歡迎來到「二次函數」的學習筆記！本章節是進階純數學（Further Pure Mathematics）中許多進階課題的基石。如果某些概念在基礎數學中似曾相識，請不必擔心；在這裡，我們將更深入探討根與係數之間的關係，這對解決問題至關重要。
我們將把判別式以及根與係數關係（Sum and Product of Roots）等複雜概念拆解成易於理解的步驟。讓我們開始吧！
基本概念：標準形式與結構
1. 一般形式
二次函數（或方程式）的標準定義為：
\[\nax^2 + bx + c = 0\n\]
其中 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 為常數，且最關鍵的是，\(a \neq 0\)。
二次函數 \(y = ax^2 + bx + c\) 的圖像是一條拋物線（parabola）。
- 若 \(a > 0\)，拋物線開口向上（U 型），且有一個極小值轉向點。
- 若 \(a < 0\)，拋物線開口向下（n 型），且有一個極大值轉向點。
2. 判別式：預測根的性質
在進階純數學中，我們經常需要在不直接求解的情況下，得知一個方程式有多少個實根。這就是判別式（Discriminant）派上用場的時候。
判別式是二次公式中根號底下的部分：
\[\n\text{判別式, } \Delta = b^2 - 4ac\n\]
你可以把判別式想像成一位算命師：它能告訴你根的本質！
判別式的關鍵情況
\(\Delta\) 的符號決定了根的性質（即圖像與 \(x\) 軸的截距）：
情況 1：兩個不同的實根（\(\Delta > 0\)）
若 \(b^2 - 4ac > 0\)：
- 該方程式有兩個不同的實數解。
- 圖像與 \(x\) 軸相交於兩點。
- 你知道嗎？如果 \(\Delta\) 同時是一個完全平方數（例如 9、25），那麼根將會是有理數（即可以寫成分數形式）。
情況 2：一個重實根（\(\Delta = 0\)）
若 \(b^2 - 4ac = 0\)：
- 該方程式恰有一個實數解（通常稱為重根或切點）。
- 圖像與 \(x\) 軸恰好觸碰於一點（轉向點位於 \(x\) 軸上）。
情況 3：無實根（\(\Delta < 0\)）
若 \(b^2 - 4ac < 0\)：
- 由於在實數系中負數不能開平方，該方程式沒有實數解。
- 圖像不會與 \(x\) 軸相交或觸碰。它完全位於軸的上方或下方。
逐步範例
題目： 判斷 \(2x^2 - 5x + 4 = 0\) 的根的性質。
- 找出 \(a, b, c\)：\(a=2\)、\(b=-5\)、\(c=4\)。
- 計算判別式： \[\n \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(4)\n \]
- 簡化： \[\n \Delta = 25 - 32 = -7\n \]
- 結論：由於 \(\Delta = -7\)（小於 0），因此沒有實根。
重點總結： 判別式是檢查二次函數是否與 \(x\) 軸相交的最快方法。
3. 根與係數的關係
這部分是進階純數學的核心。當二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根為 \(\alpha\)（alpha）和 \(\beta\)（beta）時，這些根與係數 \(a\)、\(b\)、\(c\) 之間存在強大的聯繫。
3.1 根的和
根的和為：
\[\n\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\n\]請記住：負號在這裡非常重要！
3.2 根的積
根的積為：
\[\n\alpha \beta = \frac{c}{a}\n\]記憶小撇步：S-P 公式
如果我們知道根的和（Sum, \(S\)）與積（Product, \(P\)），就可以直接寫出二次方程式。
當 \(a=1\) 時，方程式變為：
\[\nx^2 - (\text{根的和})x + (\text{根的積}) = 0\n\] \[\nx^2 - Sx + P = 0\n\]類比：永遠記得和前面的負號！以 S 開頭的 Sum (和) 要先減去 (Subtract)。
3.3 建立新方程式
進階純數學常見的任務是利用已知的根來建立一個新的二次方程式，其根與原本的根有關。
逐步處理流程：
- 從原始方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) 開始。求出 \(S_o = \alpha + \beta = -b/a\) 與 \(P_o = \alpha \beta = c/a\)。
