1)(c - 1)\)
其中 \(r\) 是列數，\(c\) 是行數。
提示：對於列聯表，你不需要擔心「估計參數」(\(k\)) 的問題，只需使用行/列公式即可！
4. 尋找臨界值並作出結論
當你算出了 \(\chi^2\) 統計量與自由度 \(\nu\) 後，你需要判斷結果是否顯著。
步驟 1：利用你的顯著水準（通常為 5% 或 1%）與 \(\nu\)，查閱考試提供的統計表以找出臨界值 (Critical Value)。
步驟 2：比較！
- 若計算出的 \(\chi^2\) > 臨界值：差異大到不可能是巧合。拒絕 \(H_0\)。
- 若計算出的 \(\chi^2\) < 臨界值：差異小到可能是隨機誤差。無法拒絕 \(H_0\)（接受 \(H_0\)）。
使用計算機：你的計算機通常可以給你一個 p-值 (p-value)。
- 若 p-值 < 顯著水準（例如 0.03 < 0.05），則拒絕 \(H_0\)。
- 如果覺得一開始很難理解也不用擔心，記住這句口訣：「p 值若低，\(H_0\) 必去！」(If the p is low, the \(H_0\) must go!)
重點檢查清單
核心重點：
- 觀察 (\(O\))：真實數據。預期 (\(E\))：理論數據。
- 5 的規則：若 \(E < 5\)，務必合併儲存格。
- 適合度檢定 \(\nu\)： \(n - 1 - \text{估計參數數量}\)。
- 列聯表 \(\nu\)： \((r-1)(c-1)\)。
- 結論：巨大的 \(\chi^2\) 值會導致拒絕虛無假設。