Statistical measures

歡迎來到統計測度！

你好！本章將帶領你認識並總結數據。無論你是在分析考試分數、溫度記錄還是銷售數字，掌握統計測度的計算方法，都能幫你揭示隱藏在數字背後的訊息。

如果統計學對你來說有點抽象，不用擔心！我們將會把每一個概念——例如計算「平均值」或測量「離散程度」——拆解成簡單且實用的步驟。讓我們開始吧！

我們將涵蓋的內容：

• 三個主要的平均數：平均數 (Mean)、中位數 (Median) 和眾數 (Mode)（集中趨勢的測度）。
• 數據的分散程度：全距 (Range)（離散程度的測度）。
• 從原始數據列表、頻數分佈表以及分組數據中計算這些測度。

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1. 集中趨勢的測度（平均數）

集中趨勢的測度是描述一組數據中心位置或典型數值的數值。我們通常稱這些為「平均數」。

1.1. 眾數 (Mode)：出現次數最多

眾數 是最容易找到的平均數！它就是數據集中出現 最頻繁 的數值。

• 關鍵規則： 找出頻數（次數）最高的項目。
• 一組數據可能有一個眾數（單峰）、多於一個眾數（雙峰、多峰），如果每個數值都只出現一次，則該組數據沒有眾數。

例子： 一組學生提供的幸運數字：3, 5, 2, 5, 1, 9, 5, 3。
數字 5 出現了三次，比其他任何數字出現的次數都多。
眾數是 5。

記憶小撇步： MOde (眾數) 就是出現 MOst Often (最頻繁) 的數。

1.2. 中位數 (Median)：中間數值

中位數 是將所有數據點按順序排列（由小到大，或由大到小）後，位於中間的數值。

步驟 1：排列數據。 這是最關鍵的一步！
步驟 2：找出位置。 使用以下位置公式：
\[\text{位置} = \frac{n + 1}{2}\]
其中 \(n\) 是數據點的總數。

情況 1：數據點個數為奇數
如果 \(n\) 是奇數，位置公式會得到一個整數，該整數就是中位數的位置。
例子： 4, 1, 7, 2, 8。(\(n=5\))
1. 排列：1, 2, 4, 7, 8
2. 位置：\(\frac{5 + 1}{2} = 3\)。第 3 個數值就是中位數。
中位數是 4。

情況 2：數據點個數為偶數
如果 \(n\) 是偶數，位置公式會得到一個以 .5 結尾的數。這意味著中位數正好位於中間兩個數值的正中央。你必須計算這兩個中間數值的平均值。
例子： 1, 2, 4, 7, 8, 10。(\(n=6\))
1. 排列：（已排列）
2. 位置：\(\frac{6 + 1}{2} = 3.5\)。這意味著中位數位於第 3 個數值 (4) 和第 4 個數值 (7) 的正中間。
3. 計算 4 和 7 的平均值：\(\frac{4 + 7}{2} = \frac{11}{2} = 5.5\)。
中位數是 5.5。

常見錯誤： 忘記先排列數據！如果你不先排序就直接找中間數，答案會是錯的。

1.3. 平均數 (Mean)：計算出來的平均值

平均數（通常直接稱為「平均值」）是所有數值的總和除以數據的個數。當準確性很重要時，這是最常用的統計測度。

平均數 (\(\bar{x}\)) 的公式為：
\[\text{平均數 } (\bar{x}) = \frac{\text{所有數值的總和}}{\text{數據的個數}}\]
數學符號表示：
\[\bar{x} = \frac{\sum x}{n}\]
（符號 \(\sum\) 意指「總和」。）

例子： 求 2, 4, 5, 9 的平均數。(\(n=4\))
1. 總和：\(2 + 4 + 5 + 9 = 20\)
2. 相除：\(\frac{20}{4} = 5\)
平均數是 5。

你知道嗎？ 平均數容易受 極端值 (outliers)（遠大於或遠小於其餘數據的數值）影響，而中位數則不受影響。

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2. 離散程度的測度（數據的分散程度）

平均數告訴你數據的中心位置，而離散程度的測度則告訴你數據有多 分散。

2.1. 全距 (Range)

全距 是最簡單的離散程度測度，它代表數據集中最大值與最小值之間的差。

\[\text{全距} = \text{最大值} - \text{最小值}\]

