歡迎來到演算法的世界！
你好！今天我們將深入探討電腦科學中最重要的部分之一：演算法（Algorithms）。別被這個名詞嚇倒了——演算法其實就是為了解決問題或完成任務而設計的一系列步驟指令。無論是你跟著食譜烤蛋糕，還是告訴朋友怎麼去你家，你在日常生活中其實已經在使用演算法了！
在本章中，我們將學習如何設計這些指令，讓電腦能夠理解它們，學習如何找出錯誤，以及如何讓我們的解決方案運作得盡可能快。
1.1 建構基礎：分解與抽象
在編寫演算法之前，我們需要像電腦科學家一樣思考。我們透過運算思維（Computational Thinking）來做到這一點。其中兩個最重要的工具是分解（Decomposition）和抽象（Abstraction）。
分解
分解是指將複雜的問題拆解成較小、較易處理的部分。
例子： 如果你想製作一款電子遊戲，你不會只是「編寫遊戲」。你會把它拆解為：1. 角色移動、2. 計分系統、3. 圖像顯示，以及 4. 音效。解決四個小問題比解決一個大問題要容易得多！
抽象
抽象是指移除不必要的細節，將焦點放在重要的部分上。
例子： 看看倫敦地鐵圖。它不會顯示每一條街道或建築物，它只顯示車站和路線。透過抽象化那些額外的細節，地圖變得更容易使用。
副程式
副程式（Subprogram）是一小段用來執行特定任務的程式碼，可以在需要時隨時「呼叫」它。
副程式的好處：
• 你不需要重複編寫相同的程式碼。
• 它使程式更容易閱讀和測試。
• 不同的人可以同時編寫不同的副程式。
快速回顧：分解 = 拆解問題。抽象 = 簡化資訊。副程式 = 可重用的程式碼塊。
1.2 演算法的表示方式
在我們將演算法輸入電腦之前，主要有兩種「繪製」或「編寫」演算法的方法：流程圖（Flowcharts）和虛擬碼（Pseudocode）。
流程圖
流程圖使用不同的形狀來顯示程式執行的路徑。以下是你必須知道的形狀：
• 橢圓形（終止符）： 用於「開始」和「結束」。
• 平行四邊形： 用於輸入（例如：詢問姓名）和輸出（例如：顯示結果）。
• 矩形： 用於處理（例如：像 \(x = y + 2\) 這樣的運算）。
• 菱形： 用於決策（例如：「分數是否大於 50？」）。這個形狀總是有兩個箭頭伸出：一個用於「是/真（Yes/True）」，另一個用於「否/假（No/False）」。
虛擬碼
虛擬碼是一種編寫指令的方式，它看起來像程式語言，但使用的是平實的英文。它沒有嚴格的「文法」規則，所以你不必擔心漏掉分號！
例子：
OUTPUT "請問你的年齡是多少？"
INPUT userAge
IF userAge >= 18 THEN OUTPUT "你可以投票！"
1.3 程式設計結構
世界上每一個演算法都是由三種基本結構構建而成的：
1. 順序（Sequence）： 按特定的順序，一個接一個地完成指令。
2. 選擇（Selection）： 使用 IF、THEN 和 ELSE 進行選擇。
3. 迭代（重複，Iteration）： 多次循環執行指令。有兩種類型：
• 計數控制： 當你知道確切重複次數時使用（例如：FOR 迴圈）。
• 條件控制： 當你希望重複執行直到某個條件改變時使用（例如：WHILE 迴圈）。
關鍵總結： 每個程式都只是步驟（順序）、選擇（選擇）和循環（迭代）的組合。
1.4 運算子與數據
為了進行運算和決策，我們使用運算子（Operators）。可以把這些想像成你演算法中的「動詞」。
算術運算子
這些用於數學運算：
• 加法： \(+\)
• 減法： \(-\)
• 乘法： \(*\)
• 除法： \(/\)
• 整數除法（DIV）： 告訴你一個數字能被另一個數字除幾次，並忽略餘數（例如：\(7 \text{ DIV } 2 = 3\)）。
• 模數（MOD）： 只告訴你餘數（例如：\(7 \text{ MOD } 2 = 1\)）。
• 指數： \(^\)（例如：\(2 ^ 3 = 8\)）。
關係與邏輯運算子
這些幫助電腦進行決策：
• 關係： ==（等於）、!=（不等於）、<（小於）、>（大於）。
• 邏輯： AND（兩者必須同時為真）、OR（至少一個為真）、NOT（反轉結果）。
常見錯誤： 不要混淆 = 和 ==。在許多程式語言中，單個 = 用於設定數值（賦值），而 == 則是詢問「它們相等嗎？」（比較）。
1.5 尋找與修正錯誤
即使是最優秀的程式設計師也會犯錯！你需要知道以下三種錯誤類型：
1. 語法錯誤（Syntax Error）： 程式碼中的「文法」錯誤（例如：將 PRINT 拼寫為 PRUNT）。程式將無法啟動。
2. 邏輯錯誤（Logic Error）： 程式可以執行，但給出的答案是錯誤的。例如，你想將兩個數字相加，卻不小心輸入了減號。
3. 執行階段錯誤（Runtime Error）： 程式在執行過程中發生的錯誤，導致崩潰（例如：要求電腦除以零）。
追蹤表
追蹤表（Trace Table）是一種用來追蹤變數數值的工具，當你逐行執行演算法時，它可以幫助你找出邏輯錯誤。
如何使用： 為每個變數建立一個欄位，並為輸出建立一個欄位。每次程式碼改變數值時，就更新對應的欄位。
1.6 標準演算法：搜尋與排序
你需要理解這四個經典演算法是如何運作的。想像一下你有一疊亂序的試卷，你需要找到某位學生的試卷，或者按字母順序排列它們。
搜尋演算法
1. 線性搜尋（Linear Search）： 你從頭到尾一個一個地查看列表中的每個項目。它適用於任何列表，但對於大型資料組來說速度很慢。
2. 二分搜尋（Binary Search）： 快得多！你直接跳到列表的中間。如果你要找的項目比中間值小，就丟棄右半部分；如果更大，就丟棄左半部分。重複此過程直到找到為止。
重要事項： 二分搜尋僅適用於已經排序過的列表。
排序演算法
1. 氣泡排序（Bubble Sort）： 你比較相鄰的兩個項目，如果順序不對就交換它們。你不斷地在列表中「循環掃描」，直到不需要再進行任何交換為止。
2. 合併排序（Merge Sort）： 一種「分而治之」的演算法。你將列表拆分為單個項目，然後將它們按正確順序合併起來。這對於大型列表來說非常快！
記憶小撇步： 「線性（Linear）」就像一條線（line）；「二分（Binary）」就像二分法（bi-secting，切成兩半）。
1.7 演算法效率
我們如何知道一個演算法是否「好」？我們基於以下兩點評估其效率：
• 時間： 需要多少次比較或掃描？
• 空間： 使用了多少記憶體？
例子： 二分搜尋比線性搜尋更有效率，因為它通常只需更少的步驟就能找到答案。
關鍵總結： 不僅要找到解決方案，更要找到最快且最簡潔的解決方案！