Rectangular Cartesian coordinates

🗺️ 歡迎來到直角坐標幾何！

哈囉，未來的數學家！這一章「直角坐標幾何」(Rectangular Cartesian Coordinates) 是你的數學導航圖。它的重點在於如何在平面上（坐標平面）描述事物的位置以及它們之間的距離。

在高級純粹數學 (Further Pure Mathematics) 中，我們不只是描繪點；我們還會利用坐標來計算長度、斜率和面積等關鍵性質。掌握這些工具是後續章節成功的基礎！如果幾何不是你的強項，別擔心，我們會將所有內容拆解成簡單易懂的步驟。

關鍵詞彙複習

• 原點 (Origin)： 即點 \((0, 0)\)。
• 坐標 (Coordinates)： 一對代表位置的數字 \((x, y)\)。
• 橫坐標 (Abscissa)： \(x\) 坐標（水平位置）。
• 縱坐標 (Ordinate)： \(y\) 坐標（垂直位置）。

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📐 第 1 部分：線段測量

當你有兩個點 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2, y_2)\) 時，我們通常需要知道線段 AB 的長度以及它的中點位置。

1.1 距離公式 (長度)

距離公式其實就是畢氏定理 (Pythagorean Theorem) 的應用。如果你以線段 AB 為斜邊畫一個直角三角形，其水平距離為 \((x_2 - x_1)\)，垂直距離為 \((y_2 - y_1)\)。

公式：

點 \(A(x_1, y_1)\) 與 \(B(x_2, y_2)\) 之間的距離 \(d\) 為： $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

小貼士： 由於我們將差值平方，所以選擇哪一個點作為 \((x_1, y_1)\) 或 \((x_2, y_2)\) 並不會影響結果。答案是一樣的！

分步範例：求 \(A(1, 5)\) 和 \(B(4, 1)\) 之間的距離。

1. 找出 \(x\) 的差：\(4 - 1 = 3\)。
2. 找出 \(y\) 的差：\(1 - 5 = -4\)。
3. 平方並相加：\(3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25\)。
4. 開平方根：\(\sqrt{25} = 5\)。距離為 5 個單位。

1.2 中點公式

尋找中點就像計算平均位置。只需分別算出 \(x\) 坐標的平均值和 \(y\) 坐標的平均值即可。

公式：

線段 AB 的中點 \(M\) 為： $$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

類比： 想像你要跟朋友在中間點見面。你需要走過總水平距離的一半和總垂直距離的一半。取坐標的平均值就能準確算出那個中間點在哪裡！

第 1 部分重點： 距離計算使用減法和畢氏定理（平方）；中點計算使用加法和除以二（取平均）。

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📈 第 2 部分：理解斜率 (Gradient)

斜率 (Gradient) 通常記作 \(m\)，用於衡量直線的陡峭程度和方向。

2.1 計算斜率 \(m\)

斜率計算方式為 \(y\) 的變化量（垂直上升）與 \(x\) 的變化量（水平跨度）的比值。

公式：

\(A(x_1, y_1)\) 與 \(B(x_2, y_2)\) 之間的斜率 \(m\) 為： $$m = \frac{y \text{ 的變化量}}{x \text{ 的變化量}} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$

解讀斜率：

• 正 \(m\)： 直線從左至右向上傾斜（上坡）。
• 負 \(m\)： 直線從左至右向下傾斜（下坡）。
• \(m = 0\)： 直線為水平線。
• \(m\) 未定義： 直線為垂直線（分母 \(x_2 - x_1 = 0\)）。

2.2 平行線與垂直線

斜率在判斷兩條直線 \(L_1\)（斜率為 \(m_1\)）和 \(L_2\)（斜率為 \(m_2\)）之間的幾何關係時非常有幫助。

1. 平行線

若兩直線平行，則它們有相同的斜率。它們永遠不會相交。

$$m_1 = m_2$$

2. 垂直線

若兩直線垂直（相交成 90° 角），則它們斜率的乘積為 \(-1\)。

$$m_1 \times m_2 = -1 \quad \text{或} \quad m_2 = -\frac{1}{m_1}$$

記憶口訣： 要找垂直斜率，只需將原斜率「反過來」並改變正負號（負倒數）。
例如： 若 \(m_1 = \frac{2}{3}\)，則 \(m_2 = -\frac{3}{2}\)。

