Calculus

歡迎來到微積分的世界！

你好！準備好探索微積分了嗎？這絕對是數學中最強大的工具。別擔心它聽起來很複雜——其實微積分的核心，就是變化的數學。它能幫助我們找出事物在任何特定時刻是如何移動、增長或縮減的。

在本章中，我們將掌握兩個基礎運算：

• 微分 (Differentiation)： 找出瞬時變化率（就像車輛在這一刻的精確速度）。
• 積分 (Integration)： 找出累計總量（就像車輛在一段時間內行駛的距離，或是曲線下的面積）。

讓我們開始吧！

第一節：微分的基礎

1.1 冪法則 (The Power Rule)：微分的引擎

微分讓我們可以找出曲線的導函數 (gradient function) 或導數 (derivative)，記作 \(\frac{dy}{dx}\)。

冪法則 (適用於多項式)：

若 \(y = ax^n\)，則導數 \(\frac{dy}{dx}\) 為：

\(\frac{dy}{dx} = n a x^{n-1}\)

運作原理（簡單技巧）：

1. 將現有的係數 (\(a\)) 乘以次方 (\(n\))。
2. 將次方減 1 (\(n-1\))。

例子： 若 \(y = 5x^3\)

• 第一步：相乘 \(5 \times 3 = 15\)。
• 第二步：次方減 1 \(3 - 1 = 2\)。
• 結果：\(\frac{dy}{dx} = 15x^2\)。

重要的特殊情況：

• 若 \(y = x\)（即 \(1x^1\)），則 \(\frac{dy}{dx} = 1\)。
• 若 \(y = c\)（常數，例如 5），則 \(\frac{dy}{dx} = 0\)。（水平線的斜率為零！）

快速回顧：處理根式與分數

微分前，你必須先用指數記法 (\(x^n\)) 改寫各項：

• \(\frac{1}{x^n} = x^{-n}\)
• \(\sqrt{x} = x^{1/2}\)
• \(\frac{5}{x^2} = 5x^{-2}\)

重點總結： 微分是為了找出任何一點的斜率。冪法則是基本工具：乘上原次方，再將次方減一。

第二節：進階微分技巧（法則）

當函數變得複雜時，我們需要特定的法則來處理乘積、商（除法）以及複合函數。

2.1 乘積法則 (The Product Rule)

當 \(y\) 是兩個 \(x\) 函數的乘積時，我們使用乘積法則。
設 \(y = uv\)，其中 \(u\) 和 \(v\) 皆為 \(x\) 的函數。

公式：

\(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\)

記憶法（UV 技巧）：

若 \(y = uv\)，導數即為：前乘後微分 加 後乘前微分。

逐步例子： 微分 \(y = (x^2 + 1)(x^3)\)。

1. 找出 \(u\) 和 \(v\)：
   \(u = x^2 + 1\)
   \(v = x^3\)
2. 找出導數：
   \(\frac{du}{dx} = 2x\)
   \(\frac{dv}{dx} = 3x^2\)
3. 套用公式 (\(u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\))：
   \(\frac{dy}{dx} = (x^2 + 1)(3x^2) + (x^3)(2x)\)
4. 化簡：
   \(\frac{dy}{dx} = 3x^4 + 3x^2 + 2x^4 = 5x^4 + 3x^2\)

2.2 商法則 (The Quotient Rule)

當 \(y\) 是一個函數除以另一個函數時，我們使用商法則。
設 \(y = \frac{u}{v}\)，其中 \(u\) 和 \(v\) 皆為 \(x\) 的函數。

公式：

\(\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)

記憶法：

下乘上導 減 上乘下導，除以分母平方。

• 下 = \(v\)
• 上導 = \(\frac{du}{dx}\)

常見錯誤： 順序非常重要，因為有減號！永遠記得先從 \(v\)（分母）開始乘上分子的導數。

2.3 連鎖法則 (The Chain Rule，複合函數微分)

連鎖法則用於函數嵌套的情況（函數中的函數），就像剝洋蔥一樣，一層一層處理。

若 \(y\) 是 \(u\) 的函數，而 \(u\) 是 \(x\) 的函數，公式為：

\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\)

