歡迎來到數字的世界！

大家好！這一章是你在數學領域幾乎所有學習內容的基礎。如果數字有時讓你感到困惑，請別擔心；我們會將它們拆解成簡單、易於理解的部分。

在 Specification B 的「數字 (Number)」章節中，我們將專注於理解不同類型的數字、它們在乘法運算中的規律、如何處理極大或極小的數字（標準形式），以及確保計算的準確性。掌握這些內容會讓代數和幾何的學習變得輕鬆許多！讓我們開始吧！

第 1 節：數字類型、因數與倍數

1.1 數字的關鍵分類

你需要熟悉數字所屬的不同「家族」：

  • 整數 (Integers)： 沒有小數部分的數字（正數、負數或零）。例子：-3, 0, 5, 100。
  • 有理數 (Rational Numbers)： 可以寫成分數 \(\frac{a}{b}\) 的數字，其中 \(a\) 和 \(b\) 為整數且 \(b \neq 0\)。這包括所有有限小數或循環小數。例子：0.5 (\(\frac{1}{2}\)), 0.333... (\(\frac{1}{3}\)), 4 (\(\frac{4}{1}\))。
  • 無理數 (Irrational Numbers)： 不能寫成簡單分數的數字。它們是無限不循環小數。最著名的例子是 \(\pi\) (Pi) 以及非完全平方數的平方根，如 \(\sqrt{2}\) 或 \(\sqrt{5}\)。
  • 實數 (Real Numbers)： 所有有理數和無理數的總稱。這就是我們日常生活中使用的所有數字。

1.2 質數、最高公因數 (HCF) 與最低公倍數 (LCM)

什麼是質數？

質數 (Prime Number) 是一個大於 1 的整數，且只有兩個因數：1 和它本身。

  • 前幾個質數是：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...
  • 重要事實： 2 是唯一的偶質數！
最高公因數 (HCF) 與最低公倍數 (LCM)

找出 HCF 和 LCM 最簡單的方法（尤其是面對大數字時）就是使用質因數分解 (Prime Factorisation)。

步驟教學：求 HCF 和 LCM（以 12 和 18 為例）

  1. 質因數樹： 將每個數字拆解為質因數的乘積。
    \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\)
    \(18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2\)
  2. 找出 HCF（共同因數）： 將它們「共同擁有」的質因數相乘，取每個共同質因數的最低次方。
    共同因數是 2 和 3。2 的最低次方是 \(2^1\)，3 的最低次方是 \(3^1\)。
    HCF \(= 2 \times 3 = 6\)。
  3. 找出 LCM（所有因數）： 將出現過的「所有」質因數相乘，取每個質因數的最高次方。
    2 的最高次方是 \(2^2\)，3 的最高次方是 \(3^2\)。
    LCM \(= 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)。

核心總結： 質因數分解是你計算 HCF 和 LCM 的最佳幫手。HCF 取共同質因數的最低次方；LCM 則取所有出現過的質因數的最高次方。

第 2 節：指數（冪與根）

指數（或冪）其實就是表示重複乘法的一種簡便寫法。掌握其運算規則至關重要。

2.1 指數定律

假設 \(a\) 和 \(b\) 為非零數字，\(m\) 和 \(n\) 為整數。

  1. 乘法法則： 當底數相同時，相乘則指數相加。
    \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
    例子：\(5^3 \times 5^2 = 5^{3+2} = 5^5\)
  2. 除法法則： 當底數相同時，相除則指數相減。
    \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
    例子：\(7^6 \div 7^2 = 7^{6-2} = 7^4\)
  3. 冪的冪法則： 當一個冪再進行乘方時，指數相乘。
    \((a^m)^n = a^{mn}\)
    例子：\((x^4)^3 = x^{4 \times 3} = x^{12}\)
  4. 零指數法則： 任何非零數字的零次方都等於 1。
    \(a^0 = 1\)
    例子：\(1,000,000^0 = 1\)

2.2 負指數與分數指數

負指數（倒數法則）

負指數意味著你需要取倒數（即將分數翻轉）。

\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)
例子 1：\(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)
例子 2：\(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^1 = \frac{3}{2}\)

記憶小撇步： 指數上的負號代表該數字在當前位置「不開心」，所以它會翻轉到另一邊（從分子變分母，或從分母變分子）來變回正指數！

分數指數（根式法則）

分數指數直接與根號相關。分數的分母是根數，分子則是冪次。

\(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\)
\(a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m\)

例子 1：\(25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5\)
例子 2：\(8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = (2)^2 = 4\)

