Binary

歡迎來到二進制的世界！

哈囉，未來的電腦科學家！準備好迎接這個定義電腦運作邏輯的章節了嗎？這就是「二進制」（Binary）章節，它是我們研究數據（Data）的核心基礎。

為什麼這很重要呢？因為電腦處理的一切——無論是你的照片、遊戲還是文檔——最終都是以龐大的電信號序列來儲存和理解的：即「開」（ON）或「關」（OFF）。我們使用兩個數位來代表這些訊號：0 和 1。這種雙數位語言就稱為二進制。

別擔心，如果起初覺得轉換有些困難，我們會用簡單的步驟和有趣的記憶法幫你拆解。讓我們開始吧！

1. 理解數系：十進制與二進制

我們熟悉的系統：十進制（Base 10）

我們每天都在使用十進制系統。它被稱為十進制是因為我們使用了十個不同的數字（0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9）。

數字的值取決於其位值（place value），這基於 10 的冪次方。
例子：數字 457

• 7 在個位（Units）欄位（\(10^0 = 1\)）
• 5 在十位（Tens）欄位（\(10^1 = 10\)）
• 4 在百位（Hundreds）欄位（\(10^2 = 100\)）

電腦的語言：二進制（Base 2）

二進制是計算機的骨幹。它是二進制系統，因為它只使用兩個數字：0 和 1。

• 0 通常代表電信號為關閉（Off）或假（False）。
• 1 通常代表電信號為開啟（On）或真（True）。

類比：將二進制想像成一排簡單的電燈開關。每個開關只能是「開」（1）或「關」（0）。如果你有 8 個開關，你就有了 8 個儲存資訊的位置！

二進制的位值基於 2 的冪次方。我們通常使用 8 個開關，這意味著我們處理的是8位元二進制數（8-bit binary numbers）。

重點總結： 十進制使用 10 的冪次方；二進制使用 2 的冪次方（只有 0 和 1）。

2. 二進制與十進制的相互轉換

二進制位值表（魔法數字）

這張表格是你最重要的工具。你必須記住這些數字！它們是 2 的冪次方，從右邊的 \(2^0\) 開始，每向左移動一位數值就加倍。

8位元二進制位值

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n \hline\n 2^7 & 2^6 & 2^5 & 2^4 & 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2^0 \\\n \hline\n \mathbf{128} & \mathbf{64} & \mathbf{32} & \mathbf{16} & \mathbf{8} & \mathbf{4} & \mathbf{2} & \mathbf{1} \\\n \hline\n \end{array}\)

步驟拆解 2.1：二進制轉十進制（Base 2 轉 Base 10）

這是較簡單的轉換。只需將出現 1 的對應位值加總即可。

例子：將二進制數字 10110010 轉換為十進制。

步驟 1：畫出表格並將二進制數字寫在下方。

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n \hline\n 128 & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 \\\n \hline\n \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\\n \hline\n \end{array}\)

步驟 2：圈出數字為 1 的位值。

數值為 1 的欄位分別是：128、32、16 和 2。

步驟 3：將圈出的值加總。

\(128 + 32 + 16 + 2 = 178\)

答案：二進制數字 10110010 在十進制中為 178。

記憶小貼士： 如果看到 0，直接忽略它上方的數字！只有 1 才算數！

步驟拆解 2.2：十進制轉二進制（Base 10 轉 Base 2）

對於這種轉換，我們使用「減法技術」。我們嘗試將最大的可能位值放入十進制數字中。

例子：將十進制數字 155 轉換為二進制。

步驟 1：畫出空白的 8 位元表格。

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n \hline\n 128 & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 \\\n \hline\n & & & & & & & \\\n \hline\n \end{array}\)

步驟 2：從左邊（128）開始，問自己：128 能放入 155 嗎？

• 可以。在 128 的欄位填入 1。
• 相減：\(155 - 128 = 27\)。 (27 是你的新目標數字)。

步驟 3：移動到下一個欄位（64）。64 能放入剩餘的 27 嗎？

• 不能。在 64 的欄位填入 0。
• 剩餘目標仍為 27。

步驟 4：繼續檢查剩餘的欄位（32, 16, 8, 4, 2, 1）對應剩餘數值的情況。

• 32 入 27？不行（0）。目標維持 27。
• 16 入 27？可以（1）。相減：\(27 - 16 = 11\)。新目標為 11。
• 8 入 11？可以（1）。相減：\(11 - 8 = 3\)。新目標為 3。
• 4 入 3？不行（0）。目標維持 3。
• 2 入 3？可以（1）。相減：\(3 - 2 = 1\)。新目標為 1。
• 1 入 1？可以（1）。相減：\(1 - 1 = 0\)。最終目標為 0。

