歡迎來到離散隨機變數的世界！

你好，未來的進階數學家！這一章是你學習以結構化、數字化的方式理解機遇與機率的基礎。雖然統計學聽起來可能很抽象，但離散隨機變數 (Discrete Random Variables, DRVs) 能幫助我們預測和量化結果，這對於從風險評估到博弈論的各個領域來說都是必不可少的。

如果起初覺得有點棘手，不用擔心。 我們只是在學習如何將現實世界中的不確定事件（例如擲骰子或計算次品數量）轉化為易於處理的數學函數。

第 1 節：定義離散隨機變數

1.1 甚麼是隨機變數？

隨機變數 (Random Variable, RV) 簡單來說，就是一個其值由隨機現象的結果決定的變數。我們通常使用大寫字母，如 \(X\)、\(Y\) 或 \(Z\)，來表示隨機變數。

  • 變數所取的觀測值通常用小寫字母表示，例如 \(x\)。因此，\(P(X=x)\) 的意思是「隨機變數 \(X\) 取特定值 \(x\) 的機率」。

1.2 離散型與連續型

在 S1 單元中，我們專注於離散隨機變數 (DRVs)。甚麼是「離散」呢？

DRV 只能取可數個數值。 這些數值通常是整數。

  • 離散型的例子：
    • 一小時內通過路口的汽車數量 (0, 1, 2, 3, ...)。
    • 擲一顆標準六面骰子所得的點數 (1, 2, 3, 4, 5, 6)。
    • 拋擲硬幣 10 次時正面出現的次數 (0, 1, 2, ..., 10)。

類比： 把 DRV 想成是在數彈珠。你可以剛好有 1、2 或 3 顆彈珠，但不可能有 2.5 顆。（相比之下，連續型隨機變數，如身高或時間，可以在給定範圍內取任何值。）

快速回顧：關鍵術語
  • 隨機變數 (X)： 隨機事件的數值結果。
  • 離散： 可數的數值，通常為整數。

第 2 節：機率分佈 (PMF/PDF)

2.1 定義機率分佈

機率分佈 (Probability Distribution)（有時稱為機率質量函數，PMF，或機率分佈函數，PDF）告訴我們 DRV 可以取的所有可能值，以及觀測到每個值的機率。

它可以透過表格、圖表（垂直線圖）或公式來表示。

基本性質：

由於這個列表涵蓋了所有可能的結果，因此所有機率的總和必須等於 1。

$$ \sum P(X=x) = 1 $$

2.2 機率分佈表示例

設 \(X\) 為表示某機器每週故障次數的隨機變數：

\(x\) 0 1 2 3
\(P(X=x)\) 0.15 0.40 0.35 \(k\)
逐步教學：找出未知機率 (k)
  1. 我們知道所有機率之和必須為 1。
  2. \(0.15 + 0.40 + 0.35 + k = 1\)
  3. \(0.90 + k = 1\)
  4. \(k = 1 - 0.90 = 0.10\)

2.3 從分佈計算機率

一旦你有了完整的分佈表，就可以輕鬆計算組合機率：

  • \(P(X=2) = 0.35\) （直接從表格讀取）
  • \(P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) = 0.35 + 0.10 = 0.45\)
  • \(P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.15 + 0.40 + 0.35 = 0.90\)

記憶小撇步： 當處理不等式（\(\le\)、\(\ge\)、\(<\)、\(>\)）時，記得留意端點是否包含在內。由於 \(X\) 是離散的，在本例中 \(P(X \le 2)\) 與 \(P(X < 3)\) 是不同的，儘管它們剛好包含相同的數值 (0, 1, 2)。請務必精確！

重點總結

機率分佈是核心工具。務必檢查 \(\sum P(X=x) = 1\)。

第 3 節：累積機率分佈函數 (CDF)

有時我們會對「隨機變數小於或等於某個值」的機率感興趣。這就是累積機率分佈函數 (Cumulative Distribution Function, CDF) 的用武之地。