計算建議： 建議先計算根數部分，這樣數字會變小，更容易處理。

核心總結： 多練習這些定律！負指數會讓底數翻轉，分數指數則代表開根號。

第 3 節：標準形式（科學記數法）

3.1 什麼是標準形式？

標準形式是書寫極大或極小數字的簡便方式，常見於科學領域（因此也稱為科學記數法）。

它永遠遵循格式：\(A \times 10^n\)，其中：

  • \(A\) 是一個介於 1 到 10 之間的數字（必須滿足 \(1 \leq A < 10\)）。
  • \(n\) 是一個整數（10 的冪次）。

3.2 標準形式的轉換

大數字（正指數 \(n\)）

指數 \(n\) 代表小數點為了得到 \(A\) 而移動了多少位。

例子：將 45,000,000 轉換為標準形式。

  1. 找出 A：小數點必須放在第一個非零數字之後。\(A = 4.5\)。
  2. 計算移動位數：小數點從末尾（右側）移動了 7 位，放在 4 和 5 之間。
  3. 結果：\(4.5 \times 10^7\)
小數字（負指數 \(-n\)）

負指數意味著原始數字小於 1。

例子：將 0.0000021 轉換為標準形式。

  1. 找出 A：\(A = 2.1\)。
  2. 計算移動位數：小數點從左側移動了 6 位，放在 2 和 1 之間。
  3. 結果：\(2.1 \times 10^{-6}\)

常見錯誤： 學生有時會忘記 \(A\) 必須小於 10。\(35.2 \times 10^4\) 並「不是」標準形式！它應該修正為 \(3.52 \times 10^5\)。

核心總結： 在標準形式中，第一個數字必須是一位數（在 1 到 9.999... 之間）。正指數代表大數字，負指數代表小數字。

第 4 節：準確度、捨入與估算

4.1 小數位 (DP) 與有效數字 (SF)

進行捨入時必須遵循簡單規則，但具體方法取決於題目要求的是「小數位 (Decimal Places)」還是「有效數字 (Significant Figures)」。

捨入規則
  1. 確定你要捨入到的位數。
  2. 觀察該位數右側緊鄰的一位（決定位）。
  3. 如果決定位是 5 或以上（5, 6, 7, 8, 9），則無條件進位。
  4. 如果決定位是 4 或以下（0, 1, 2, 3, 4），則保持不變（無條件捨去）。
小數位 (DP)

DP 只計算小數點「之後」的數字位數。

例子：將 34.1748 捨入到 2 位小數。
目標數字是 7，決定位是 4（捨去）。
結果：34.17

有效數字 (SF)

SF 從第一個非零數字開始計數，從左到右依次計算。

  • 開頭的零（0.00...）是「無效」的。
  • 非零數字之間的零是「有效」的（例如 305）。

例子：將 0.04508 捨入到 3 位有效數字。

  1. 第一個有效數字是 4。
  2. 第二個是 5。
  3. 第三個是 0（因為它在 5 和 8 之間，所以有效）。
  4. 決定位是 8（進位）。
    結果：0.0451

例子：將 23,871 捨入到 1 位有效數字。
目標是 2，決定位是 3（捨去）。我們必須用零作為佔位符以保持數值大小。
結果：20,000

4.2 估算

估算是指快速計算出接近真實答案的數值。標準做法是在計算前，將每個數字捨入到 1 位有效數字 (1 SF)。

例子：估算 \(\frac{7.9 \times 403}{19.5}\) 的值

  • 7.9 捨入到 1 SF：8
  • 403 捨入到 1 SF：400
  • 19.5 捨入到 1 SF：20
  • 估算計算：\(\frac{8 \times 400}{20} = \frac{3200}{20} = 160\)

核心總結： SF 從第一個非零位開始計數，DP 從小數點後開始計數。估算時將所有數字都處理為 1 SF 再計算。

第 5 節：分數、小數與百分比 (FDP)

5.1 轉換

你需要能夠在三種形式之間流暢轉換。

  • 分數轉小數： 分子除以分母。(\(\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75\))
  • 小數轉百分比： 乘以 100。(0.75 \(\times 100 = 75\%\))
  • 百分比轉小數： 除以 100。(75\% \div 100 = 0.75\))
  • 小數轉分數： 利用位值轉換。(0.6 = \(\frac{6}{10}\)，約簡為 \(\frac{3}{5}\))

5.2 分數計算

請務必將答案約簡到最簡形式。

  • 加法/減法： 先找公分母，再進行分子運算。
    例子：\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}\)
  • 乘法： 分子乘分子，分母乘分母。如可能，先約簡再乘會更簡單！
    例子：\(\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}\)
  • 除法： 保留第一個分數，將除號改為乘號，並將第二個分數翻轉（即「乘倒數」）。
    例子：\(\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

