歡迎來到線性規劃 (Linear Programming)！
你好！歡迎來到決策數學 (Decision Mathematics) 中最實用的章節之一。線性規劃 (Linear Programming, LP) 的核心就是在有限的資源下，做出最理想的決策。無論是工廠想極大化利潤，還是醫院想極小化開支，線性規劃都是他們的必備工具。別擔心起初會看到很多代數運算，我們會將其拆解成簡單、合乎邏輯的步驟！
1. 建構問題 (Formulating a Problem)
在解決問題之前，我們需要將文字描述轉化為數學「代碼」。這過程稱為建構 (Formulation)。
A. 決策變數 (Decision Variables)
這些是你能夠控制的數量，我們通常以 \(x\) 和 \(y\) 表示。
例子：設 \(x\) 為生產標準單車的數量，\(y\) 為生產賽車單車的數量。
B. 目標函數 (Objective Function)
這是你的目標。你是想賺取最多的金錢（極大化 Maximize），還是想花費最少的時間（極小化 Minimize）？
它通常長這樣：極大化 \(P = 10x + 15y\)（這裡 \(P\) 代表利潤）。
C. 約束條件 (Constraints)
這些是你必須遵守的規則或限制，例如預算、空間或原材料的上限。
關鍵術語：非負約束 (Non-negativity constraints)。 在現實世界中，你不能生產負數量的單車！因此，我們幾乎總會加上 \(x \geq 0\) 和 \(y \geq 0\)。
步驟指南：如何建構問題
1. 定義變數： 清晰列出 \(x\) 和 \(y\) 代表甚麼。
2. 寫下目標： 決定是要極大化還是極小化，並寫出方程式。
3. 列出約束： 將每一個限制轉化為不等式（例如 \(2x + 3y \leq 60\)）。
4. 加入非負約束： 別忘了 \(x, y \geq 0\)！
小複習： 把變數當作你的「選擇」，目標當作你的「目標」，約束條件則當作你的「邊界」。
2. 圖解法 (Graphical Solutions)
由於我們只處理兩個變數（\(x\) 和 \(y\)），我們可以透過繪圖來找出答案。
A. 繪畫可行區域 (Feasible Region)
可行區域 (R) 是圖表上同時滿足所有約束條件的區域。
常見錯誤： 當畫出如 \(2x + 5y \leq 10\) 的不等式時，請先畫出直線 \(2x + 5y = 10\)。若要找出它與軸的交點，可令 \(x = 0\) 找出 \(y\)-截距，再令 \(y = 0\) 找出 \(x\)-截距。
你知道嗎？ 我們通常會塗掉不需要的區域。這樣一來，剩下的可行區域便會保持乾淨，讓人一目了然！
B. 尋找最優點 (Optimal Point)
一旦你標出了區域 \(R\)，「最優」點通常會落在區域的頂點 (vertices)（即角落）。尋找最優點有兩種方法：
方法一：目標函數線法 (Objective Line Method / Sliding Ruler)
這通常是最快的方法！
1. 為你的目標函數設定一個「目標」數值（例如，若目標是 \(P = 2x + 3y\)，試著畫出 \(2x + 3y = 6\) 這條線）。
2. 將尺放在這條線上。
3. 平移你的尺，使其保持與該直線平行，並橫跨整個可行區域。
4. 尺在離開區域前接觸到的最後一點就是極大值；最先接觸到的點就是極小值。
方法二：頂點法 (Vertex Method)
如果覺得平移法很難掌握，也可以使用頂點法：
1. 找出可行區域每一個頂點的坐標。
2. 如果兩條直線相交，你可能需要用聯立方程式 (simultaneous equations) 來求出精確坐標。
3. 將每個坐標代入你的目標函數中。
4. 得到最大數值的坐標就是你的最優解！
關鍵提示： 「最優」解幾乎總是在兩個或多個約束條件相交的頂點處。
3. 整數解 (Integer Solutions)
在許多現實問題中，答案不能是「一半」。你不能僱用 4.7 個員工或購買 2.3 輛巴士，這些情況需要整數解。
如果你的最優點是像 \((5.2, 7.8)\) 這樣，你不能簡單地進行「四捨五入」，因為該點可能在可行區域之外！
技巧： 測試最優點附近且位於可行區域內的整數點。
例子：對於 \((5.2, 7.8)\)，你可能需要測試 \((5, 7)\)、\((5, 8)\) 或 \((6, 7)\)，看看哪個點符合條件且能給出最佳結果。
常見陷阱總結
1. 混淆符號： 仔細閱讀！「至少」(At least) 代表 \(\geq\)，「不超過」(No more than) 代表 \(\leq\)。
2. 塗錯區域： 始終在不等式中代入一個點（如 \((0,0)\)）來測試是否正確。如果 \(0 + 0 \leq 10\) 成立，那麼包含 \((0,0)\) 的那一側就是「需要的」區域。
3. 精確度： 請使用削尖的鉛筆和尺。繪圖上的小誤差可能導致選錯頂點！
記憶輔助： 若要記住目標函數線的平移法，把它想像成是一支探照燈，正在掃描區域以尋找最佳位置！
最終檢查清單
- 我是否清楚定義了變數？
- 我是否包含了 \(x, y \geq 0\)？
- 我的可行區域是否清晰標記了 'R'？
- 如果題目要求整數，我有沒有檢查過附近的整數點？
你一定做得到的！線性規劃只是一個邏輯拼圖。多練習繪圖，剩下的自然會融會貫通。