Vectors and transformation geometry

學習筆記：向量與變換幾何

歡迎來到向量與變換幾何的奇妙世界！如果這一章初看覺得有點棘手，別擔心；它其實全都是關於移動、位置和方向——這些都是你每天都在使用的概念。透過理解向量和變換，你將能夠精確地描述物體如何移動和改變形狀。讓我們開始探索吧！

1. 理解向量：數學界的 GPS

向量 (Vector) 本質上是一組指令，告訴你如何從一個點移動到另一個點。它包含兩個基本要素：

• 量值 (Magnitude)： 移動多少（距離）。
• 方向 (Direction)： 往哪個方向移動。

類比：如果你告訴朋友向東走 3 米，你就是在給他們一個向量！

1.1 向量記法（列向量）

在坐標系中，我們通常使用列向量 (Column vector) 記法。這顯示了在 x 方向（水平）和 y 方向（垂直）上的移動。

一個向右移動 3 個單位、向上移動 4 個單位的向量 \(\mathbf{a}\) 寫作：

\(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\)

• 上方數字是 x 方向的移動（正數代表向右，負數代表向左）。
• 下方數字是 y 方向的移動（正數代表向上，負數代表向下）。

關鍵詞：位移向量 (Displacement Vector)
如果點 A 的坐標為 \((x_1, y_1)\)，點 B 的坐標為 \((x_2, y_2)\)，則向量 \(\vec{AB}\)（從 A 到 B 的位移）可透過相減坐標得出：

\(\vec{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a} = \begin{pmatrix} x_2 - x_1 \\ y_2 - y_1 \end{pmatrix}\)

1.2 向量運算

處理向量就像處理坐標一樣——你只需要逐個分量進行計算即可！

向量加法與減法

若 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)：

加法： 分別將 x 分量和 y 分量相加。

\(\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + (-1) \\ 5 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix}\)

減法： 分別將分量相減。

\(\mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ 5 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)

純量乘法 (Scalar Multiplication)

將向量乘以一個數（稱為純量 (Scalar)）會改變其量值，但不會改變其方向（除非純量為負，這會使方向反轉）。

若 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\)，則 \(3\mathbf{a}\) 代表將兩個分量都乘以 3：

\(3\mathbf{a} = 3 \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 2 \\ 3 \times 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 15 \end{pmatrix}\)

平行向量： 如果一個向量是另一個向量的純量倍數，則這兩個向量平行。例如，\(\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) 和 \(\mathbf{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) 是平行的，因為 \(\mathbf{p} = 2\mathbf{q}\)。

1.3 求向量的量值（長度）

向量的量值（或長度）是使用畢氏定理計算的，因為其分量形成了一個直角三角形！

對於向量 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)，其量值（記作 \(|\mathbf{a}|\)）為：

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

例子：求 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}\) 的量值

\(|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

2. 變換幾何：改變位置與形狀

變換 (Transformation) 將形狀上的點（原像 object）映射到新的位置（像 image）。我們重點介紹四種主要類型：

2.1 平移 (Translation，簡單的位移)

平移是一種簡單的滑動，其中每一個點都沿著相同的方向移動相同的距離。它完全由一個向量來描述。

如果點 P \((x, y)\) 經向量 \(\mathbf{t} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\) 平移，新點 P' 為：

\(P' = (x + a, y + b)\)

例子：將點 (2, 5) 經向量 \(\begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) 平移

\(新點 = (2 + (-3), 5 + 1) = (-1, 6)\)

2.2 反射 (Reflection，翻轉)

反射是將形狀沿著一條反射線 (Line of reflection) 翻轉（像鏡子一樣）。

標準鏡像線的關鍵規則：

• 以 x 軸反射 (\(y=0\))： \((x, y) \to (x, -y)\)
• 以 y 軸反射 (\(x=0\))： \((x, y) \to (-x, y)\)
• 以直線 \(y=x\) 反射： \((x, y) \to (y, x)\)（交換坐標）
• 以直線 \(y=-x\) 反射： \((x, y) \to (-y, -x)\)（交換並變號）

常見錯誤警示： 同學常混淆以 x 軸反射（改變 y 符號）和以 y 軸反射（改變 x 符號）。記住：「沿著 x 軸線翻轉，會改變 y 值的正負號。」

2.3 旋轉 (Rotation，轉動)

旋轉是將形狀繞著一個固定點（稱為旋轉中心 center of rotation），以特定的角度和方向（順時針 CW 或逆時針 ACW）進行轉動。

描述旋轉所需的要素：

1. 旋轉中心（通常為原點 (0, 0)）。
2. 角度（例如：90°, 180°, 270°）。
3. 方向（順時針或逆時針）。

旋轉小撇步： 使用描圖紙！將它放在圖形上，將鉛筆尖按在旋轉中心，按要求的角度和方向轉動紙張，然後標記出新位置。

2.4 放大 (Enlargement，縮放)

放大會透過一個固定的放大中心 (Centre of enlargement)，將形狀的尺寸乘以一個比例因子 (Scale factor) \(k\) 來改變其大小。

