Linear equations - Mathematics (Specification A) - Pearson Edexcel IGCSE

🎯 線性方程：求未知數的值

嗨，未來的數學家！歡迎來到方程的世界。這一章非常重要，因為線性方程是代數的絕對基礎。只要你能掌握這些技巧，之後面對更困難的課題時，你一定會更有信心。

你可以把方程想像成一個拼圖遊戲。你有一個未知的拼圖塊（通常稱為 \(x\)），而你的目標是在保持左右平衡的情況下，找出這塊拼圖代表的數字。

你將學會：

線性方程的結構與組成部分。
保持方程平衡的核心法則。
如何解出包含單邊未知數、雙邊未知數、括號以及分式的方程。

1. 基礎概念

方程 (Equation) 與表達式 (Expression)

簡單來說，它們的分別在於有沒有等號：

表達式是一個沒有等號的數學短語。（例如：\(3x + 7\)）
方程則含有等號 (\(=\))，表示左邊與右邊的值相等。（例如：\(3x + 7 = 16\)）

關鍵術語

當我們觀察像 \(4x - 2 = 10\) 這樣的方程時：

變數 (Variable)： 代表未知數的字母（通常是 \(x\)、\(y\) 或 \(t\)）。在我們的例子中，它是 \(x\)。
係數 (Coefficient)： 與變數相乘的數字。在我們的例子中，它是 \(4\)。
常數 (Constant)： 沒有連接變數的固定數值。在我們的例子中，是 \(-2\) 和 \(10\)。
線性 (Linear)： 這意味著變數的次方為 1（只是 \(x\)，而不是 \(x^2\) 或 \(x^3\)）。

2. 解方程的黃金法則：保持平衡！

想像方程就像一個完美平衡的蹺蹺板（或天平）。為了保持平衡，你對其中一邊做的任何動作，都「必須」對另一邊做完全相同的事情。

逆運算（反向操作）

為了隔離變數 (\(x\))，我們需要撤銷施加在它身上的運算。我們使用逆運算：

運算	逆運算（相反操作）
加法 ( + )	減法 ( - )
減法 ( - )	加法 ( + )
乘法 ( \(\times\) )	除法 ( \(\div\) )
除法 ( \(\div\) )	乘法 ( \(\times\) )

🔑 記憶小撇步： 當你求解 \(x\) 時，本質上就是在為變數「拆禮物」。你是在反向執行運算順序 (BIDMAS/BODMAS)！

快速複習：平衡術

目標是讓 \(x\) 獨自留在等號的一邊。

如果你看到 \(+5\)，你必須在兩邊同時減去 5。

如果你看到 \(3x\)，你必須在兩邊同時除以 3。

3. 解一步與兩步方程

例子 1：一步方程（加法/減法）

解方程：\(x + 9 = 15\)

步驟 1： 我們需要消去 \(+9\)。

動作： 在兩邊同時減去 9。

\[x + 9 - 9 = 15 - 9\]

步驟 2： 化簡。

\[x = 6\]

例子 2：兩步方程（標準型）

兩步方程是最常見的類型。記得要先處理加法/減法，再處理乘法/除法。

解方程：\(5x - 7 = 13\)

步驟 1：消去常數 (\(-7\))。

動作： 在兩邊同時加上 7。

\[5x - 7 + 7 = 13 + 7\]

\[5x = 20\]

步驟 2：消去係數 (\(5\))。

動作： 在兩邊同時除以 5。

\[\frac{5x}{5} = \frac{20}{5}\]

\[x = 4\]

💡 檢查你的答案： 務必將你的答案代回原方程檢查！若 \(x=4\)：\(5(4) - 7 = 20 - 7 = 13\)。正確！

4. 等號兩邊都有未知數的方程

如果這看起來很棘手，別擔心！這裡的核心概念是將所有的 \(x\) 項移到一邊，所有的常數移到另一邊。

策略：移動較小的 \(x\)