例子： 一次考試的分數分別是 15, 22, 18, 30, 7。
最大值 = 30
最小值 = 7
全距 = \(30 - 7 = 23\)。

全距越大，代表數據越分散；全距越小，代表數據越集中。

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3. 從頻數分佈表計算測度

通常數據會以 頻數分佈表 (frequency table) 呈現，顯示每個數值出現的次數。這會使計算方法略有不同，特別是平均數。

設 \(x\) 為數值（例如：兄弟姊妹數量、鞋碼），\(f\) 為頻數（出現的次數）。

3.1. 從離散頻數分佈表計算平均數

在使用頻數表時，你不能直接把 \(x\) 欄的所有數值相加除以個數，因為頻數代表某些數值重複出現了多次。

計算平均數的步驟：

1. 計算 \(f \times x\)： 每一行將數值 (\(x\)) 乘以其頻數 (\(f\))，這會得出該行數據的總貢獻值。
2. 找出總頻數 (\(\sum f\))： 將頻數欄的所有數字相加，這就是數據的總個數 (\(n\))。
3. 找出總數值 (\(\sum fx\))： 將 \(f \times x\) 欄的所有數值相加。
4. 相除： 使用公式：
   \[\text{平均數} = \frac{\sum (f \times x)}{\sum f}\]

例子： 下表顯示了學生的考試分數 (x) 以及取得該分數的人數 (f)。

分數 (x)	頻數 (f)	f x x
2	3	6
5	7	35
10	2	20

總頻數 (\(\sum f\)) = \(3 + 7 + 2 = 12\)
總分 (\(\sum fx\)) = \(6 + 35 + 20 = 61\)
平均數 = \(\frac{61}{12} \approx 5.08\)

3.2. 從離散頻數分佈表找眾數和中位數

眾數：
直接找出 最高頻數 (f) 的那一列，該列對應的數值 (\(x\)) 就是眾數。
（在上例中，最高頻數是 7，對應的分數是 5。眾數 = 5。）

中位數：
1. 計算位置：\(\text{位置} = \frac{\sum f + 1}{2}\)。
2. 使用頻數的累計總和，找出中位數位置落在哪個數值 (\(x\)) 上。
如果 \(\sum f = 12\)，位置 = \(\frac{12 + 1}{2} = 6.5\)。你需要找出第 6 個數據與第 7 個數據之間的值。
第 1, 2, 3 個數據是 2。
第 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 個數據是 5。
第 6 和第 7 個數據都是 5。因此，中位數是 5。

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4. 處理分組頻數數據（估算）

有時數據會被分組為不同的區間（例如：0-10, 11-20）。當數據分組後，我們失去了個別的原始數值。因此，我們只能 估算 平均數。

4.1. 估算平均數

要從分組頻數表估算平均數，我們假設區間內的所有數值都位於該區間的 組中點 (midpoint)。

估算平均數的步驟：

1. 找出組中點 (\(m\))： 計算每個區間的中間值。
   \[\text{組中點 } (m) = \frac{\text{下限} + \text{上限}}{2}\]
2. 計算 \(f \times m\)： 將頻數 (\(f\)) 乘以組中點 (\(m\))。這是該組總數值的估算值。
3. 找出總頻數 (\(\sum f\)) 和總估算數值 (\(\sum fm\))。
4. 相除： 使用估算公式：
   \[\text{估算平均數} = \frac{\sum (f \times m)}{\sum f}\]

例子： 若一個區間是 10 到 20：
組中點 \(m = \frac{10 + 20}{2} = 15\)。你將使用 15 作為該組的代表數值 (\(x\))。

類比： 想像一下，如果你只知道十個箱子每個重 5 公斤到 15 公斤之間，要估算總重量，最好的假設就是它們每個都重 10 公斤（組中點）。

4.2. 眾數組與中位數組

處理分組數據時，我們找出的是 眾數組 (Modal Class) 而不是確切的眾數。

• 眾數組： 擁有 最高頻數 (f) 的區間。
• 中位數組： 包含中位數位置 (\(\frac{\sum f}{2}\)) 的區間。你可以通過檢查頻數累計總和何時跨過中位數位置來確定。

注意： 你 無需 從分組頻數表中求出確切的中位數值（這需要插值法），只需找出它所在的區間即可。

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5. 關鍵技巧總結

複習計算流程

為了確保你能攻克所有關於統計測度的題目，請使用以下清單：

• 原始數據 (列表)：
  • 平均數：總和 / 個數。
  • 中位數：排列數據，找出中間位置 \(\frac{n+1}{2}\)。
  • 眾數：計算頻數。
  • 全距：最大值 - 最小值。
• 頻數分佈表 (離散)：
  • 平均數：計算 \(\sum fx\)，除以 \(\sum f\)。
  • 中位數：找出位置 \(\frac{\sum f + 1}{2}\) 並查看對應的 \(x\)。
  • 眾數：最高頻數 \(f\) 對應的 \(x\)。
• 分組頻數表：
  • 平均數：估算！使用組中點 \(m\)，計算 \(\sum fm\)，除以 \(\sum f\)。
  • 眾數組：頻數 \(f\) 最高的區間。

恭喜！你現在已經掌握了總結、分析和傳達數據集中最重要特徵的工具。繼續練習這些步驟，特別是使用 \(f \times x\) 計算平均數，很快你就能精通這一章了！