Continuous distributions

單元 S2：統計學 2 - 章節筆記：連續型分佈

歡迎來到連續機率的世界！

你好！這一章是我們學習路程上的一個重大轉折。我們將從離散型分佈（如二項分佈和卜瓦松分佈，用於計算 0、1、2、3... 等具體次數）進入到連續型分佈。連續型分佈處理的是測量值——即在一定範圍內可以取任何數值的變量，例如身高、時間或溫度。

如果聽起來有點深奧，別擔心！我們將會拆解如何在統計情境中應用積分與微分。如果你對微積分很有信心，那你已經領先了一大步；如果沒有，就把它當作磨練微積分技巧的好機會！

核心重點： 在連續型分佈中，我們關注的是機率密度，而不是單一精確數值的機率。

第 1 節：機率密度函數 (PDF)

定義 \(f(x)\)

對於連續型隨機變數 \(X\)，我們定義其機率密度函數 (Probability Density Function, PDF) 為 \(f(x)\)。

比喻： 你可以把 \(f(x)\) 想像成一張地圖，顯示出在每一個點 \(x\) 的機率「密度」有多高。\(f(x)\) 圖形較高的地方，代表該數值出現的可能性較大。

所有 PDF 必須滿足的兩個基本規則

任何函數 \(f(x)\) 要成為合法的 PDF，必須滿足以下兩個條件：

1. 非負性： 密度值永遠不能為負。
   $$f(x) \ge 0 \quad \text{對於所有 } x \text{ 的值}$$
2. 總面積為一： 在整個定義域（所有可能數值的範圍）內的總機率必須等於 1。
   $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$$

   在實務上，積分上下限通常由題目給定的範圍決定（例如：\(\int_{0}^{5} f(x) \, dx = 1\)）。

計算機率

由於我們處理的是密度，隨機變數 \(X\) 落在 \(a\) 和 \(b\) 之間的機率，就是該區間下方的曲線面積。

$$P(a < X < b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

第 2 節：累積分配函數 (CDF)

PDF 告訴我們某一點的機率密度，而累積分配函數 (Cumulative Distribution Function, CDF)，記作 \(F(x)\)，則告訴我們到某一點 \(x\) 為止的總機率。

CDF \(F(x)\) 的定義

CDF 是指隨機變數 \(X\) 小於或等於特定值 \(x\) 的機率。

$$F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$$

（注意：我們在積分內使用 \(t\) 作為變數，以避免與上限 \(x\) 混淆。）

PDF 與 CDF 的關係

既然 CDF 是透過對 PDF 積分得到的，我們也可以反過來，透過微分回到 PDF：

$$f(x) = \frac{d}{dx} F(x)$$

記憶口訣：
F (CDF) 是由 Integrating (積分) \(f(x)\) 得到。
Differentiate (微分) \(F(x)\) 得到 f(x) (PDF)。

使用 CDF 計算機率

一旦你得到了 CDF，計算機率就會比每次都對 PDF 進行積分要快得多。

第 3 節：關鍵統計量

就像離散型分佈一樣，我們需要描述連續型分佈的中心趨勢與離散程度。

1. 期望值（平均數），\(E(X)\)

期望值 \(\mu\) 是變數的長期平均值。對於連續型分佈，公式如下：

$$E(X) = \mu = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx$$

提示：將此與離散型分佈對比，離散型使用加總：\(\sum x P(X=x)\)。在這裡，積分取代了加總，而 \(f(x) \, dx\) 取代了 \(P(X=x)\)。

2. 變異數與標準差

變異數 \(\text{Var}(X)\) 衡量數據相對於平均值的離散程度。我們使用與離散型分佈相同的恆等式：

$$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

要計算 \(E(X^2)\)，我們調整期望值的公式：

$$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \cdot f(x) \, dx$$

標準差 (\(\sigma\)) 就是變異數的平方根。

3. 中位數，\(m\)

中位數 (\(m\)) 是將分佈精確平分為二的值。一半的機率分佈在 \(m\) 以下，另一半在 \(m\) 以上。

要找出中位數，你需要利用 PDF 或 CDF 來解出 \(m\)：

使用 CDF：$$F(m) = 0.5$$ 使用 PDF：$$\int_{-\infty}^{m} f(x) \, dx = 0.5$$

4. 眾數

眾數 是機率密度函數 \(f(x)\) 達到最高點時的 \(x\) 值。它代表了最可能出現的單一結果。

尋找眾數的步驟：

1. 如果 \(f(x)\) 很簡單（例如線性或二次函數），你可以透過觀察（看圖）找到峰值。
2. 如果 \(f(x)\) 較複雜，請使用微分（標準的微積分最佳化方法）：
   a) 求導函數：\(\frac{d}{dx} f(x)\)
   b) 令導函數為零並解出 \(x\)：\(\frac{d}{dx} f(x) = 0\)
   c) 檢查該 \(x\) 值是否在分佈的定義範圍內。

第 4 節：均勻分佈 (Uniform Distribution)

均勻分佈是最簡單的連續型分佈，其機率密度在給定區間內是常數。

如果隨機變數 \(X\) 在區間 \([a, b]\) 上服從均勻分佈，我們記作 \(X \sim U(a, b)\)。

定義 \(U(a, b)\) 的 PDF

PDF 的圖形看起來像一個矩形。由於總面積必須等於 1，高度（常數密度 \(k\)）乘以寬度 (\(b-a\)) 必須等於 1。

$$k \times (b - a) = 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{b-a}$$

因此，PDF 為：

$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{對於 } a \le x \le b \\ 0 & \text{其他情況} \end{cases} $$

在 \(U(a, b)\) 中計算機率

由於分佈是常數，計算機率只需計算矩形面積（矩形面積 = 高 × 寬），通常不需要複雜的積分。

例子：如果巴士在 0 到 10 分鐘內均勻到達，即 \(U(0, 10)\)。高度為 \(1/10\)。你等待 2 到 5 分鐘的機率為 \((5-2) \times (1/10) = 3/10\)。

\(U(a, b)\) 的平均數與變異數

我們可以使用積分公式推導平均數與變異數，但對於均勻分佈，這些簡化公式非常重要，建議直接背下來：

平均數（期望值）： 因為密度對稱，平均數就在正中間。
$$E(X) = \frac{a+b}{2}$$

變異數：
$$\text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$$

你知道嗎？ 分母 12 是均勻分佈獨有的，這有助於你把它與稍後學到的其他公式區分開來！

\(U(a, b)\) 的眾數與中位數

由於在區間 \([a, b]\) 內密度是常數：

• 眾數： 區間 \([a, b]\) 內的所有值都是眾數（我們稱之為多眾數，或是平坦分佈）。
• 中位數： 中位數與平均數相同：\(\frac{a+b}{2}\)。

總結與學習建議

掌握連續型分佈很大程度上取決於你對微分與積分的熟悉程度。如果你覺得題目很棘手，通常是微積分計算出了問題，而不是統計觀念的問題！

繼續練習微積分技巧，你會發現這些統計問題都遵循著可預測的模式。加油！