歡迎來到主題 2：數據表示！
你有沒有想過，電腦是如何分辨高清電影、文字訊息和電子遊戲的呢？其實，電腦的核心只是一堆微小的開關，狀態非 ON 即 OFF。在本章中，我們將學習電腦如何利用這些簡單的開關（二進制）來表示數位世界中的一切。如果剛開始覺得涉及很多數學運算，別擔心——一旦你掌握了當中的規律，這就像學會了一種秘密代碼一樣！
2.1 二進制的威力
什麼是二進制？
電腦使用二進制 (binary)，因為它們由類似開關的電晶體組成。我們將「OFF」表示為 0，將「ON」表示為 1。這些單個的 0 和 1 被稱為位元 (bits)（是 Binary Digits 的縮寫）。
你知道嗎？ 一個位元是電腦能儲存的最小數據單位。它就像你家裡的一個電燈開關！
狀態數量
如果你有特定數量的位元，你能表示多少種不同的事物呢？有一個簡單的公式：\( 2^n \)，其中 \( n \) 是位元的數量。
例如： 如果你有 3 個位元，你可以表示 \( 2^3 = 8 \) 種不同的狀態（000、001、010、011、100、101、110、111）。
無符號整數與有符號整數
電腦需要儲存正數和負數：
1. 無符號整數 (Unsigned Integers)： 僅包含正數（0 及以上）。
2. 二補數 (Two’s Complement)（有符號整數）： 這是一種同時表示正數和負數的方法。最高有效位元 (most significant bit)（最左邊的那一位）代表負值。
快速複習： 在 8 位元的二補數中，最左邊的位元代表 \( -128 \) 而不是 \( +128 \)。這讓我們可以儲存從 \( -128 \) 到 \( +127 \) 的數字。
二進制加法
二進制加法與普通加法一樣，但當數值達到 2 時就需要進位！
- \( 0 + 0 = 0 \)
- \( 0 + 1 = 1 \)
- \( 1 + 1 = 0 \)（進位 1）
- \( 1 + 1 + 1 = 1 \)（進位 1）
常見錯誤： 忽略了溢位 (Overflow)。如果你將兩個 8 位元的數字相加，而結果需要 9 位元才能表示，電腦可能會忽略多出來的那一位。這就是溢位錯誤 (overflow error)，可能會導致程式崩潰或給出錯誤答案！
位元移位
將位元向左或向右移位是一種快速乘法或除法的方法。
- 邏輯左移 (Logical Shift Left)： 將位元向左移動，右邊補 0。移動 1 位相當於將數字乘以 2。
- 邏輯右移 (Logical Shift Right)： 將位元向右移動。移動 1 位相當於將數字除以 2（捨棄任何餘數）。
- 算術移位 (Arithmetic Shift)： 用於有符號數，以保持負號位元不變。
十六進制 (Hexadecimal / Hex)
十六進制是一種基數為 16 的系統。它使用 0-9 以及 A、B、C、D、E、F 來代表 10-15 的值。
為什麼要用它？ 與長串的二進制相比，人類閱讀和記憶十六進制要容易得多。一個十六進制數字正好代表 4 個位元（一個半字節 nibble）。
重點提示： 二進制是給電腦看的；十六進制則是人類為了更容易理解二進制而使用的「速記法」。
2.2 表示文字、圖像和聲音
文字：ASCII
為了儲存文字，電腦會給每個字元分配一個唯一的數字。7 位元 ASCII 是一種標準代碼，可以表示 128 種不同的字元（包括大寫字母、小寫字母、數字和符號）。
例如： 在 ASCII 中，字母 'A' 由十進制數字 65 表示。
圖像：點陣圖 (Bitmaps)
數位圖像由稱為像素 (pixels)（影像元素）的微小點組成。
- 解像度 (Resolution)： 圖像中的像素數量（例如，闊度 x 高度）。
- 色彩深度 (Colour Depth)： 每個像素所使用的位元數。每個像素的位元數越多，顏色就越豐富！
公式： \( \text{總顏色數} = 2^{\text{色彩深度}} \)
聲音：類比轉數位
聲音本質上是類比 (analogue) 波。為了儲存聲音，電腦會定期對聲波進行「快照」。這稱為採樣 (sampling)。
- 採樣率 (Sample Rate)： 每秒進行採樣的次數（以赫茲 Hz 為單位）。
- 位元深度 (Bit Depth)： 用於記錄每次採樣時聲波振幅 (amplitude)（高度）的位元數。
- 採樣間隔 (Sample Interval)： 每次採樣之間的時間間隙。
類比： 想像一張山的數碼照片。「解像度」就像相機有多少萬像素，而聲音的「採樣率」就像影片的每秒幀數 (FPS)。數值越高通常質量越好，但產生的檔案也越大！
重點提示： 將現實世界的數據（圖像/聲音）轉換為二進制，總是在質量和檔案大小之間進行權衡。
2.3 數據儲存與壓縮
測量數據
你需要了解這些單位！在計算機科學中，我們使用二進制倍數（基於 1024）：
- 位元 (Bit)： 1 或 0
- 半字節 (Nibble)： 4 個位元
- 字節 (Byte)： 8 個位元
- 千位元組 (Kibibyte, KiB)： 1024 個字節
- 兆位元組 (Mebibyte, MiB)： 1024 KiB
- 吉位元組 (Gibibyte, GiB)： 1024 MiB
- 太位元組 (Tebibyte, TiB)： 1024 GiB
記憶口訣： Killy Might Get Tired (Kibi, Mebi, Gibi, Tebi)。
數據壓縮
壓縮可以縮小檔案，從而佔用更少的儲存空間，並在網際網路上傳輸得更快。
1. 有損壓縮 (Lossy Compression)
這會永久刪除部分數據以縮小檔案大小。你會損失一些質量，但通常人類無法察覺（例如 JPEG 圖像或 MP3 歌曲）。
警告： 一旦數據被刪除，就無法還原原始數據了！
2. 無損壓縮 (Lossless Compression)
這可以在不丟失任何資訊的情況下縮小檔案。它透過尋找數據中的規律來進行更高效的儲存。
例如： 如果一個檔案中有 100 個連續的 "A"，與其寫成 "AAAA..."，不如寫成 "100xA"。這對於文字檔案或程式碼非常有用，因為每一個字元都很重要。
重點提示： 多媒體（照片/音樂）使用有損壓縮以節省大量空間。對於文件和程式碼，請使用無損壓縮，因為你不能承受丟失任何一個位元！
最終快速複習
二進制： 基數為 2 (0, 1)。
十六進制： 基數為 16 (0-F)。
字元集： 字元及其對應的二進制代碼列表 (ASCII)。
點陣圖： 由像素組成的圖像。
採樣： 將類比聲音轉換為數位訊號。
壓縮： 縮小檔案大小（有損 = 數據丟失，無損 = 無數據丟失）。
如果剛開始覺得有點複雜，別擔心！多練習將小數字在二進制和十進制之間轉換，其餘的內容很快就會融會貫通。你一定做得到！