3.1 F(x) 的定義

CDF，記為 \(F(x)\)，定義如下：

$$ F(x) = P(X \le x) = \sum_{t \le x} P(X=t) $$

它僅僅是直到給定值 \(x\) 為止的機率累加總和。

3.2 建立 CDF

使用之前的故障範例（其中 P(3) = 0.10）：

\(x\) 0 1 2 3
\(P(X=x)\) 0.15 0.40 0.35 0.10
\(F(x) = P(X \le x)\) 0.15 0.55 0.90 1.00

檢查： \(F(2) = P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.15 + 0.40 + 0.35 = 0.90\)

3.3 使用 CDF

CDF 對於快速計算機率非常有用，特別是涉及補集法則 (Complement Rule) 的情況：

  • 計算 P(X > x)： 使用補集法則。 $$ P(X > x) = 1 - P(X \le x) = 1 - F(x) $$ 例子： \(P(X > 1) = 1 - F(1) = 1 - 0.55 = 0.45\)。（驗算：\(P(2) + P(3) = 0.35 + 0.10 = 0.45\)。計算正確！）
  • 計算 P(a < X \le b)： $$ P(a < X \le b) = F(b) - F(a) $$ 例子： \(P(1 < X \le 3) = F(3) - F(1) = 1.00 - 0.55 = 0.45\)。
常見錯誤警示！

由於 \(X\) 是離散的，對於嚴格不等式要格外小心：

  • \(P(X < 3)\) 意味著 \(P(X \le 2)\)，即 \(F(2)\)。
  • \(P(X \le 3)\) 意味著 \(F(3)\)。
  • \(P(X > 3)\) 意味著 \(P(X \ge 4)\)。如果最大值是 3，這個機率為 0。

第 4 節：集中趨勢度量（期望值）

如果我們進行隨機實驗非常多次，平均結果會是多少？這就是隨機變數的期望值 (Expectation) 或平均數 (Mean)。

4.1 期望值 (平均數)， \(E(X)\)

期望值，記為 \(E(X)\) 或 \(\mu\) (mu)，是一種加權平均數，其中每個可能的結果都由其機率進行加權。

$$ E(X) = \mu = \sum x P(X=x) $$

類比： 想像一下你的班級成績，考試權重不同。你將每個考試分數乘以其權重（機率）並相加，得到最終的加權平均數（期望值）。

逐步教學：計算 E(X)

使用故障範例：

\(x\) 0 1 2 3
\(P(X=x)\) 0.15 0.40 0.35 0.10
\(x P(X=x)\) \(0 \times 0.15 = 0\) \(1 \times 0.40 = 0.40\) \(2 \times 0.35 = 0.70\) \(3 \times 0.10 = 0.30\)

$$ E(X) = 0 + 0.40 + 0.70 + 0.30 = 1.40 $$

詮釋： 從長遠來看，公司預計每週會發生 1.4 次機器故障。

4.2 X 函數的期望值， \(E(g(X))\)

有時你需要計算 \(X\) 的函數的期望值，例如 \(E(X^2)\) 或 \(E(3X-5)\)。原理是一樣的：將 \(x\) 的函數值乘以其機率。

$$ E(g(X)) = \sum g(x) P(X=x) $$

例如，計算 \(E(X^2)\)：

\(x\) 0 1 2 3
\(x^2\) 0 1 4 9
\(P(X=x)\) 0.15 0.40 0.35 0.10
\(x^2 P(X=x)\) \(0 \times 0.15 = 0\) \(1 \times 0.40 = 0.40\) \(4 \times 0.35 = 1.40\) \(9 \times 0.10 = 0.90\)

$$ E(X^2) = 0 + 0.40 + 1.40 + 0.90 = 2.70 $$

重點總結

期望值是加權平均數。\(E(X) = \sum x P(X=x)\)。如果你需要 \(E(X^2)\)，請先將 \(x\) 值平方，再乘以機率。

第 5 節：離散度度量（變異數與標準差）

平均數告訴我們中心位置，但我們也需要知道這些可能值有多分散。這由變異數 (Variance) 和標準差 (Standard Deviation) 來衡量。

5.1 變異數，Var(X)