為了避免處理 \(x\) 的負係數，通常將係數較小的項移動會比較容易。

解方程：\(6x + 5 = 2x + 17\)

步驟 1：收集 \(x\) 項。 較小的 \(x\) 項是 \(2x\)。我們從右邊消去它。

動作： 在兩邊同時減去 \(2x\)。

\[6x - 2x + 5 = 2x - 2x + 17\]

\[4x + 5 = 17\]

步驟 2：收集常數項。 消去左邊的 \(+5\)。

動作： 在兩邊同時減去 5。

\[4x + 5 - 5 = 17 - 5\]

\[4x = 12\]

步驟 3：求解 \(x\)。

動作： 除以 4。

\[x = 3\]

⚠️ 常見錯誤警示：符號錯誤！

當你將一項移到等號另一邊時，你「必須」改變它的符號。

如果你將右邊的 \(+3x\) 移走，它在左邊會變成 \(-3x\)。

5. 涉及括號的方程

如果你在方程中看到括號，你的第一步永遠是先展開括號！

逐步流程

解方程：\(3(x - 4) = 15\)

步驟 1：展開括號。 將括號外的數字 (3) 乘以括號內的「每一項」 (\(x\) 和 \(-4\))。

\[3 \times x - 3 \times 4 = 15\]

\[3x - 12 = 15\]

步驟 2：解所得的兩步方程。（先處理常數）。

動作： 在兩邊同時加上 12。

\[3x = 15 + 12\]

\[3x = 27\]

步驟 3：求解 \(x\)。

動作： 除以 3。

\[x = 9\]

含有負號的例子

如果括號前面有減號，展開時要格外小心！

例子：\(10 - 2(x + 1) = 4\)

將 \(-2\) 視為要相乘的項。
\(-2 \times x = -2x\)
\(-2 \times +1 = -2\)

方程變為：

\[10 - 2x - 2 = 4\]

合併左邊的常數：\(10 - 2 = 8\)

\[8 - 2x = 4\]

現在，隔離 \(x\)。在兩邊同時減去 8：

\[-2x = 4 - 8\]

\[-2x = -4\]

兩邊同時除以 \(-2\)：

\[x = \frac{-4}{-2}\]

\[x = 2\]

你知道嗎？

最早使用 \(x\) 作為未知數的記錄可追溯到 17 世紀，儘管代數概念的根源可以追溯到古巴比倫和埃及！

6. 涉及分式的方程

分式可能會讓方程看起來很嚇人，但有一個絕招可以立刻除掉它們！

絕招：清空分母

要消去分式，將整個方程中的每一項都乘以分母。

例子 1：單個分式

解方程：\(\frac{x}{3} + 1 = 5\)

步驟 1：清空分式。 分母是 3，將每一項都乘以 3。

\[3 \times \left(\frac{x}{3}\right) + 3 \times 1 = 3 \times 5\]

\[x + 3 = 15\]

步驟 2：解剩下的方程。

\[x = 15 - 3\]

\[x = 12\]

例子 2：兩邊都有分式

解方程：\(\frac{2x}{5} = 4\)

動作： 兩邊同時乘以 5。

\[5 \times \left(\frac{2x}{5}\right) = 5 \times 4\]

\[2x = 20\]

動作： 除以 2。

\[x = 10\]

例子 3：多個分母

當你有不同的分母（例如 2 和 3）時，你必須將整個方程乘以分母的最小公倍數 (LCM)。

解方程：\(\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5\)

2 和 3 的最小公倍數是 6。將每一項乘以 6。

步驟 1：乘以 LCM (6)。

\[6 \times \left(\frac{x}{2}\right) + 6 \times \left(\frac{x}{3}\right) = 6 \times 5\]

步驟 2：化簡（消去分母）。

\(6 \div 2 = 3\)，所以第一項變成 \(3x\)。
\(6 \div 3 = 2\)，所以第二項變成 \(2x\)。

方程變為：

\[3x + 2x = 30\]

步驟 3：求解。

\[5x = 30\]