類比： 想像一個括號的次方，例如 \(y = (x^3 + 5)^4\)。

1. 外層 (\(dy/du\))： 將括號視為 \(u\)。先微分外面的次方部分（把 4 拿下來，次方減 1）。
2. 內層 (\(du/dx\))： 微分括號內的內容。
3. 相乘這兩個結果。

例子： 微分 \(y = (3x^2 - 7)^5\)。

1. 外層導數（對整個括號用冪法則）：
   \(5(3x^2 - 7)^4\)
2. 內層導數（對 \(3x^2 - 7\) 微分）：
   \(6x\)
3. 兩者相乘：
   \(\frac{dy}{dx} = 5(3x^2 - 7)^4 \times (6x)\)
   \(\frac{dy}{dx} = 30x(3x^2 - 7)^4\)

第三節：三角函數的微分

你必須熟記這三個標準三角函數的導數。這是基本功，且經常與連鎖、乘積或商法則結合使用。

設 \(y\) 為 \(x\) 的函數：

• 若 \(y = \sin x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \cos x\)。
• 若 \(y = \cos x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = -\sin x\)。
• 若 \(y = \tan x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \sec^2 x\)。

注意符號！ 微分 \(\sin x\) 得到正的 \(\cos x\)，但微分 \(\cos x\) 會得到負的 \(\sin x\)。

將連鎖法則應用於三角函數

若三角函數內部的函數不只是 \(x\)（例如 \(\sin(3x)\)），我們必須使用連鎖法則。

若 \(y = \sin(ax + b)\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 為常數：

1. 微分函數本身：\(\cos(ax + b)\)。
2. 乘以內部部分的導數 (\(ax+b\))：\(\times a\)。
3. 結果：\(\frac{dy}{dx} = a \cos(ax + b)\)。

例子： 微分 \(y = 4 \cos(5x)\)。

\(\frac{dy}{dx} = 4 \times (-\sin(5x)) \times 5 = -20 \sin(5x)\)。

第四節：微分的應用

導數 \(\frac{dy}{dx}\) 能告訴我們曲線在任何點的斜率。我們利用它來找切線、法線及轉向點。

4.1 切線與法線

若想找出曲線上一點 \((x_1, y_1)\) 的切線或法線方程，我們需要它的斜率 \(m\)。

直線方程為 \(y - y_1 = m(x - x_1)\)。

1. 找出切線斜率 (\(m_T\))

切線斜率就是導數在該特定點的值：

\(m_T = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=x_1}\)

2. 找出法線斜率 (\(m_N\))

法線是垂直（呈 90 度）於切線的線。若 \(m_T\) 是切線斜率，則法線斜率為其負倒數：

\(m_N = - \frac{1}{m_T}\)

重點總結： 微分是定義直線所需斜率的必備工具。

4.2 平穩點 (Stationary Points / 轉向點) 與優化

平穩點（或稱轉向點）是指曲線斜率為零的點——曲線在那一點短暫處於水平狀態。這發生在局部極大值、局部極小值或拐點處。

尋找平穩點：

1. 令導數為零：\(\frac{dy}{dx} = 0\)。
2. 解出 \(x\)，找到平穩點的 x 坐標。
3. 將 \(x\) 值代回原方程 \(y\) 中，求出對應的 y 坐標。

判定性質（極大或極小）：二階導數測試

為了確定平穩點是極大值還是極小值，我們使用二階導數，記作 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

測試規則：

• 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\)（正數），該點為局部極小值。（想像一個笑臉，開口向上。）
• 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\)（負數），該點為局部極大值。（想像一個苦臉，開口向下。）
• 若 \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\)，測試失效。（這可能是拐點，需檢查平穩點兩側的斜率符號。）

優化問題：

微分可用於解決實際問題，如尋找最大量（最大面積）或最小量（最小成本）。流程與尋找平穩點相同：

1. 列出目標量的方程（例如面積 \(A\)）。
2. 對方程微分 (\(\frac{dA}{dx}\))。
3. 令導數為零並求解。
4. 使用二階導數測試確認它是極大值還是極小值。

