🧠 高等純數學習筆記：進階三角函數 (Advanced Trigonometry)

各位未來的數學家，大家好！歡迎來到奇妙的高等純數三角函數世界。相信大家已經掌握了基本概念（例如 SOH CAH TOA 和 CAST 圖），但在這一章，我們要更上一層樓！

我們將學習強大的公式，讓你能夠組合、拆解及變換三角函數。這些工具在解複雜方程式、證明棘手的恆等式，以及模擬現實世界的現象（如聲波和電路）時至關重要。別擔心有些概念初看會讓人感到畏懼——我們會一步一步為你拆解！準備好了嗎？讓我們開始吧！

重點回顧：核心恆等式（你必須掌握的基礎）

在深入「高等」內容之前，先快速複習一下必備知識：

  • 畢氏恆等式 (Pythagorean Identity)： \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)
  • 由畢氏恆等式推導出的關係：
    (1) \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\)
    (2) \(\cot^2\theta + 1 = \csc^2\theta\)
  • 正切恆等式 (Tangent Identity)： \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)

第一節：複角公式 (Compound Angle Formulae / Addition Formulae)

複角公式讓我們能夠求出兩個已知角度的和或差的三角比（例如：透過 \(\sin(45^\circ + 30^\circ)\) 來計算 \(\sin(75^\circ)\)）。

這是本章所有內容的基礎！

1.1 你必須背誦的公式

正弦和角/差角公式
\(\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)
\(\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\)

餘弦和角/差角公式
\(\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B\)
\(\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)

正切和角/差角公式
\(\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\)
\(\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\)

🧠 記憶小撇步：正弦與餘弦的「個性」

試著將這些函數想像成有個性的人：

  • 正弦 (\(\sin\))： 它是個「社交型」函數，懂得分享！它會跟對手交替配對 (sin, cos, cos, sin)，而且符號保持不變 (\(+ \rightarrow +\), \(- \rightarrow -\))。
  • 餘弦 (\(\cos\))： 它是個「自私型」函數。它會先跟自己人配對 (cos, cos, sin, sin)，而且符號會相反 (\(+ \rightarrow -\), \(- \rightarrow +\))。

1.2 應用範例

例題：化簡表達式 \(\cos(x + 90^\circ)\)。

我們使用 \(\cos(A + B)\) 公式，其中 \(A=x\)，\(B=90^\circ\)：
\(\cos(x + 90^\circ) = \cos x \cos 90^\circ - \sin x \sin 90^\circ\)
我們知道 \(\cos 90^\circ = 0\) 而 \(\sin 90^\circ = 1\)。
\(\cos(x + 90^\circ) = (\cos x)(0) - (\sin x)(1)\)
\(\cos(x + 90^\circ) = -\sin x\)

重要提示（複角公式）： 這些公式幫助我們展開或合併包含角度和/或差的表達式。使用餘弦公式時，請務必留意符號變化。

第二節：雙倍快樂 – 倍角公式 (Double Angle Formulae)

如果我們在複角公式中令 \(A = B = \theta\)，就能立即得到倍角公式。它們對於化簡表達式和處理包含 \(\sin 2\theta\) 或 \(\cos 2\theta\) 的方程式非常重要。

2.1 正弦倍角

\(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\)

你知道嗎？ 當你的方程式中同時出現 \(\theta\) 和 \(2\theta\) 等不同角度時，這個公式是替換項目的強大武器。

2.2 餘弦倍角（三種型態）

餘弦倍角公式非常獨特，因為它有三種等價形式。你必須三種都熟記，因為選對正確的形式能讓你解題變得輕鬆許多！

形式一（原始版）： \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\)

利用 \(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\) 代入，可得：

形式二（僅含餘弦）： \(\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1\)

利用 \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\) 代入，可得：

形式三（僅含正弦）： \(\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta\)

2.3 正切倍角

\(\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}\)

🔥 常見錯誤警示！

千萬不要混淆 \(\sin 2\theta\) 與 \(2 \sin \theta\)。它們是不一樣的！
例如：若 \(\theta = 30^\circ\):
\(\sin 2\theta = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
\(2 \sin \theta = 2 \sin 30^\circ = 2(\frac{1}{2}) = 1\)

重要提示（倍角公式）： 主要用途在於恆等式證明，以及將含有 \(\cos 2\theta\) 的表達式轉換為僅包含 \(\cos\theta\) 或僅包含 \(\sin\theta\) 的項。

第三節：三角函數變換器 – R 公式 (The R-Formula)

R 公式（也稱為輔助角法）是高等純數中最強大的技術之一。它能讓你將兩個波的總和（例如 \(3\cos\theta + 4\sin\theta\)）合併成一個單一、簡化的波表達式（例如 \(R\cos(\theta - \alpha)\)）。

3.1 什麼是 R 公式？為什麼要用它？

我們希望將：
$$a\cos\theta + b\sin\theta$$ 表示成：
$$R\cos(\theta \pm \alpha) \text{ 或 } R\sin(\theta \pm \alpha)$$ 的形式。

使用 R 公式的主要目的是：

  • 求出表達式的最大值與最小值。
  • 解同時包含 \(\sin\theta\) 和 \(\cos\theta\) 的複雜三角方程式。

🌊 比喻：波的疊加

想像兩個聲波（餘弦波和正弦波）同時傳進你的耳朵。R 公式就像一個數學處理器，將這兩個獨立的波合併成一個單一波形，並定義其新的振幅 (\(R\)) 和相位移 (\(\alpha\))。

3.2 尋找 R 和 \(\alpha\) 的步驟

讓我們以 \(R\cos(\theta - \alpha)\) 的形式來演示。
首先，令該表達式等於其展開形式：
$$a\cos\theta + b\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)$$

