Trigonometry

歡迎來到三角學的世界！

歡迎！在這一個章節中，我們將跨越簡單的直角三角形，深入探索三角學（Trigonometry）那美麗且具規律的變化。這是 AS Level 純數課程中最重要的章節之一，因為它成功地將幾何、代數與圖形串聯了起來。無論你對工程學、音樂製作（聲波！），還是建築設計感興趣，三角學就是那種將一切連繫在一起的「數學黏合劑」。

如果你過去覺得「SOH CAH TOA」有點令人混淆，別擔心。我們將會把所有概念拆解成簡單、易於掌握的步驟。讓我們開始吧！

1. 三角形法則：正弦、餘弦與面積

在 GCSE 階段，你已經學過如何處理直角三角形。在 AS Level，我們探討的是任何三角形。我們通常會用大寫字母 \(A, B, C\) 來標記角度，並用對應的小寫字母 \(a, b, c\) 來標記其對邊。

正弦法則（Sine Rule）

當你擁有「匹配對」（一個角及其對邊）時，請使用此法則。
公式： \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)

餘弦法則（Cosine Rule）

當你有「邊-角-邊」（SAS）的夾角結構，或者已知三條邊長時，請使用此法則。
求邊長： \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\)
求角度： \(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\)

三角形面積

暫時先忘掉「底乘高除以二」吧。如果你已知兩條邊及其夾角，請使用：
公式： \(Area = \frac{1}{2}ab \sin C\)

重點重溫：
• 正弦法則：最適合用於處理成對的邊與角。
• 餘弦法則：最適合用於「夾角」（邊-角-邊）結構。
• 檢查計算機：請務必確保在此章節中你的計算機設定在角度（Degrees, D）模式！

正弦法則的「歧義情況」（Ambiguous Case）：
有時候，當你使用正弦法則求角度時，可能會出現兩個可能的三角形。這種情況發生在你已知兩邊及一個非夾角（銳角）時。
記憶小撇步：如果角對應的邊比另一邊短，可能會出現兩個答案。一個是 \(\theta\)，另一個則是 \(180^\circ - \theta\)。

小貼士：永遠檢查 \(180^\circ - \theta\) 是否也適用於你的三角形！

2. 單位圓與「CAST」圖解

你有沒有想過為什麼 \(\sin(150^\circ)\) 的值會跟 \(\sin(30^\circ)\) 一樣呢？這一切都與單位圓（Unit Circle）有關。想像一個半徑為 1 的圓，圓周上的任何一點座標都可以表示為 \(( \cos \theta, \sin \theta )\)。

CAST 圖解

這是一個簡單的圖表，用來標示各個象限中哪些三角函數為正值：
• 第一象限 (0-90°): All（全部）皆為正值。
• 第二象限 (90-180°): Sine（正弦）為正值。
• 第三象限 (180-270°): Tangent（正切）為正值。
• 第四象限 (270-360°): Cosine（餘弦）為正值。

記憶口訣： Add Sugar To Coffee（或者使用中文口訣：全、正、切、餘）。

你知道嗎？
「Sine」這個詞源自拉丁文 sinus，意為「海灣」或「曲線」。這指的是當三角形的一邊畫在圓內時所呈現的彎曲形狀！

3. 三角函數圖形

你需要能夠辨認並繪製三個主要的三角函數圖形。它們是週期性（periodic）的，代表它們會不斷重複。

1. \(y = \sin x\): 從 0 開始，在 \(90^\circ\) 時升至 1，在 \(180^\circ\) 回到 0，在 \(270^\circ\) 降至 -1，並在 \(360^\circ\) 回到 0。它看起來像是一條平滑的波浪。
2. \(y = \cos x\): 從 1 開始，在 \(90^\circ\) 時變為 0，在 \(180^\circ\) 降至 -1，在 \(270^\circ\) 回到 0，並在 \(360^\circ\) 回到 1。它看起來像個「水桶」，或是向左平移後的正弦波。
3. \(y = \tan x\): 這一個比較特別！它在 \(90^\circ, 270^\circ\) 等位置有漸近線（asymptotes）（圖形永遠不會觸碰到的線）。它每隔 \(180^\circ\) 重複一次。

圖形變換

就像其他函數一樣，你可以平移或變形這些圖形：
• \(y = \sin(x + 30^\circ)\)：將圖形向左平移 \(30^\circ\)。
• \(y = 2\cos x\)：將圖形在垂直方向拉伸（現在範圍從 2 到 -2）。
• \(y = \tan(2x)\)：將圖形在水平方向壓縮（週期變為 \(90^\circ\) 而非 \(180^\circ\)）。

小貼士：在繪圖時，一定要清楚標示截距（圖形與軸的交點）以及最高點與最低點。

4. 三角恆等式

在代數中，我們利用恆等式來簡化算式。在三角學中，你有兩個「好朋友」能協助你解開幾乎所有的方程式。

恆等式 1: \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta\)
如果看到 \(\tan\) 並想將其轉化為 \(\sin\) 與 \(\cos\)，或是反之，請使用此式。

恆等式 2: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
這其實就是畢氏定理的變形！用它來在 \(\sin^2 \theta\) 和 \(\cos^2 \theta\) 之間進行轉換。

避免常見錯誤：
請記住 \(\sin^2 \theta\) 代表的是 \((\sin \theta)^2\)。這並不代表 \(\sin(\theta^2)\)！

5. 解三角方程式

這是將所有概念融合在一起的地方。你經常需要解像 \(2\cos x = 1\) 這類在特定範圍（例如 \(0 \le x \le 360^\circ\)）內的方程式。

逐步指南：

第一步：隔離三角函數。
例如：\(2\cos x = 1 \rightarrow \cos x = 0.5\)

第二步：找出主值（Principal Value, PV）。
使用計算機：\(x = \cos^{-1}(0.5) = 60^\circ\)

第三步：找出範圍內的其它數值。
利用圖形的對稱性或 CAST 圖解。
• 對於 Cosine，另一個數值通常是 \(360^\circ - PV\)。所以，\(360^\circ - 60^\circ = 300^\circ\)。
• 對於 Sine，另一個數值是 \(180^\circ - PV\)。
• 對於 Tangent，另一個數值是 \(180^\circ + PV\)。

二次三角方程式

有時你會看到像 \(2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0\) 這樣的方程式。
別慌！只要把 \(\sin x\) 當作普通的變數（例如 \(y\)）來看待即可。
設 \(y = \sin x\)，則方程式變為 \(2y^2 - y - 1 = 0\)。
分解因式、求出 \(y\) 的值，最後再求出對應的 \(x\)。

小貼士：永遠要檢查你的最終答案是否在題目規定的範圍內（例如 \(0\) 到 \(360^\circ\)）。

重點總結

• 使用正弦法則處理成對邊角，餘弦法則處理夾角結構。
• 使用 CAST 或圖形來找出方程式的多個解。
• 背下兩個恆等式：\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) 與 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)。
• 務必檢查計算機模式（角度！）以及題目要求的區間。

三角學剛開始可能看起來規則繁多，但只要多加練習，你很快就能看出其中的規律。堅持下去！