變異數，記為 \(\text{Var}(X)\) 或 \(\sigma^2\)，衡量的是隨機變數偏離其平均數的平方距離的期望值。

變異數有兩個關鍵公式。第二個（計算公式）在考試中幾乎總是比較簡單快捷。

1. 定義公式：

$$ \text{Var}(X) = E((X - \mu)^2) = \sum (x - \mu)^2 P(X=x) $$

2. 計算公式（建議使用的公式！）：

$$ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $$

或者，使用符號 \(\mu\)：

$$ \text{Var}(X) = E(X^2) - \mu^2 $$
逐步教學：計算 Var(X)

我們在第 4 節已經計算了兩個關鍵值：

  • \(E(X) = \mu = 1.40\)
  • \(E(X^2) = 2.70\)

現在，套用計算公式：

$$ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $$ $$ \text{Var}(X) = 2.70 - (1.40)^2 $$ $$ \text{Var}(X) = 2.70 - 1.96 $$ $$ \text{Var}(X) = 0.74 $$

你知道嗎？ 變異數的單位是 (原始單位)\(^2\)。由於單位被平方了，變異數很難直接詮釋，這就是為什麼我們通常會進一步計算標準差。

5.2 標準差，\(\sigma\)

標準差 (Standard Deviation) (\(\sigma\)) 僅僅是變異數的平方根。它將離散度量帶回 \(X\) 的原始單位。

$$ \sigma = \sqrt{\text{Var}(X)} $$

在本例中：

$$ \sigma = \sqrt{0.74} \approx 0.860 \text{ (至 3 位有效數字)} $$
常見錯誤警示！

使用 \(\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) 公式時，學生常忘記將 \(E(X)\) 平方！記住：這是「平方的期望值」減去「期望值的平方」。

快速回顧：變異數口訣

VEX ME! (Variance = E of X^2 Minus E of X, squared.)

第 6 節：編碼與變換

如果我們改變隨機變數會發生甚麼？例如，如果公司根據故障次數 \(X\) 來支付費用。如果成本 \(C\) 計算為 \(C = 5X + 10\)，預期成本會如何變化？這稱為編碼 (coding) 或變換 (transformation)。

設 \(Y = aX + b\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 是常數。

6.1 期望值的規則 \(E(Y)\)

期望值具有線性。如果你對 \(X\) 進行變換，平均數會以完全相同的方式平移和伸展。

$$ E(aX + b) = a E(X) + b $$

例子： 如果 \(E(X) = 1.40\) 且成本 \(C = 5X + 10\)：
$$ E(C) = 5 E(X) + 10 = 5(1.40) + 10 = 7.00 + 10 = 17.00 $$ 預期成本為 17 個單位。

6.2 變異數的規則 \(\text{Var}(Y)\)

變異數衡量分散程度。增加常數 \(b\) 只是平移了整個分佈，但不會改變數據的分散程度。因此，\(b\) 對變異數沒有影響。

乘以 \(a\) 會對分佈進行縮放，因此變異數會乘以 \(a^2\)。

$$ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $$

例子： 如果 \(\text{Var}(X) = 0.74\) 且成本 \(C = 5X + 10\)：
$$ \text{Var}(C) = \text{Var}(5X + 10) $$ $$ \text{Var}(C) = 5^2 \text{Var}(X) = 25 \times 0.74 = 18.5 $$

規則總結：

運算 對期望值的影響 (\(E\)) 對變異數的影響 (\(\text{Var}\))
加常數 (例如 \(X+b\)) 加 \(b\) 無變化
乘常數 (例如 \(aX\)) 乘 \(a\) 乘 \(a^2\)

給學習者的建議： 記住常數 \(b\) 只是固定費用或基本金額。如果每個人的分數都提高了 10 分（加 \(b\)），平均分會提高 10 分，但分數之間的差距保持不變。

最終章總結：三大核心公式

務必將這三個核心公式牢記在心，隨時準備使用：

1. 期望值 (平均數)：
$$ E(X) = \sum x P(X=x) $$

2. 變異數 (計算形式)：
$$ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $$

3. 變異數的變換：
$$ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $$

掌握這些，你就已經掌握了離散隨機變數！