Algebra

歡迎來到代數：數學的語言！

你好！別擔心，如果「代數」這個詞讓你覺得頭昏腦脹，請放心。代數其實就是我們用來解謎題的一種語言，透過字母（稱為變數）來描述數量關係，而不僅僅是使用數字。這就像是在學習一套能解開高等數學奧秘的密碼！

在本章中，我們將拆解 Specification B 中所涵蓋的核心代數技巧，確保每一個步驟——從簡化基本算式到解複雜的二次方程式——都清晰易懂。讓我們開始吧！

1. 代數基礎：簡化與代入

1.1 認識項與代數式

代數式 (Expression) 是一個包含數字、變數及運算符號（如 +, -, x, /）的數學短語。它沒有等號（例如：\(3x^2 - 5y + 1\)）。

項 (Term) 是代數式中被加號或減號隔開的個別部分（例如：在 \(3x^2 - 5y + 1\) 中，各項分別為 \(3x^2\)、\(-5y\) 及 \(1\)）。

1.2 簡化代數式（合併同類項）

你只能加減同類項 (Like terms)。這代表它們必須擁有完全相同的字母（變數），且這些字母的冪次（指數）也必須相同。

比喻：想像 'x' 項是蘋果，'y' 項是香蕉。你不能把蘋果和香蕉加在一起！

例題： 簡化 \(5a + 3b - 2a + 7\)

步驟 1：找出同類項。
('a' 項有 \(5a\) 和 \(-2a\))。
('b' 項有 \(3b\))。
(數字項為 \(7\))。

步驟 2：合併它們。
\(5a - 2a = 3a\)
結果：\(3a + 3b + 7\)（這已經不能再簡化了！）

1.3 代入法

代入法是指將給定的數字替換掉代數式中的變數（字母）。當代入負數時，請務必使用括號，以避免符號計算錯誤。

例題： 若 \(x = 4\) 且 \(y = -2\)，求 \(P = 3x - y^2\) 的值。

步驟 1：將 \(x\) 換成 \(4\)，\(y\) 換成 \(-2\)。
\(P = 3(4) - (-2)^2\)

步驟 2：利用運算次序（BIDMAS/BODMAS）進行計算。
\(P = 12 - (4)\) （記住：\((-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4\)
\(P = 12 - 4\)
\(P = 8\)

小貼士：代數就是有組織的計數！只有完全吻合的項（相同的字母、相同的冪次）才能合併。代入法只不過是小心謹慎的替換過程。

2. 展開括號（乘法）

展開的意思是透過乘法運算將括號去掉。我們使用分配律 (Distributive Law)：括號外面的每一項都必須與括號內的每一項相乘。

2.1 單個括號

將括號外的項乘以括號內的每一項。請務必留意負號！

例題： 展開 \(3(2x - 5)\)
\(3 \times 2x = 6x\)
\(3 \times (-5) = -15\)
結果：\(6x - 15\)

含負數的例題： 展開 \(-4(y - 3)\)
\(-4 \times y = -4y\)
\(-4 \times (-3) = +12\) （負負得正！）
結果：\(-4y + 12\)

2.2 雙重括號（兩個二項式的乘積）

當你相乘兩個括號時，必須確保第一個括號中的每一項都與第二個括號中的每一項相乘。

記憶法：FOIL
這個口訣能幫助你記住形如 \((a+b)(c+d)\) 的括號展開所需的四次乘法：

• First：首項相乘
• Outer：外項相乘
• Inner：內項相乘
• Last：末項相乘

例題： 展開 \((x + 2)(x - 5)\)

First (首)：\(x \times x = x^2\)
Outer (外)：\(x \times (-5) = -5x\)
Inner (內)：\(2 \times x = +2x\)
Last (末)：\(2 \times (-5) = -10\)

將四個結果相加：\(x^2 - 5x + 2x - 10\)

步驟 3：簡化同類項 (\(-5x + 2x\))：
結果：\(x^2 - 3x - 10\)

2.3 展開平方括號

如果你看到 \((x+3)^2\)，千萬不要直接寫成 \(x^2 + 9\)。這是一個常見的錯誤！

請記住，平方代表將該項自乘：
\((x+3)^2 = (x+3)(x+3)\)

然後利用 FOIL 法正確展開它！

小貼士：展開就是分配。處理雙重括號時請善用 FOIL，並記得合併中間的項以簡化最終答案。

3. 因式分解 (Factorisation)

