Data representation - Computer Science - Pearson Edexcel IGCSE

你好，未來的電腦科學家！讓我們一起掌握數據表示法！

歡迎來到電腦運作原理的神奇世界！本章節「數據表示法」至關重要，因為你在電腦上看到、聽到或輸入的一切——從串流影片到簡單的文字訊息——都必須轉換成機器能讀懂的語言。

別擔心，這聽起來可能有點複雜！我們將會利用簡單的類比和分步方法，為你拆解二進制（Binary）和十六進制（Hexadecimal）等艱澀概念。讀完這些筆記後，你將能清楚了解 0 和 1 如何轉化為絢麗的彩色圖片與動態的音樂。

為什麼數據表示法很重要？

電腦的中央處理器（CPU）是由數十億個微小的開關所組成的。這些開關只能處於兩種狀態：開啟（ON）或關閉（OFF）。這種雙態系統是所有運算的核心，稱為二進制系統（基數 2）。

1. 電腦的語言：二進制基礎

1.1 位元（Bit）、位元組（Byte）及其他單位

數據的最小單位是位元（Bit），即 Binary Digit 的簡稱。

一個位元只能是 0（關閉）或 1（開啟）。
類比：想像一個電燈開關，它不是開就是關——不可能處於「半開」狀態！

位元的組合

為了儲存有意義的資訊，位元會被組合起來：

半位元組（Nibble）： 4 個位元（半個位元組）。
位元組（Byte）： 8 個位元（測量字元如字母「A」的標準單位）。

你知道嗎？ 儲存容量通常以 2 的冪次方來測量。雖然 1 Kilobyte (KB) 常被近似為 1,000 bytes，但在電腦科學中，它精確地等於 1,024 bytes ($2^{10}$)。

重點摘要： 所有的數位資訊——數字、文字、影像和聲音——都是使用 0 和 1 的組合來儲存的。

2. 數字系統：十進制、二進制和十六進制

2.1 十進制（基數 10）與二進制（基數 2）

我們日常生活中使用十進制（Base 10），它使用 10 個數字（0–9）並依賴 10 的冪次方（如 $10^0, 10^1, 10^2$ 等）。

二進制系統（Base 2）僅使用兩個數字（0 和 1），並依賴 2 的冪次方。

將二進制轉換為十進制（最多 8 位元）

要將 8 位元的二進制數字轉換為十進制，我們使用位值權重：

128 64 32 16 8 4 2 1

分步範例：將 10110010 轉換為十進制

在二進制數字上方寫下位值：
128 64 32 16 8 4 2 1
1 0 1 1 0 0 1 0
將出現「1」對應的位值加起來：
$128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0$
計算總和：
$128 + 32 + 16 + 2 = 178$

因此，二進制的 10110010 等於十進制的 178。

將十進制轉換為二進制

我們使用權重法（找出能放進該數字的最大 2 的冪次方）。

分步範例：將 201 轉換為二進制

從 201 開始。128 放得進去嗎？可以（記為 1）。
$201 - 128 = 73$
64 能放進 73 嗎？可以（記為 1）。
$73 - 64 = 9$
32 能放進 9 嗎？不行（記為 0）。
16 能放進 9 嗎？不行（記為 0）。
8 能放進 9 嗎？可以（記為 1）。
$9 - 8 = 1$
4 能放進 1 嗎？不行（記為 0）。
2 能放進 1 嗎？不行（記為 0）。
1 能放進 1 嗎？可以（記為 1）。
$1 - 1 = 0$（餘數為 0 時停止）

結果得到的 8 位元數字為 11001001。

2.2 十六進制（Base 16）

十六進制（Hexadecimal, Hex）使用 16 個符號：數字 0–9 以及字母 A–F（代表十進制的 10–15）。

為什麼要使用十六進制？ 這能省下很多時間！ 長串的二進制（例如 16 位元）對人類來說很難閱讀和記憶。十六進制就像是二進制數據的精簡速記。

由於 $2^4 = 16$，4 位元的二進制剛好可以用 1 個十六進制數字完全表示。

十六進制轉換表

| 十六進制 | 十進制 | 二進制 (4-bit) |

|---|---|---|

| 9 | 9 | 1001 |

| A | 10 | 1010 |

| B | 11 | 1011 |

| F | 15 | 1111 |

將二進制轉換為十六進制

這是最簡單的轉換！只需從右側開始，將二進制字串每 4 個位元分為一組（半位元組）。

分步範例：將 11010110 轉換為十六進制

將位元組拆分為兩個半位元組：1101 和 0110。
轉換第一個半位元組 (1101)：
$8 + 4 + 0 + 1 = 13$。十進制 13 在十六進制中為 D。
轉換第二個半位元組 (0110)：
$0 + 4 + 2 + 0 = 6$。十進制 6 在十六進制中為 6。
結合數字：該十六進制數字為 D6。