- 定義新根（例如 \(\alpha' = 2\alpha\) 與 \(\beta' = 2\beta\)）。
- 計算新和（\(S_n\)）：\(S_n = \alpha' + \beta'\)。並將其以 \(S_o\) 表示。
- 計算新積（\(P_n\)）：\(P_n = \alpha' \beta'\)。並將其以 \(P_o\) 表示。
- 建立新方程式：\(x^2 - S_n x + P_n = 0\)。(若 \(a \neq 1\)，你可能需要同乘某數以去除分數)。
常見錯誤提醒： 計算新積時，記得要將整個式子相乘。如果新根是 \((\alpha-1)\) 和 \((\beta-1)\)，則積為 \((\alpha-1)(\beta-1)\)，展開後為 \(\alpha\beta - (\alpha+\beta) + 1\)。千萬不要只將個別項相乘！
重點總結： 關係式 \(\alpha + \beta = -b/a\) 與 \(\alpha \beta = c/a\) 是在無需算出 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 實際值的情況下，解決問題的強力工具。
4. 配方法與頂點
雖然標準形式 \(ax^2 + bx + c\) 對於判別式與根很有用，但配方法形式（Completed Square Form）對於識別轉向點（頂點）以及理解函數的值域至關重要。
4.1 配方法形式
任何二次表達式都可以寫成：
\[\na(x+p)^2 + q\n\]其中 \(p\) 與 \(q\) 是由 \(a\)、\(b\) 與 \(c\) 推導出來的常數。
4.2 尋找頂點（轉向點）
配方法形式 \(a(x+p)^2 + q\) 的主要優勢在於可以直接看出頂點（拋物線的極小值或極大值點）：
頂點坐標：\((-p, q)\)
對稱軸是通過頂點的垂直線，其方程式為 \(x = -p\)。
4.3 配方法步驟（當 \(a \neq 1\) 時）
我們對 \(y = 3x^2 + 12x - 5\) 進行配方。
- 從前兩項提取 \(a\)： \[\n y = 3(x^2 + 4x) - 5\n \]
- 在括號內配方： 取 \(x\) 係數的一半（即 4/2 = 2）。平方它（2² = 4）。在括號內同時加減此數值： \[\n y = 3(x^2 + 4x + 4 - 4) - 5\n \]
- 將完全平方項組合： \[\n y = 3((x+2)^2 - 4) - 5\n \]
- 將 \(a\) 值（3）乘回括號內的常數項： \[\n y = 3(x+2)^2 - 3(4) - 5\n \]
- 簡化以求出 \(q\)： \[\n y = 3(x+2)^2 - 12 - 5\n \] \[\n y = 3(x+2)^2 - 17\n \]
由此結果可知，頂點為 \((-2, -17)\)。由於 \(a=3\)（正數），這是一個極小值點。
尋找頂點的替代方法（使用公式）
你也可以總是使用對稱軸公式來求頂點的 \(x\) 坐標：
\[\nx = -\frac{b}{2a}\n\]一旦求出 \(x\) 值，代回原始方程式 \(y = ax^2 + bx + c\) 即可求出 \(y\) 坐標。
重點總結： 形式 \(a(x+p)^2 + q\) 能直接找出轉向點 \((-p, q)\)，這對於確定函數的極大值或極小值（值域）非常關鍵。
5. 繪製二次函數圖像
要準確繪製二次函數圖像，你需要三個關鍵資訊：
i. 形狀（凹凸性）
由 \(a\) 決定。是 U 型（\(a>0\)）還是 n 型（\(a<0\)）？
ii. \(y\) 軸截距
令 \(x=0\)。\(y\) 軸截距總是常數項 \(c\)。
iii. \(x\) 軸截距（根）
令 \(y=0\)。這些根可以透過因式分解、二次公式求得；如果判別式顯示無實根，曲線將不會與 \(x\) 軸相交。
iv. 轉向點（頂點）
透過配方法或對稱公式 \(x = -b/2a\) 求得。這決定了曲線的極小或極大高度。
快速複習：進階純數學二次函數要點
1. 判別式（根的性質）：
\[\n \Delta = b^2 - 4ac\n \]
2. 根的和（\(\alpha + \beta\)）：
\[\n -\frac{b}{a}\n \]
3. 根的積（\(\alpha \beta\)）：
\[\n \frac{c}{a}\n \]
4. 由 S 與 P 建立方程式：
\[\n x^2 - Sx + P = 0\n \]
5. 頂點式（轉向點 \((-p, q)\)）：
\[\n a(x+p)^2 + q\n \]
你已經完成了進階純數學中二次函數的核心理論學習！請多練習使用根的和與積的關係，因為這是該章節在考試中最常見的應用。祝你學習順利！