歡迎來到二進制的世界！
你有沒有想過，電腦明明只是一堆電線和塑料，卻能讓你觀看高清電影、玩大型遊戲或幫你寫報告？這一切都源於一個非常簡單的概念：二進制（Binary）。在本章中，我們將探討電腦如何僅利用 0 和 1 這兩個數字來完成所有任務！如果一開始覺得這像外星語言，請別擔心；讀完這些筆記後，你將能像專家一樣輕鬆地用「電腦語言」溝通。
1. 什麼是二進制？為什麼我們使用它？
電腦由數以十億計的微小開關組成，稱為晶體管（Transistors）。這些開關只有兩種狀態：開（ON，以 1 表示）或關（OFF，以 0 表示）。這種「雙狀態」系統就是我們所說的二進制。
關鍵概念
- 位元（Bit）：數據的最小單位。它是 Binary Digit 的縮寫，只能是 0 或 1。
- 二進制模式（Binary Pattern）：一系列位元的組合（如 1010），代表著特定的數據或指令。
- 狀態（States）：你使用的位元越多，能創建的唯一「模式」或「狀態」就越多。
數學小技巧：有多少種狀態？
想知道一個二進制模式能代表多少種不同的東西，可以使用這個簡單的公式：\(2^n\)，其中 \(n\) 代表位元的數量。
例子： 如果你有 3 個位元，你可以有 \(2^3\) (\(2 \times 2 \times 2\)) = 8 種不同的狀態。
你知道嗎？電腦上的一切——圖像、音樂，甚至是你在這裡讀到的文字，都是以一長串 0 和 1 的形式存儲的！
重點總結：電腦使用二進制是因為它們的硬件是由只有兩種狀態（開/關）的開關組成的。我們使用公式 \(2^n\) 來計算一組位元可以存儲多少個數值。
2. 處理數字：無符號整數（Unsigned Integers）
在十進制（Denary）系統中（我們日常使用的基數 10 系統），我們有個位、十位、百位等。而在二進制（Binary）（基數 2）中，每向左移動一位，位值就會翻倍。
8 位元二進制表
為了考試，你需要記住 8 位元的數字。以下是各位的值：
128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
如何將二進制轉換為十進制
1. 畫出表格。
2. 將你的二進制數字（例如 10001010）填入表格中。
3. 將有 1 的位置上的數值加起來。
例子：10001010
\(128 + 8 + 2 = 138\)
如何將十進制轉換為二進制
1. 從左邊開始（128）。
2. 如果你的數字大於該位值，寫下 1 並減去該值。
3. 如果不大於，寫下 0 並移動到下一欄。
快速回顧：無符號整數永遠是正數。一個 8 位元的無符號整數可以表示 0 到 255 之間的數字。
3. 有符號整數：二補數（Two's Complement）
電腦也需要存儲負數，我們使用一種稱為二補數（Two's Complement）的系統。在這個系統中，最高有效位（Most Significant Bit，最左邊的那一位）變為負數。
8 位元有符號表
-128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
「翻轉並加 1」的技巧
如果你需要將正數變為負數：
1. 寫出該正數的二進制形式（例如：5 是 00000101）。
2. 反轉（Invert）所有位元（0 變 1，1 變 0） -> 11111010。
3. 將結果加 1 -> 11111011。這就是 -5！
常見錯誤：別忘了在二補數中，8 位元的範圍是 -128 到 +127。它與無符號整數的範圍不同！
重點總結：二補數通過將最左邊的位元定義為負值，使電腦能夠表示負數。
4. 二進制加法
二進制加法就像普通加法一樣，只是你需要更快地進行「進位（Carry over）」！
四個規則：
- \(0 + 0 = 0\)
- \(0 + 1 = 1\)
- \(1 + 1 = 0\) （進位 1）
- \(1 + 1 + 1 = 1\) （進位 1）
什麼是溢出（Overflow）？
想像一輛汽車的里程錶只有 3 位數。如果你開到 999 再多走一英里，它會歸零變為 000。這就是溢出。在二進制中，如果你將兩個 8 位元數字相加，結果需要第 9 位，那麼多出來的位元就會丟失。這可能會導致電腦計算出錯誤答案甚至當機！
重點總結：二進制加法遵循簡單的規則，但當結果太大而無法放入分配的位元數時，就會發生溢出。
5. 二進制移位
向左或向右移位是電腦進行乘法或除法運算的一種極快方法。
邏輯移位（用於無符號整數）
- 左移（Left Shift）：將所有位元向左移動。右邊留下的空位補 0。每移動一次，數字就會乘以 2。
- 右移（Right Shift）：將所有位元向右移動。每移動一次，數字就會除以 2（忽略餘數）。
算術移位（用於有符號整數）
當你對一個有符號（二補數）數字進行右移時，你必須保持符號位（最左邊的位元）不變，以確保負數依然保持為負數。
記憶小撇步：左（Left）代表變大（Larger/Multiply）；右（Right）代表減少（Reduce/Divide）。
6. 十六進制（Hexadecimal，基數 16）
二進制對電腦很方便，但人類很難閱讀像 11011010 這樣長的一串數字。因此，我們使用十六進制作為「簡寫」。
為什麼要用十六進制？
- 人類更易於閱讀和記憶。
- 輸入時出錯的機會較少。
- 十六進制與二進制之間的轉換非常簡單。
十六進制的值
十六進制使用 0-9，然後用字母表示 10-15 的值：
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)
如何將二進制轉換為十六進制
1. 將 8 位元二進制拆分為兩組 4 位元（稱為半位元組 Nibbles）。
2. 計算每組半位元組的十進制值（0-15）。
3. 將該值轉換為對應的十六進制字符。
例子：1010 1100
1010 = 10 （十六進制為 A）
1100 = 12 （十六進制為 C）
結果 = AC
快速回顧：一個十六進制位元精確代表 4 個位元（bits）。兩個十六進制位元代表 8 個位元（1 個字節 Byte）。
重點總結：十六進制是一種對人類友好的二進制表示法。它並不會改變電腦的工作方式，只是讓程序員的工作變得更輕鬆！