歡迎來到「適合度檢定」與「列聯表」章節！
你好！歡迎來到統計學 (Statistics 3) 中至關重要的一章。這一節將讓你化身為數據偵探，幫助我們判斷現實世界中觀察到的數據是否符合特定的分佈模式，或者兩個變量之間是否存在真正的關聯。
如果起初覺得有些複雜，別擔心；我們將會一步步拆解強大的卡方 ($\chi^2$) 檢定。學完這一章，你將能自信地測試統計模型與變量間的關係！
為什麼這一章很重要？
- 它讓我們能夠根據現實觀察結果來驗證理論模型（例如卜瓦松分佈或二項分佈）。
- 它提供了一種正式的方法來測試類別變量之間的關係（例如：「對足球的喜好是否與年齡組別獨立？」）。
- 這是高等統計分析中的一個基本概念。
第一節：卡方 ($\chi^2$) 檢定統計量
卡方檢定是進行「適合度檢定」與「列聯表」分析背後的引擎。它衡量了我們的觀察頻率 ($O_i$) 與期望頻率 ($E_i$) 之間的偏差程度。
$\chi^2$ 統計量衡量的是什麼？
想像你在玩飛鏢。你預期飛鏢大多會落在紅心區域（這是預期的模式）。$\chi^2$ 統計量告訴你，你實際投擲（觀察數據）落在的地方，平均而言與應該落在的地方偏離了多少。
如果算出的 $\chi^2$ 值很小，代表觀察數據與期望值相當吻合。如果值很大，代表期望值可能有誤，我們就會拒絕虛無假設。
檢定統計量 $X^2$ 的公式
檢定統計量 $X^2$ 的計算方式是將觀察頻率與期望頻率之差的平方除以期望頻率，並將所有類別的結果相加：
$$X^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$- $O_i$：類別 $i$ 的觀察頻率。這是你收集到的原始數據。
- $E_i$：類別 $i$ 的期望頻率。這是理論或虛無假設下預期會發生的數值。
- 總和符號 ($\sum$) 代表將所有類別或格子進行累加。
溫馨提示： $X^2$ 的值永遠為正，因為差值經過了平方處理。$X^2$ 越大，代表擬合程度越差。
第二節：適合度檢定 (Goodness of Fit, GoF)
適合度檢定用於檢查數據樣本是否來自具有特定分佈的母體（例如均勻分佈、常態分佈、卜瓦松分佈、二項分佈，或僅僅是固定的機率）。
適合度檢定的逐步指南
步驟 1：列出假設
適合度檢定的假設總是遵循以下結構：
$$H_0: \text{數據符合指定的分佈（例如：卜瓦松分佈、均勻分佈或特定機率）。}$$ $$H_1: \text{數據不符合指定的分佈。}$$
注意：卡方檢定永遠是單尾檢定，只關注右側的臨界值，因為我們只在乎 $X^2$ 是否過大（即擬合程度太差）。
步驟 2：計算期望頻率 ($E_i$)
這裡你需要運用 $H_0$ 中指定的理論分佈以及總樣本數 ($N$)。
如果是針對固定機率 ($p_i$) 進行檢定：
$$E_i = N \times p_i$$
如果是針對特定分佈（例如卜瓦松分佈）進行檢定：
1. 找出分佈所需的參數（例如卜瓦松分佈的 $\lambda$ 或二項分佈的 $p$）。
2. 使用分佈公式找出每個類別的機率 $P(X=x)$。
3. 計算 $E_i = N \times P(X=x)$。
步驟 3：檢查條件並合併類別 (Pooling)
卡方檢定依賴於近似值。只有當期望頻率足夠大時，這種近似才可靠。
關鍵條件： 每個期望頻率 ($E_i$) 必須大於或等於 5 ($E_i \ge 5$)。
如果任何 $E_i < 5$，你必須將該類別與相鄰類別合併，直到合併後的期望頻率 $\ge 5$ 為止。這對這些類別中的觀察值與期望值皆適用。
步驟 4：計算檢定統計量 ($X^2$)
使用最終的（若有合併，則為合併後的）$O_i$ 與 $E_i$ 值代入公式：
$$X^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$步驟 5：決定自由度 ($\nu$)
自由度 ($\nu$) 可能是適合度檢定中最具挑戰性的部分，請務必留意！
適合度檢定的一般公式為：
$$\nu = (\text{類別總數, } k) - 1 - (\text{估計參數的個數, } m)$$- $k$： 合併後的類別總數。
- $-1$： 必須減去 1，因為所有期望頻率的總和必須等於觀察頻率的總和（這意味著一旦已知其他類別的頻率，最後一個類別的頻率便被固定了）。
- $m$： 你從樣本數據中估計出的參數數量，以便計算 $E_i$。
- 如果你是針對固定機率進行檢定（例如 $P(\text{正面})=0.5$），則 $m=0$。
