Measures of dispersion

歡迎來到數據離散程度的世界！

在之前的課堂中，我們學習了「平均值」（集中趨勢的度量）。但平均值只能反映部分事實。試想像有兩個城市，平均氣溫皆為 20°C。在城市 A，每天氣溫都是 20°C；但在城市 B，下午氣溫高達 40°C，夜晚卻跌至 0°C！雖然它們的平均值相同，但實際感受卻截然不同。

這就是我們需要離散程度的度量（Measures of Dispersion）的原因。它們能告訴我們數據有多麼「分散」或「穩定」。讓我們深入探討吧！

1. 全距（Range）：最簡單的度量

全距是一組數據中最大值與最小值之間的差額。它能讓我們快速了解數據的整體分佈範圍。

計算方法：
\( \text{Range} = \text{Highest Value} - \text{Lowest Value} \)

例子：如果一位學生的考試分數分別是 55、60、72 和 90，那麼全距就是 \( 90 - 55 = 35 \)。

常見錯誤：學生經常會寫出兩個數字作為全距（例如：「全距是 55 至 90」）。在統計學中，全距必須是一個單一數字（即兩者的差額）！

重點總結：全距越大，代表數據分佈越分散；全距越小，代表數據越穩定。

2. 四分位數與四分位距（IQR）

有時全距會誤導我們，因為一個極高或極低的數值（離群值）會令全距看起來比實際情況大得多。為了修正這個問題，我們會觀察位於中間的 50% 數據。

什麼是四分位數？

如果你將數據平均分成四等份，這些分界線就稱為四分位數：
• 下四分位數（\(Q_1\)）：位於數據 25% 位置的數值。
• 中位數（\(Q_2\)）：位於數據中間（50%）位置的數值。
• 上四分位數（\(Q_3\)）：位於數據 75% 位置的數值。

四分位距（Interquartile Range, IQR）

IQR 用於衡量中間 50% 數據的離散程度。它的優點在於不受離群值的影響。

公式：
\( \text{IQR} = Q_3 - Q_1 \)

計算 IQR 的步驟：

1. 將數據由小到大排列。
2. 找出中位數（\(Q_2\)）。
3. 在數據的下半部分找出中間值，即為下四分位數（\(Q_1\)）。
4. 在數據的上半部分找出中間值，即為上四分位數（\(Q_3\)）。
5. 用 \(Q_3\) 減去 \(Q_1\)。

如果中位數落在兩個數字之間也不用擔心！只需計算這兩個數字的平均值即可，就像你在「平均值」章節學到的一樣。

3. 百分位數與十分位數（高階試卷適用）

如果四分位數將數據分成 4 等份，那麼百分位數（Percentiles）就是將數據分成 100 等份，而十分位數（Deciles）則分成 10 等份。

• 百分位距（Interpercentile Range）：兩個特定百分位數之間的差額（例如：第 10 百分位數至第 90 百分位數之間的距離）。
• 十分位距（Interdecile Range）：兩個十分位數之間的差額（通常指第 1 十分位數與第 9 十分位數）。

為什麼要用這些？它們比 IQR 更精確。它們能幫助我們觀察離散程度，同時剔除數據兩端的極端值。

4. 離群值（Outliers）：數據中的「叛逆分子」

離群值是指遠高於或遠低於其餘數據的數值。你或許能透過肉眼觀察（檢視法）發現它們，但在考試中，你可能需要透過計算來找出它們。

如何計算離群值的邊界（高階試卷適用）

若數值符合以下條件，通常視為離群值：
• 小於： \( Q_1 - (1.5 \times \text{IQR}) \)
• 大於： \( Q_3 + (1.5 \times \text{IQR}) \)
• 或者： 超出平均值 3 個標準差的範圍（\( \mu \pm 3\sigma \)）。

發現離群值後該怎麼辦？

當你找到離群值時，應檢查它屬於哪種情況：
1. 輸入錯誤： 例如將學生的年齡「15」誤輸入為「150」。這些數據應該被修正或移除。
2. 真正異常的數值： 例如在一般辦公室職位的薪金清單中出現職業運動員的薪酬。這些數據應予以保留並註明，因為它們會影響平均值和全距。

5. 標準差（Standard Deviation，高階試卷適用）

標準差是衡量離散程度最精密的指標。它告訴我們每個數據點距離平均值的「平均距離」。

• 標準差較小：數據點非常接近平均值（非常穩定）。
• 標準差較大：數據點距離平均值較遠（不穩定）。

公式

公式看起來很可怕，但考試時會提供給你！你只需要知道如何運用在數據列表或次數分佈表中：

\( \sigma = \sqrt{\frac{\sum f(x - \bar{x})^2}{\sum f}} \) 或 \( \sigma = \sqrt{\frac{\sum fx^2}{\sum f} - (\frac{\sum fx}{\sum f})^2} \)

記憶小貼士：你可以將標準差想像成「離散程度的平均值」。

6. 標準分數（Standardised Scores，高階試卷適用）

你有沒有想過如何比較數學難題與英文簡單測驗的表現？你不能只比較分數，你需要的是標準分數（Standardised Scores）（也稱為 Z-score）。

標準分數代表一個數值與平均值相差多少個標準差。

公式：
\( \text{Standardised Score} = \frac{x - \mu}{\sigma} \)

其中 \(x\) 是你的分數，\(\mu\) 是平均值，\(\sigma\) 是標準差。正數代表你的表現高於平均，負數代表你的表現低於平均。

7. 比較數據集

在考試中，你經常會被要求比較兩組數據（例如：「比較 A 班與 B 班的分數」）。要準確做到這一點，你必須遵守以下規則：

比較的黃金法則：正確的離散程度度量必須配搭正確的平均值度量！

1. 如果你使用中位數（Median），就必須使用四分位距（IQR）來描述離散程度。
2. 如果你使用平均值（Mean），就必須使用標準差（Standard Deviation）（或全距）來描述離散程度。

答案範例：「A 班的中位數分數（65%）比 B 班（58%）高，顯示他們的平均表現較好。然而，A 班的 IQR（20%）比 B 班（10%）大，意味著 A 班的分數分佈較廣，穩定性較低。」

重點複習箱

全距（Range）：最大值 - 最小值（最簡單，受離群值影響）。
四分位距（IQR）：\(Q_3 - Q_1\)（中間 50% 的數據，不受離群值影響）。
標準差（Standard Deviation）：距離平均值的平均距離（最準確）。
離群值（Outlier）：數值與四分位數距離超過 \(1.5 \times \text{IQR}\)。
標準分數（Standardised Score）：用於公平地比較不同的數據集。