你知道嗎？ 這種關係是我們尋找幾何圖形中垂線或垂直平分線方程的關鍵數學工具。

第 2 部分重點： 斜率 (\(m\)) 是升/跨。平行線的 \(m\) 相等；垂直線的 \(m\) 互為負倒數。

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📝 第 3 部分：直線方程

直線方程描述了該直線上每一個點的 \(x\) 和 \(y\) 坐標之間的關係。要定義一條直線，通常需要兩個要素：斜率 (\(m\)) 和直線上經過的一個點。

3.1 斜截式：\(y = mx + c\)

這是最常見的形式，能直接看出陡峭程度及直線在 \(y\) 軸上的截距。

• \(m\) 是斜率。
• \(c\) 是 \(y\) 截距（即點 \((0, c)\)）。

步驟： 如果已知斜率 \(m\) 和一點 \((x_1, y_1)\)，你可以將這些值代入 \(y = mx + c\) 並解出 \(c\)。

3.2 點斜式：\(y - y_1 = m(x - x_1)\)

對於高級純粹數學，這種形式通常更快速、更強大。只要知道斜率 \(m\) 和直線上的任意點 \((x_1, y_1)\)，就可以立即寫出方程。

分步範例：求斜率為 \(m = -3\) 且經過點 \((2, 5)\) 的直線方程。

1. 確認 \(m = -3\)，\(x_1 = 2\)，\(y_1 = 5\)。
2. 代入點斜式：\(y - 5 = -3(x - 2)\)。
3. 簡化（若題目要求則整理成 \(y = mx + c\) 形式）：
   \(y - 5 = -3x + 6\)
   \(y = -3x + 11\)

第 3 部分重點： 點斜式 \(y - y_1 = m(x - x_1)\) 是解決直線方程問題最高效的起點。

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🔍 第 4 部分：應用——交點與面積

4.1 尋找交點

兩條直線的交點是同時滿足兩個方程的唯一坐標 \((x, y)\)。要找到交點，需要將兩個方程當作聯立方程 (Simultaneous Equations) 來解。

範例： 尋找 \(L_1: y = 2x + 1\) 與 \(L_2: 3x + y = 6\) 的交點。

步驟 1： 使用代入法（因為 \(L_1\) 的 \(y\) 已獨立）。將 \(L_1\) 中的 \(2x + 1\) 代入 \(L_2\) 的 \(y\)。
$$3x + (2x + 1) = 6$$

步驟 2： 解 \(x\)。
$$5x + 1 = 6$$ $$5x = 5 \implies x = 1$$

步驟 3： 將 \(x=1\) 代回任一原始方程（使用較簡單的 \(L_1\)）求 \(y\)。
$$y = 2(1) + 1 \implies y = 3$$

交點為 \((1, 3)\)。

4.2 三角形與四邊形的面積

在高級純粹數學中，你常會遇到要求計算由坐標定義的多邊形（如三角形 ABC 或四邊形 ABCD）面積的問題。

最可靠的方法（特別是在形狀不是直角三角形時）是分割法（盒子法，Box Method）。

步驟：面積計算（盒子法）

1. 將多邊形（例如三角形 ABC）完全包圍在一個大長方形內，且該長方形的邊與 \(x\) 和 \(y\) 軸平行。
2. 計算這個大長方形的面積。
3. 計算目標多邊形外部、大長方形角落形成的直角三角形面積。
4. 從大長方形面積中減去這些外部三角形的面積，即可得到多邊形的面積。

為什麼要用這個方法？ 因為盒子邊緣是水平和垂直的，計算外側三角形的邊長和面積只需進行簡單的坐標相減，既直接又準確。

三角形 ABC 範例：
若 A=(2, 6), B=(8, 3), C=(4, 1)。
包圍的長方形從 \(x=2\) 到 \(x=8\)（寬 6），從 \(y=1\) 到 \(y=6\)（高 5）。
長方形面積 = \(6 \times 5 = 30\)。
接著算出三個角落三角形的面積（使用 \(\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)）並從 30 中減去即可。

第 4 部分重點： 交點透過聯立方程求解。複雜圖形的面積最容易的方法，是用外包圍長方形面積減去周圍直角三角形面積。