Trigonometry

歡迎來到三角學的世界！

你好，未來的數學家！本章節——三角學 (Trigonometry)（通常簡稱為 "Trig"），是幾何學中最實用且最有趣的領域之一。如果那些長長的名稱讓你感到困惑，請別擔心；我們基本上只是在學習如何運用簡單的比例，來找出三角形中缺失的邊長和角度。

三角學被測量師、建築師、導航員，甚至是電子遊戲設計師廣泛運用！準備好深入了解如何不爬上去就能測量摩天大樓的高度了嗎？我們出發吧！

1. 直角三角形三角學：SOH CAH TOA

三角學始於直角三角形（含有 90° 角的三角形）。在運用任何公式之前，我們需要根據我們感興趣的角度（\(\theta\)）來正確標記各邊。

標記三角形

每一條邊都有一個特定的名稱：

• 斜邊 (Hypotenuse, H)：永遠是最長的一邊，且永遠位於直角 (90°) 的對面。
• 對邊 (Opposite, O)：位於你所使用的角度 \(\theta\) 的對面。
• 鄰邊 (Adjacent, A)：位於角度 \(\theta\) 旁邊（毗鄰）的邊。（它幫助構成了這個角，但不是斜邊）。

小貼士：如果你移動了 \(\theta\)，對邊和鄰邊的位置會互換！但斜邊保持不變。

三個關鍵比例 (SOH CAH TOA)

這三個比例將直角三角形的角度與其邊長聯繫起來。

必須記住的口訣是：SOH CAH TOA

SOH	Sine \(\theta\)	=	Opposite / Hypotenuse	\(\sin \theta = \frac{O}{H}\)
CAH	Cosine \(\theta\)	=	Adjacent / Hypotenuse	\(\cos \theta = \frac{A}{H}\)
TOA	Tangent \(\theta\)	=	Opposite / Adjacent	\(\tan \theta = \frac{O}{A}\)

步驟拆解：尋找缺失的邊長

每次請遵循以下三個步驟：

1. 標記：根據給定的角度，將邊標記為 O、A 和 H。
2. 選擇：選擇包含你已知邊和你想求出邊的比例（SOH、CAH 或 TOA）。
3. 計算：重組方程式並解出未知邊。

例子：如果你知道對邊 (O) 並想求出斜邊 (H)，你必須使用 SOH (Sine)。

步驟拆解：尋找缺失的角度

如果你知道兩條邊並想求出缺失的角度 (\(\theta\))：

1. 標記：根據缺失的角度 \(\theta\) 標記邊 O、A 和 H。
2. 選擇：選擇包含你已知那兩條邊的比例（SOH、CAH 或 TOA）。
3. 使用反三角函數：要隔離 \(\theta\)，你必須在計算機上使用反三角函數：\(\sin^{-1}\)、\(\cos^{-1}\) 或 \(\tan^{-1}\)。

常見錯誤警示：學生經常會忘記使用反函數按鍵！如果你是在找角度，你一定要使用計算機上的 Shift 或 Second 功能鍵（例如 \(\cos^{-1}\)）。

2. 仰角與俯角

這些是解決實際三角學問題（例如計算旗桿高度）的必備術語。這兩個角都是從水平視線開始測量的。

仰角 (Angle of Elevation)

想像你正向前看（水平線）。仰角是從水平線向上測量，以觀看某個物體（例如鳥兒或建築物頂端）的角度。

俯角 (Angle of Depression)

俯角是從水平線向下測量，以觀看某個物體（例如從懸崖上觀看一艘船）的角度。

重要關聯：如果你站在懸崖 (A) 上看著船 (B)，從 A 到 B 的俯角永遠等於從 B 到 A 的仰角。為什麼？因為頂部的水平線與地面平行，形成了一個 Z 字形！（錯角相等）。

3. 正弦定理 (The Sine Rule)

如果三角形不是直角三角形該怎麼辦？別慌！我們有兩個特殊的工具：正弦定理和餘弦定理。

什麼時候使用正弦定理？

當你有一個「配對」資訊時，就使用正弦定理。這意味著你知道一個角及其直接對應的邊。
你通常需要知道：

• 兩角一邊 (AAS 或 ASA)
• 兩邊及其中一邊的對角 (SSA)

正弦定理公式

為了簡化，我們用大寫字母 (A, B, C) 標記頂點（角度），並用相應的小寫字母 (a, b, c) 標記它們對面的邊。

求邊長的公式： \[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

求角度的公式： \[\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\] 記憶小撇步：如果你要找邊，就把邊 (a, b, c) 放在分子；如果你要找角度，就把正弦值 (\(\sin A\), \(\sin B\), \(\sin C\)) 放在分子！

步驟拆解：使用正弦定理

1. 找出已知配對：找到一組互為對角且邊長已知的組合。
2. 建立方程式：將已知的配對等於需要求出的未知配對。（例如 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\)）。
3. 求解：重組方程式以求出未知邊或角度。如果是求角度，記得最後一步要使用反三角函數 (\(\sin^{-1}\))！

4. 餘弦定理 (The Cosine Rule)

當正弦定理派不上用場時，餘弦定理就是你的救星。它雖然稍微長一點，但非常可靠！

什麼時候使用餘弦定理？

在以下兩種特定情況下使用餘弦定理（當你沒有一整組完整的對角對邊時）：

• 情況 1（求邊長）：你知道兩條邊及其夾角 (SAS)。夾角就是兩條已知邊之間的那個角。
• 情況 2（求角度）：你知道三條邊 (SSS)。

餘弦定理公式

A. 尋找缺失邊長 (已知 SAS)

已知邊 b 和 c 及其夾角 A，求邊 a： \[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\] 類比：這看起來很像畢氏定理 (\(a^2 = b^2 + c^2\))，但多了一個修正項 (\(- 2bc \cos A\))，用來校正這不是直角三角形的情況。

B. 尋找缺失角度 (已知 SSS)

這個公式其實是上面公式的變形。當你知道三邊長度並想要求出其中一個角（例如角 A）時使用。 \[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\] 給同學的小建議：記得你要求的是哪一個角的角度，那個角對應的邊 (\(a\)) 就要在最後減去 (\(- a^2\))。

別忘了：算出 \(\cos A\) 的值後，必須使用反函數 \(\cos^{-1}\) 才能得到真正的角度 A！

5. 計算三角形面積

你可能記得簡單的面積公式：面積 = \(\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}\)。但在三角學問題中，垂高往往是未知的。

幸運的是，只要你知道兩邊及其夾角 (SAS)，有一個使用正弦函數的簡單公式，適用於任何三角形。

面積公式（使用正弦）

如果你有邊 a 和 b，以及夾角 C： \[\text{面積} = \frac{1}{2} ab \sin C\]

黃金法則：你使用的角度 (C) 必須是所選兩邊 (a 和 b) 之間的夾角。

例子：如果你知道兩邊分別為 4 cm 和 5 cm，且它們之間的夾角為 30°，則面積為 \(\frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin 30\)。