5.3 百分比變化與反向百分比

百分比增加/減少

使用乘數 (Multipliers) 可以進行快速計算。

  • 增加 15%：乘數為 \(1 + 0.15 = 1.15\)。
  • 減少 20%：乘數為 \(1 - 0.20 = 0.80\)。

例子：計算一件 $400 的商品在 10% 增值稅後的價格。
\(400 \times 1.10 = \$440\)

反向百分比（「逆向思考」技巧）

這是指已知變化後的總額，要求原始金額。

規則： 最終金額 \(\div\) 乘數 = 原始金額。

例子：一件外套折扣 20% 後價格為 $120。請問原價是多少？

  1. 新價格 ($120) 代表原價的 \(100\% - 20\% = 80\%\)。
  2. 乘數是 0.80。
  3. 原價 = \(120 \div 0.80 = \$150\)。

核心總結： 加減法找公分母；除法乘倒數；百分比變化使用乘數最快速。

第 6 節：比例與比率

6.1 比率

比率用於比較數量的多少。比率應始終化簡為最簡單的整數比。

按比率分配數量

例子：將 $70 按 3:2 的比率分配。

  1. 找出總份數： \(3 + 2 = 5\) 份。
  2. 找出每份價值： \(70 \div 5 = \$14\) 每份。
  3. 分配：
    第一個人：\(3 \times 14 = \$42\)
    第二個人：\(2 \times 14 = \$28\)

6.2 比例

正比例

若兩個數量成正比例 (Direct Proportion)，當一個量增加時，另一個量也會按相同速率增加。（如果你買的蘋果數量翻倍，價格也會翻倍。）

通常可以使用單位法（找出 1 個單位的數值）來解決。

例子：若 3 支鉛筆賣 $1.50，7 支鉛筆要多少錢？

  1. 找出 1 支的價格：\(1.50 \div 3 = \$0.50\)
  2. 找出 7 支的價格：\(7 \times 0.50 = \$3.50\)
反比例

若兩個數量成反比例 (Inverse Proportion)，當一個量增加時，另一個量會減少。（如果你將工人數量翻倍，完成工作的時間就會減半。）

規則： 總量（兩個數值的乘積）保持不變。

例子：4 名工人花 6 小時刷完一道牆。如果只有 3 名工人，需要多久？

  1. 總工作量（以工人-小時為單位）：\(4 \times 6 = 24\) 工人-小時。
  2. 將總工作量除以新的工人數量：\(24 \div 3 = 8\) 小時。

需要更長時間（8 小時）因為工作人數減少了。

核心總結： 正比例同步增減，反比例一增一減。

第 7 節：上下界（誤差區間）

當測量結果經過捨入時，我們需要了解原始真實值的可能範圍。這個範圍由下界 (Lower Bound, LB) 和上界 (Upper Bound, UB) 定義。

7.1 計算單個數值的上下界

如果數字捨入到某個「單位」（如最近的 10、最近的 0.1 或最近的整數），誤差就是該單位的一半。

誤差 = \(\frac{1}{2}\) \(\times\) 精確度

  • 下界 (LB)： 捨入後的數值 - 誤差
  • 上界 (UB)： 捨入後的數值 + 誤差

例子：長度 \(L\) 為 15 cm，捨入到最近的 cm。

  1. 精確度 = 最近的 1 cm。誤差 = \(1 \div 2 = 0.5\) cm。
  2. LB：\(15 - 0.5 = 14.5\) cm。
  3. UB：\(15 + 0.5 = 15.5\) cm。

真實值 \(L\) 的區間為：\(14.5 \leq L < 15.5\)。注意：上界通常記為「小於」，因為 15.5 本身會進位成 16 而不是 15。

7.2 帶有區間的計算

在處理兩個或多個捨入值（A 和 B）的計算時，必須運用上下界來找出結果的最大和最小值。

運算 找出最大結果 (Max) 找出最小結果 (Min)
加法 (A + B) Max A + Max B Min A + Min B
減法 (A - B) Max A - Min B Min A - Max B
乘法 (A \(\times\) B) Max A \(\times\) Max B Min A \(\times\) Min B
除法 (A \(\div\) B) Max A \(\div\) Min B Min A \(\div\) Max B

類比： 要得到最大的除法結果，你需要最大的分子除以最小的分母。

例子： \(A = 50\) (最近 10)，\(B = 5\) (最近整數)。求 \(A \div B\) 的最大值。

  • A 的界：LB = 45, UB = 55
  • B 的界：LB = 4.5, UB = 5.5
  • Max \(A \div B\) = Max A \(\div\) Min B = \(55 \div 4.5 \approx 12.22\)

核心總結： 誤差是測量單位的一半。記得上界通常取「小於」。進行複雜計算時，策略性混合 Max 和 Min 的值（尤其是減法和除法）是關鍵。