因式分解是展開的逆運算。我們的目標是將括號重新放回算式中。

3.1 提取公因子 (Highest Common Factor, HCF)

找出能整除所有項的最大數字及/或最高次冪的變數。這個公因子會放在括號外面。

例題： 分解 \(6x^2 + 15x\)

步驟 1：找出 6 和 15 的 HCF。是 3。
步驟 2：找出 x 的公有冪次。最低冪次是 \(x^1\)。
總公因子為 \(3x\)。

步驟 3：將原算式的每一項除以公因子：
\(6x^2 \div 3x = 2x\)
\(15x \div 3x = 5\)

結果：\(3x(2x + 5)\)

小撇步：展開它來驗算！\(3x(2x+5) = 6x^2 + 15x\)。沒錯！

3.2 二次三項式的因式分解 (\(x^2 + bx + c\))

我們需要找出兩個數字：

1. 相乘等於常數項 (\(c\))。
2. 相加/相減等於中間項係數 (\(b\))。

例題： 分解 \(x^2 + 6x + 8\)
我們需要找兩個數，相乘得 8，相加得 6。

8 的因數有：(1, 8), (2, 4)。
哪一組相加得 6？是 2 和 4。

結果：\((x + 2)(x + 4)\)

3.3 平方差公式 (Difference of Two Squares, DOTS)

這是一個特別且快速的方法。如果你看到一個平方項減去另一個平方項，其因式分解結果永遠符合以下規律：

規則： \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

例題： 分解 \(x^2 - 49\)
這就是 \(x^2 - 7^2\)。
結果：\((x - 7)(x + 7)\)

小貼士：因式分解時先找 HCF。處理二次方程式時，符號是關鍵：如果最後一項 (c) 是負的，你的括號內將會是一個加號和一個減號。

4. 解方程式與不等式

解方程式（含有等號 \(=\)）的目標是將變數分離在等號的一側。

4.1 解線性方程式

使用「平衡法」。你對等號一側做的任何運算，都必須對另一側做同樣的動作。你基本上是在「逆向操作」，讓變數獨立出來。

例題： 解 \(5x - 3 = 17\)

1. 等號兩邊同時加 3 (抵銷 -3)：
   \(5x = 17 + 3\) -> \(5x = 20\)
2. 等號兩邊同時除以 5 (抵銷乘法)：
   \(x = 20 / 5\)
3. 結果：\(x = 4\)

4.2 解二次方程式

二次方程式的最高冪次是 \(x^2\)，且必須整理為 \(ax^2 + bx + c = 0\)。通常你會得到兩個 \(x\) 的解。

方法 A：因式分解

如果可以因式分解，將分解後的每個括號分別設為零。

例題： 解 \(x^2 - 3x - 10 = 0\)

1. 因式分解（找兩個數相乘得 -10，相加得 -3：-5 和 +2）：
   \((x - 5)(x + 2) = 0\)
2. 將每個括號設為零並解出 \(x\)：
   \(x - 5 = 0\) 或 \(x + 2 = 0\)
3. 結果：\(x = 5\) 或 \(x = -2\)

方法 B：二次方程式公式法

如果你無法因式分解，或者題目要求精確到特定位數（例如：3 位有效數字），請使用公式。

公式： \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] 別擔心！這個公式通常會在考試卷中提供。只要在代入 \(a\)、\(b\)、\(c\) 的值時小心即可。

4.3 聯立方程式（同步求解）

我們利用兩個含有兩個未知數（如 \(x\) 和 \(y\)）的方程式，找出同時滿足兩者的唯一解。

方法 A：消去法 (通常較簡單)

透過乘法調整其中一個或兩個方程式，使得某一變數（\(x\) 或 \(y\)）的係數相同，然後透過相加或相減來消去該變數。

例題設定： \begin{align*} 3x + y &= 7 \quad (1) \\ x + y &= 3 \quad (2) \end{align*} 由於 \(y\) 的係數相同，將 (1) 減去 (2)：
\((3x - x) + (y - y) = (7 - 3)\)
\(2x = 4\)
\(x = 2\)
將 \(x=2\) 代回 (2)：\(2 + y = 3\)，得到 \(y = 1\)。
解：\(x=2\)，\(y=1\)。

4.4 解線性不等式

解不等式 (\(<, >, \le, \ge\)) 的過程與解方程式完全一樣，只有一個關鍵例外。

黃金法則：如果你將不等式兩邊同時乘以或除以一個負數，你必須反轉不等號方向。

例題： 解 \(-2x + 1 > 7\)