描述放大所需的要素：

1. 放大中心 (C)。
2. 比例因子 (\(k\))。

比例因子規則：

• 若 \(k > 1\)，像比原像大（放大）。
• 若 \(0 < k < 1\)，像比原像小（縮小）。
• 若 \(k = 1\)，形狀大小不變（恆等變換）。
• 若 \(k\) 是負數（例如 \(k=-2\)），形狀會放大並繞著放大中心翻轉（出現在中心對側）。

繪製放大圖的步驟（中心不在原點時）：
設 C 為中心，P 為物體上的一個點。

1. 找出向量 \(\vec{CP}\)（從 C 到 P 的路徑）。
2. 將此向量乘以比例因子 \(k\)：\(k \times \vec{CP}\)。
3. 從 C 開始，應用新的向量 \(k \times \vec{CP}\) 來找到像點 P'。

你知道嗎？放大是這裡唯一會改變形狀面積的變換。如果比例因子為 \(k\)，則面積比例因子為 \(k^2\)！

3. 矩陣變換（正式方法）

對於 Specification B，你必須了解如何使用 \(2 \times 2\) 矩陣來執行變換。這是定義變換（特別是繞原點的旋轉和反射）的一種精確數學方法。

3.1 變換中矩陣乘法的基礎

矩陣變換將一點 \((x, y)\)（寫作列向量 \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\)），乘以一個 \(2 \times 2\) 的變換矩陣 \(\mathbf{M}\)，從而得到新點 \((x', y')\)。

\(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\)

如何計算：

\(x' = (a \times x) + (b \times y)\)
\(y' = (c \times x) + (d \times y)\)

口訣： 橫行乘直列。

3.2 常見變換矩陣（以原點為中心）

這些矩陣是基礎，你應該熟悉它們，或能透過觀察點 (1, 0) 和 (0, 1) 在變換後的位置來推導出來。

變換	矩陣 \(\mathbf{M}\)
恆等（無變化）	\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
以 x 軸反射 (\(y=0\))	\(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
以 y 軸反射 (\(x=0\))	\(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
旋轉 90° 逆時針 (ACW)	\(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)
旋轉 180° (ACW 或 CW)	\(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)
放大，比例因子 \(k\)	\(\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}\)

練習步驟： 將 90° 逆時針旋轉矩陣乘以點 (5, 2)。你應該得到 (-2, 5)。如果你能想像那個轉動，就代表你掌握矩陣了！

3.3 使用矩陣求面積比例因子

如果一個變換由矩陣 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) 表示，則像的面積與原像面積之比等於該矩陣的行列式 (Determinant)。

\(\mathbf{M}\) 的行列式 (記作 \(|\mathbf{M}|\)) \( = ad - bc\)

像的面積 = 原像面積 \(\times\) \(|\mathbf{M}|\)

注意：面積放大率使用行列式的絕對值，因為面積必須為正。

4. 複合變換 (Combined Transformations)

有時，形狀會經歷一連串的變換，例如先反射再旋轉。這稱為複合變換。

4.1 次序的重要性

執行變換的順序很重要！先反射再旋轉與先旋轉再反射的結果不同。

如果變換 \(T_1\) 後接著執行變換 \(T_2\)，我們記作 \(T_2 T_1\)。你必須先進行 \(T_1\)。

4.2 複合矩陣乘法

若變換 \(T_1\) 由矩陣 \(\mathbf{M}_1\) 表示，\(T_2\) 由 \(\mathbf{M}_2\) 表示，則表示整個複合變換 \(T_2 T_1\) 的單一矩陣 \(\mathbf{R}\)，可透過將矩陣以運算順序的相反方向相乘得出：

\(\mathbf{R} = \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1\)

矩陣組合步驟：

1. 確定第一個變換的矩陣 (\(\mathbf{M}_1\))。
2. 確定第二個變換的矩陣 (\(\mathbf{M}_2\))。
3. 將第二個矩陣乘以第一個矩陣：\(\mathbf{R} = \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1\)。
4. 使用所得的單一矩陣 \(\mathbf{R}\) 找出任何點的最終像。

記憶小幫手： 當合併矩陣時，它們會排在作用對象（點/向量）的左側。由於矩陣乘法是從右向左運算的，最靠近點的矩陣就是先執行的那一個！

4.3 逆變換 (Inverse Transformations)

逆變換 (Inverse transformation) \(T^{-1}\) 會抵消原變換 \(T\) 的效果。例如，如果 T 是 90° 逆時針旋轉，則 \(T^{-1}\) 是 90° 順時針旋轉。

對於矩陣 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，其逆矩陣 \(\mathbf{M}^{-1}\) 為：

\(\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

（其中 \(ad - bc\) 是行列式）。

別被計算逆矩陣的過程嚇到了——只要仔細遵循公式步驟即可！關鍵在於求出行列式，然後將 \(a\) 與 \(d\) 交換，並將 \(b\) 與 \(c\) 變號。