- 如果你必須從樣本數據中計算出 $\lambda$（卜瓦松）或 $p$（二項/幾何分佈），則 $m=1$。
- 如果你必須計算 $\mu$ 和 $\sigma$（常態分佈），則 $m=2$。
記憶小撇步： 如果你必須使用樣本數據來得出一個放入理論公式的數字，你就會為該估計參數「損失」一個自由度。
步驟 6：比較與結論
1. 使用你計算出的 $\nu$ 和題目給定的顯著性水準 ($\alpha$)，在卡方分佈表中找到臨界值。
2. 比較：
- 若 $X^2 \le \text{臨界值}$：接受 $H_0$。有足夠證據顯示數據符合指定分佈。
- 若 $X^2 > \text{臨界值}$：拒絕 $H_0$。有足夠證據顯示數據不符合指定分佈。
第三節：列聯表 (獨立性檢定)
當我們想要研究兩個類別變量之間的關係時，會使用列聯表。這稱為獨立性檢定。
例如：一個人的音樂喜好（流行、搖滾、古典）與其主要交通方式（汽車、巴士、自行車）之間是否存在關聯？
目標：測試獨立性
如果兩個變量是獨立的，知道一個變量的值並不能提供任何關於另一個變量的信息。此檢定檢查數據中觀察到的模式，是否可能純屬巧合（若變量實際上是獨立的話）。
步驟 1：列出假設
$$H_0: \text{兩個變量是獨立的（即沒有關聯）。}$$ $$H_1: \text{兩個變量不是獨立的（即存在關聯）。}$$
步驟 2：計算期望頻率 ($E_{ij}$)
在列聯表（有 $r$ 行和 $c$ 列）中，任何特定格子 $(i, j)$ 的期望頻率都是基於獨立性假設 ($H_0$) 計算出來的：
$$E_{ij} = \frac{(\text{行總計}) \times (\text{列總計})}{\text{總計 (Grand Total)}}$$類比：如果 60% 的人喜歡搖滾樂，而 50% 的人搭巴士，那麼在假設獨立的情況下，喜歡搖滾樂「且」搭巴士的人比例應為 $0.60 \times 0.50 = 0.30$。我們再將此機率乘以總計，即可得出期望次數。
步驟 3：檢查條件
就像適合度檢定一樣，所有期望頻率 ($E_{ij}$) 必須 $\ge 5$。如果任何格子的 $E_{ij} < 5$，你必須合併行或列（pool），直到滿足此條件。合併過程必須符合邏輯（例如，合併兩個相似的年齡組別）。
步驟 4：計算檢定統計量 ($X^2$)
公式維持不變，但總和需針對表格中的所有格子進行：
$$X^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$$步驟 5：決定自由度 ($\nu$)
對於有 $r$ 行 $c$ 列的列聯表，$\nu$ 的計算比適合度檢定簡單得多：
$$\nu = (r-1)(c-1)$$注意：如果你因期望頻率過小而合併了行/列，請使用合併「後」的行數/列數來計算。
步驟 6：比較與結論
步驟與適合度檢定相同：在顯著性水準 ($\alpha$) 和自由度 ($\nu$) 下，將 $X^2$ 與卡方表的臨界值進行比較。
如果 $X^2$ 很大（大於臨界值），拒絕 $H_0$，並結論認為有證據顯示這兩個變量之間存在關聯。
- 適合度檢定： 測試一個樣本是否符合單一理論分佈（例如：這組數據是卜瓦松分佈嗎？）。$\nu = k - 1 - m$。
- 列聯表： 測試兩個變量是否相關（例如：性別是否與食物喜好有關？）。$\nu = (r-1)(c-1)$。
第四節：常見錯誤與總結
要避免的常見錯誤
- 在檢查條件時使用觀察頻率： 學生常會檢查 $O_i \ge 5$。這是錯誤的！你「必須」檢查$E_i \ge 5$。
- 適合度檢定的自由度錯誤： 當參數（如 $\lambda$ 或 $p$）是從樣本數據估計得出時，忘記減去 $m$。
- 列聯表的自由度錯誤： 使用了所有格子的數量，而不是使用 $(r-1)(c-1)$。
- 假設表述錯誤： 搞混了假設。$H_0$ 總是假設預期的情況（擬合程度良好 / 變量是獨立的）。
- 忘記合併類別： 當 $E_i < 5$ 時沒有合併，這會導致檢定結果不可靠。
最後檢查清單
- 你有清楚寫出 $H_0$ 和 $H_1$ 嗎？
- 所有期望頻率都算對了嗎？
- 你檢查過 $E_i \ge 5$ 的條件並在必要時進行合併了嗎？
- $\nu$ 的值正確嗎（特別是在適合度檢定中考慮了參數估計 $m$）？
- 計算出的 $X^2$ 統計量正確嗎？
- 結論是否結合題目語境，並明確說明是接受還是拒絕 $H_0$？
你已經掌握了卡方檢定的基本功！這是一個極其多功能且強大的工具，能幫助你進行可靠的統計推論。