1. 兩邊減 1：
   \(-2x > 6\)
2. 除以 -2 並反轉符號：
   \(x < 6 / -2\)
3. 結果：\(x < -3\)

小貼士：解方程式用平衡法（或公式法）。解不等式也用平衡法，但記得如果乘或除以負數，一定要翻轉符號。

5. 代數分數

處理代數分數與處理數字分數的法則完全相同。

5.1 簡化代數分數

要簡化分數，必須先將分子（上）和分母（下）進行因式分解，然後消去公因子。注意，被加減號隔開的項不能直接抵消！

例題： 簡化 \(\frac{x^2 + 2x}{x^2 - 4}\)

1. 分解分子 (HCF)：\(x(x + 2)\)
2. 分解分母 (DOTS)：\((x - 2)(x + 2)\)
3. 重寫分數：\(\frac{x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}\)
4. 消去公因子 \((x + 2)\)：
5. 結果：\(\frac{x}{x - 2}\)

5.2 代數分數的加減法

就像數字一樣，你需要找到公分母 (Common Denominator)。

例題： 簡化 \(\frac{2}{x} + \frac{3}{y}\)

步驟 1：公分母為 \(xy\)。

步驟 2：調整分數：
\(\frac{2 \times y}{x \times y} + \frac{3 \times x}{y \times x}\)
\(= \frac{2y}{xy} + \frac{3x}{xy}\)

步驟 3：合併分子：
結果：\(\frac{2y + 3x}{xy}\)

你知道嗎？代數處理技巧在物理和工程學中至關重要，因為現實世界中許多複雜的關係都是透過代數分數和變數來建模的！

小貼士：簡化前先進行因式分解！在做加減法時，找到公分母後再合併分子。

6. 函數與數列

6.1 認識函數記號

函數是一種連結輸入值 (\(x\)) 與輸出值的規則。我們通常記作 \(f(x)\) 或 \(g(x)\)。

比喻：函數是一台機器。你放入輸入值 (x)，機器按照規則處理，最後產生輸出值 \(f(x)\)。

例題： 如果函數定義為 \(f(x) = 5x - 3\)，求 \(f(4)\)。

我們將 \(x=4\) 代入規則：
\(f(4) = 5(4) - 3\)
\(f(4) = 20 - 3\)
結果：\(f(4) = 17\)

6.2 尋找反函數 (\(f^{-1}(x)\))

反函數的作用是將原函數所做的事情「倒轉」過來。

尋找 \(f^{-1}(x)\) 的步驟：

1. 將 \(f(x)\) 替換為 \(y\)。 (例如：\(y = 5x - 3\))
2. 對調 \(x\) 和 \(y\)。 (例如：\(x = 5y - 3\))
3. 重新整理方程式，讓 \(y\) 成為主項（分離 \(y\)）。
   \(x + 3 = 5y\)
   \(y = \frac{x + 3}{5}\)
4. 將 \(y\) 換回 \(f^{-1}(x)\)。
   結果：\(f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{5}\)

6.3 數列與第 \(n\) 項 (線性數列)

數列是一串遵循特定規律的數字。在 Specification B 中，你需要找出線性數列（相鄰項差值恆定）的規則。這條規則稱為第 \(n\) 項 (n^{th} term)。

規則結構： \(\text{第 } n \text{ 項} = dn + (a - d)\)
其中 \(d\) 為公差 (common difference)，\(a\) 為首項。

例題： 找出數列 5, 8, 11, 14... 的第 \(n\) 項。

1. 找出公差 (\(d\))：數列每次增加 3。所以，\(d = 3\)。
2. 規則以 \(3n\) 開始。（數列 \(3n\) 為 3, 6, 9, 12...）
3. 比較 \(3n\) 與原數列：
   第 1 項：5。規則 \(3(1) = 3\)。差值：\(5 - 3 = 2\)。
4. 將差值加到規則中：\(3n + 2\)。
5. 結果：\(\text{第 } n \text{ 項} = 3n + 2\)

小貼士：函數是輸入輸出規則。反函數則是將輸出變回輸入。對於數列，第 \(n\) 項能幫助你找出數列中的任意一項。

你已經掌握了代數的基礎！請持續練習這些技巧，特別是因式分解與聯立方程式，因為它們是你 Specification B 考試的支柱。你一定做得到的！