第五節：積分：累計

積分是微分的逆運算，常被稱為反導數 (antiderivative)。若微分是找變化率，積分則是找回原函數。

5.1 不定積分

對 \(f(x)\) 進行關於 \(x\) 的積分，寫作 \(\int f(x) \, dx\)。

反冪法則：

若 \(f(x) = ax^n\)，則其積分為：

\(\int ax^n \, dx = \frac{a x^{n+1}}{n+1} + C\) (其中 \(n \ne -1\))

運作原理（簡單技巧）：

1. 次方加 1 (\(n+1\))。
2. 係數除以新的次方 (\(n+1\))。
3. 最重要的是，永遠要記得加上積分常數 \(+ C\)。

為什麼要 \(+ C\)？

微分時，常數會消失。由於積分是逆運算，我們必須加入任意常數 \(C\) 來代表原本可能存在的任何常數。這就是為什麼它被稱為不定積分。

例子： 積分 \(y = 6x^2 + 5x - 3\)。

\(\int (6x^2 + 5x^1 - 3x^0) \, dx = \frac{6x^{2+1}}{3} + \frac{5x^{1+1}}{2} - \frac{3x^{0+1}}{1} + C\)

結果： \(2x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 3x + C\)

5.2 三角函數的積分

由於積分是微分的逆過程，規則很直觀：

• \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
• \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\)
• \(\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C\)

處理內部函數（反連鎖法則）：

當積分如 \(\cos(ax + b)\) 的函數時，我們照常積分，然後將結果除以 \(x\) 的係數。

\(\int \cos(ax + b) \, dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) + C\)

例子： \(\int 7 \sin(2x) \, dx\)

\(\sin(2x)\) 的積分是 \(-\cos(2x)\)，再除以係數 2。

\(\int 7 \sin(2x) \, dx = 7 \left( - \frac{\cos(2x)}{2} \right) + C = - \frac{7}{2} \cos(2x) + C\)。

第六節：積分的應用（定積分）

當積分符號上有上限與下限數字時，這稱為定積分。這裡不需要 \(+C\)，因為我們要計算一個確定的數值。

\(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\)

其中 \(F(x)\) 是積分後的原函數。

6.1 曲線下的面積

定積分的主要用途是找出由曲線 \(y = f(x)\)、x 軸以及兩條垂直線 \(x=a\) 和 \(x=b\) 所圍成的面積。

面積 \(A = \int_{a}^{b} y \, dx\)

重要規則：軸下方的面積

若曲線位於 x 軸下方，積分結果會是負值。由於面積必須是正數，你需要計算積分後取其絕對值。如果區域跨越了軸的上下兩側，你必須在 x 截距處將積分拆開，分別計算每一部分的面積，然後將它們相加。

兩條曲線之間的面積

若區域由兩條曲線 \(y_1\)（上曲線）和 \(y_2\)（下曲線）圍成，面積為兩者差值的積分：

面積 \(A = \int_{a}^{b} (y_{上} - y_{下}) \, dx\)

6.2 旋轉體體積 (繞 x 軸)

在進階純數學中，你需要找出曲線與 x 軸圍成的面積繞 x 軸旋轉 360 度後所產生的旋轉體體積。

想像將函數圖形繞著 x 軸旋轉——這會形成一個立體形狀（就像花瓶或陀螺）。

旋轉體體積公式（繞 x 軸）：

體積 \(V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx\)

步驟：

1. 確認函數 \(y\) 以及極限 \(a\) 和 \(b\)。
2. 將函數平方：計算 \(y^2\)。 (必要時請展開括號！)
3. 對所得的 \(y^2\) 表達式進行積分。
4. 使用 \(F(b) - F(a)\) 計算定積分，最後乘上 \(\pi\)。

你知道嗎？ 旋轉體體積公式來自於將無數個極薄的圓柱盤（像切片香腸一樣）沿 x 軸累加。每個盤的面積是 \(\pi r^2\)，其中 \(r\) 就是高度 \(y\)。

重點總結： 定積分給你一個數值結果，代表面積或體積等累計量。計算體積時，切記要用 \(\pi\) 和 \(y^2\)！