快速複習： 二進制、十進制和十六進制之間的轉換非常重要。請練習使用 128-64-32-16-8-4-2-1 表，直到你可以快速完成運算！

3. 表示文字與字元

電腦無法直接儲存字母「A」。相反，它儲存的是代表「A」的二進制編碼。這些編碼由稱為字元集（Character Sets）的標準所定義。

3.1 ASCII (美國資訊交換標準代碼)

ASCII 是最早且最廣泛使用的字元集之一。它最初使用 7 個位元來表示 128 個字元 ($2^7 = 128$)。

這涵蓋了所有大小寫字母、數字 0–9 以及基本標點符號。
範例： 大寫字母「A」由十進制數字 65 表示（在 8 位元二進制中為 01000001）。

常見錯誤： 不要把字元「1」（它有自己的 ASCII 碼）與二進制數字 1 混淆。

3.2 Unicode

ASCII 的局限性在於它僅支援基本的英文和西方字元。

Unicode 的開發就是為了克服這個問題。它每個字元使用 16 位元或更多（高達 32 位元），允許表示數以百萬計的唯一字元。

這包括世界各地的語言（中文、阿拉伯文、印地文）以及特殊符號，包括表情符號（Emojis）！
優點： Unicode 讓軟體和網頁在世界各地都能正確顯示，無論使用什麼語言。

重點摘要： ASCII 對於英文文字（8 位元）很有效率，而 Unicode 對於全球通訊和龐大的字元集（16/32 位元）則是必要的。

4. 表示圖像（位圖 Bitmap）

最常見的圖像（如 JPEG 或 BMP）是以位圖（Bitmaps）形式儲存的。將位圖影像想像成一個由微小彩色方塊組成的巨大網格。

4.1 像素（Pixels）與解析度（Resolution）

像素（Pixel），即圖像元素，是數位影像中最小的單一色彩點。
解析度（Resolution）是指圖像中的像素數量，通常以寬 x 高來測量（例如 1920 x 1080）。

4.2 色彩深度（Colour Depth）

色彩深度（有時稱為位元深度）是儲存單個像素色彩資訊所使用的位元數。

可能的色彩數量使用以下公式計算：$2^N$（其中 N 是以位元為單位的色彩深度）。

1-bit 深度： $2^1 = 2$ 種顏色（例如黑白）。
8-bit 深度： $2^8 = 256$ 種顏色。
24-bit 深度： $2^{24} \approx 1670$ 萬種顏色（稱為「真彩色/全彩」）。

類比：色彩深度就像你的調色盤大小。位元深度越高，意味著你的圖片能使用的色調和色彩就越豐富。

4.3 計算影像檔案大小（未壓縮）

要計算未壓縮的位圖影像佔用多少空間，請使用以下公式：

$$ \text{檔案大小 (bits)} = \text{解析度 (寬} \times \text{高)} \times \text{色彩深度 (bits)} $$

分步範例： 計算一張 100 x 50 像素、色彩深度為 24-bit 的影像大小。

計算總像素（解析度）：$100 \times 50 = 5,000$ 像素。
計算總位元數：$5,000 \times 24 \text{ bits/pixel} = 120,000$ bits。
轉換為位元組（除以 8）：$120,000 / 8 = 15,000$ bytes。

重點摘要： 更高的解析度（更多像素）和更高的色彩深度（每個像素更多位元）都會導致檔案變大，但影像品質也會更好。

5. 表示聲音

現實世界中的聲音是類比（Analogue）的（平滑且連續的波）。電腦需要透過一個稱為採樣（Sampling）的過程，將其轉換為數位（Digital）數據（離散的 0 和 1）。

5.1 採樣過程

採樣是以固定的時間間隔測量聲波的振幅（Amplitude）（響度）。

兩個因素決定了數位化聲音的品質和大小：

A. 採樣率（Sample Rate 或 Sampling Frequency）

這是每秒採樣（測量）的次數。它以赫茲（Hz）或千赫茲（kHz）為單位。

對品質的影響： 較高的採樣率代表電腦測量聲波的頻率更高，能更準確地重現原始聲音（品質更好）。
標準範例： CD 品質的音訊使用 44,100 Hz (44.1 kHz) 的採樣率。

B. 位元深度（Bit Depth 或 Sample Resolution）

這是用於儲存每個個別採樣點振幅值的位元數。

對品質的影響： 較高的位元深度允許紀錄更大範圍的可能振幅級別，從而產生更精確、動態範圍更廣且背景噪音更小的聲音。

5.2 計算聲音檔案大小（未壓縮）

音訊檔案的大小取決於持續時間、採樣率和位元深度。（注意：此公式假設為單聲道，非立體聲。）

$$ \text{檔案大小 (bits)} = \text{採樣率 (Hz)} \times \text{位元深度 (bits)} \times \text{時間 (秒)} $$

分步範例： 計算 10 秒單聲道音訊的檔案大小（以位元組為單位），採樣率為 20,000 Hz，位元深度為 16-bit。

計算總位元數：
$20,000 \times 16 \times 10 = 3,200,000$ bits。
轉換為位元組（除以 8）：
$3,200,000 / 8 = 400,000$ bytes。

重點摘要： 高採樣率和高位元深度都能創造高品質的音訊檔案，但也會導致檔案體積大幅增加。

快速複習總結

|---|---|---|---|

現在你已經掌握了電腦內部如何儲存所有資訊的精髓！繼續練習這些轉換，你一定能在這一章拿到高分！

* thinka提供的內容由AI生成，可能並非總是準確或最新。請將其用作輔助資源，並與官方材料進行核實。