第一步：展開右邊 (RHS)
使用 \(\cos(\theta - \alpha)\) 的複角公式：
$$R\cos(\theta - \alpha) = R(\cos\theta \cos\alpha + \sin\theta \sin\alpha)$$
$$R\cos(\theta - \alpha) = (R\cos\alpha)\cos\theta + (R\sin\alpha)\sin\theta$$

第二步：比較係數
比較兩邊 \(\cos\theta\) 和 \(\sin\theta\) 的係數：

  • \(\cos\theta\) 的係數： \(a = R\cos\alpha\) (方程式 1)
  • \(\sin\theta\) 的係數： \(b = R\sin\alpha\) (方程式 2)

第三步：求出 R（振幅）
將方程式 1 和 2 平方並相加：
$$a^2 + b^2 = (R\cos\alpha)^2 + (R\sin\alpha)^2$$ $$a^2 + b^2 = R^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$$
因為 \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\)，所以：

振幅 R： \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\)
注意：R 永遠取正值。

第四步：求出 \(\alpha\)（相位移）
用方程式 2 除以方程式 1：
$$\frac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha} = \frac{b}{a}$$
$$\tan\alpha = \frac{b}{a}$$

角度 \(\alpha\)： \(\alpha = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\)

記得要將 \(\alpha\) 表達成題目要求的範圍內（通常為 \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\)）。

3.3 應用：求最大值與最小值

一旦化為 \(R\cos(\theta - \alpha)\) 形式，找最值就非常簡單：

  • 最大值發生在餘弦/正弦部分為 1 時。最大值 = \(R\)。
  • 最小值發生在餘弦/正弦部分為 -1 時。最小值 = \(-R\)。
重要提示（R 公式）： 使用 R 公式將 \(a\cos\theta + b\sin\theta\) 簡化為單一三角函數。請記住 \(R\) 的計算符合畢氏定理 (\(R = \sqrt{a^2 + b^2}\))，而 \(\alpha\) 則由正切定義 (\(\tan\alpha = b/a\))。

第四節：解進階三角方程式

在高等純數中，解方程式通常需要先使用我們剛剛學過的恆等式，才能運用標準方法（例如 CAST 圖）求解。

4.1 策略一：使用倍角公式化簡

如果方程式中混合了 \(\cos 2\theta\) 和 \(\cos\theta\)（或 \(\sin\theta\)），你必須先轉換倍角項。

例題：在 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\) 的範圍內，解方程式 \(2\cos 2\theta - \sin\theta = 1\)。

第一步：選擇正確的恆等式。
因為方程式包含 \(\sin\theta\)，我們應將 \(\cos 2\theta\) 替換為僅含正弦的形式 (\(1 - 2\sin^2\theta\))。

第二步：代入並整理。
$$2(1 - 2\sin^2\theta) - \sin\theta = 1$$ $$2 - 4\sin^2\theta - \sin\theta = 1$$
將所有項移到一邊，整理成二次方程式： $$0 = 4\sin^2\theta + \sin\theta - 1$$

第三步：解二次方程式。
令 \(x = \sin\theta\)。解 \(4x^2 + x - 1 = 0\)（通常需要使用二次公式）。

第四步：求出角度。
得到 \(\sin\theta\) 的值後，使用反三角函數和 CAST 圖，找出給定範圍內的所有解。

4.2 策略二：使用 R 公式解方程式

如果方程式形式為 \(a\cos\theta + b\sin\theta = c\)，請使用 R 公式。

例題：在 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\) 的範圍內，解 \(3\cos\theta + 4\sin\theta = 2\)。

第一步：轉換為 R 形式。
按照第三節步驟，令 \(3\cos\theta + 4\sin\theta = R\cos(\theta - \alpha)\)。
\(R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)。
\(\tan\alpha = \frac{4}{3} \implies \alpha \approx 53.13^\circ\)。
所以，\(5\cos(\theta - 53.13^\circ) = 2\)。

第二步：孤立單一函數。
$$\cos(\theta - 53.13^\circ) = \frac{2}{5} = 0.4$$

第三步：解複合角。
令 \(\phi = \theta - 53.13^\circ\)。解 \(\cos\phi = 0.4\)。
參考角：\(\cos^{-1}(0.4) \approx 66.42^\circ\)。
因為餘弦值為正，解位於第一和第四象限。
\(\phi_1 = 66.42^\circ\)
\(\phi_2 = 360^\circ - 66.42^\circ = 293.58^\circ\)
(重要：務必根據新的範圍檢查是否需要負值解，或 360° 以外的解！)

第四步：求出 \(\theta\)。
$$\theta = \phi + 53.13^\circ$$
\(\theta_1 = 66.42^\circ + 53.13^\circ = 119.55^\circ\)
\(\theta_2 = 293.58^\circ + 53.13^\circ = 346.71^\circ\)

🎯 小撇步：範圍轉換

當解 \(\sin(2\theta)\) 或 \(\cos(\theta - \alpha)\) 這類方程式時，記得在計算複合角之前先轉換原有的角度範圍！
如果 \(0^\circ \le \theta \le 360^\circ\)，那麼 \(0^\circ \le 2\theta \le 720^\circ\)。

重要提示（解方程式）： 關鍵在於「化簡」。如果你看到混合項，請利用恆等式（複角或倍角）將方程式轉變為單一三角函數或標準二次形式。

🎉 結語與下一步

恭喜你！你已經成功跨越了高等純數三角函數的三大支柱：複角公式、倍角公式和 R 公式。這些課題極具挑戰性，但掌握它們將使你在處理高階數學問題時游刃有餘。勤加練習！多做恆等式證明和複雜方程式的解題練習——這才是真正內化知識的關鍵！你做得到的！