步驟 5：寫出最終二進制結果（從左至右讀取底部那一行）。

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\n \hline\n 128 & 64 & 32 & 16 & 8 & 4 & 2 & 1 \\\n \hline\n \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} \\\n \hline\n \end{array}\)

答案：十進制數字 155 在二進制中為 10011011。

常見錯誤： 永遠記得包含零（佔位符）！如果你漏掉一個佔位符（例如上面 64 和 32 欄位的 0），你的答案將會完全錯誤。一個 8 位元數字必須永遠有 8 個位數！

重點總結： 二進制轉換完全依賴於位值表（128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1）。熟能生巧！

3. 測量數位數據

由於電腦處理大量的 0 和 1，我們需要標準單位來衡量數位儲存容量，就像我們用公升測量液體或用公斤測量重量一樣。

3.1. 最小單位

位元（Bit, b）

位元（Bit）是數據的最小單位。它是 Binary Digit 的縮寫。

• 一個位元只能儲存一個值：0 或 1。
• 單獨一個位元通常無法代表任何有意義的資訊。

半字節（Nibble，有時稱為四位元組）

半字節（Nibble）是 4 個位元的組合。

• \(1 \text{ Nibble} = 4 \text{ bits}\)。

字節（Byte, B）

字節（Byte）是儲存的基本單位，對於代表字元（如字母 'A' 或數字 '7'）至關重要。

• 一個字節是 8 位元。
• 單個文字字元通常佔用 1 字節的記憶體（例如在 ASCII 編碼中）。

你知道嗎？ 使用 8 位元（1 字節），我們可以代表 \(2^8 = 256\) 種唯一的數字或字元（從 0 到 255）。

3.2. 更大的單位與 1024 的威力

在十進制世界中，「Kilo」代表 1,000（例如：1 公里 = 1,000 公尺）。然而，因為電腦使用二進制系統，它們的測量基於 2 的冪次方。最接近 1,000 的 2 的冪次方是 1,024 (\(2^{10}\))。

因此，隨後的單位都是以 1,024 倍遞增，而不是 1,000。

數據測量單位

單位	縮寫	關係（近似）	關係（精確）
位元 (Bit)	b	N/A	二進位數字 (0 或 1)
字節 (Byte)	B	N/A	8 位元
千字節 (Kilobyte)	KB	約 1 千字節	\(1,024\) Bytes
百萬字節 (Megabyte)	MB	約 1 百萬字節	\(1,024\) KBs
十億字節 (Gigabyte)	GB	約 1 十億字節	\(1,024\) MBs
萬億字節 (Terabyte)	TB	約 1 萬億字節	\(1,024\) GBs

使用例子：一首普通的 MP3 歌曲可能是 4 MB。一個大型硬碟可能擁有 1 TB 的儲存空間。

關鍵區別： 在描述速度（例如：每秒多少 Megabits, Mb/s）與儲存容量（例如：Megabytes, MB）時，請務必分清小寫 'b'（bit）和大寫 'B'（Byte）。

重點總結： 8 位元構成 1 字節。所有更大的單位（KB, MB, GB, TB）都是透過將前一個單位乘以 1,024 而得出的。

最終回顧：二進制基礎

恭喜！你已經掌握了電腦如何儲存和解釋數字數據的基礎知識。這些基礎知識對於理解之後更複雜的數據表示方式至關重要。

快速檢查清單

• 十進制是 Base 10（數字 0-9）。
• 二進制是 Base 2（數字 0 和 1）。
• 轉換的關鍵是8位元位值表：128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1。
• 位元 (b) 是最小單位。
• 字節 (B) 是 8 個位元。
• 儲存單位基於 1,024（而非 1,000）。

你已經完成了艱苦的工作，繼續練習那些轉換，你會發現二進制很快就會成為你的直覺！