歡迎來到進階數學 2 (FP2) 的不等式章節！
哈囉，未來的數學家！你已經掌握了涉及二次方程與聯立方程的基本不等式，在 FP2 中，我們要挑戰更高難度！本章重點在於解決兩大類進階不等式：代數分式不等式（有理不等式）與模不等式，特別是當變數出現在兩側的情況。
如果起初覺得棘手，不用擔心。我們將會把這些複雜的問題拆解成系統化的步驟，確保你一定能學會。掌握這一章對於後續學習複數與幾何至關重要，讓我們馬上開始吧！
第一節：解代數分式不等式（有理不等式）
有理不等式是指包含代數分式（一個多項式除以另一個多項式）的不等式，例如 \(\frac{x+1}{x-2} > 3\)。
必須避免的關鍵錯誤
在基礎代數中，如果你有 \(\frac{x}{5} > 2\)，你會兩邊同乘 5。但在 FP2 中，絕對不要同乘包含變數 \(x\) 的分母（例如 \(x-2\)）。
為什麼這是一個致命錯誤？
如果你乘上的表達式是正數，不等號方向保持不變。
如果你乘上的表達式是負數，不等號必須翻轉。
由於 \(x-2\) 的正負取決於 \(x\) 的值，你根本不知道是否需要翻轉符號！如果硬要強行處理，你必須將問題拆分為兩種情況，這樣不但效率低，還極易出錯。
解有理不等式的黃金法則： 務必將不等式整理成其中一側為零的形式。
分步解法：臨界值與符號分析法
讓我們來解一個通用的有理不等式。
步驟 1：將不等式與零進行比較
將所有項移到一邊。例如，要解 \(\frac{x+1}{x-2} > 3\)： $$ \frac{x+1}{x-2} - 3 > 0 $$
步驟 2：將分式合併為單一分式
找到公分母（在此為 \(x-2\)）： $$ \frac{x+1}{x-2} - \frac{3(x-2)}{x-2} > 0 $$ $$ \frac{(x+1) - (3x - 6)}{x-2} > 0 $$ $$ \frac{-2x + 7}{x-2} > 0 $$
步驟 3：求出臨界值 (Critical Values, CVs)
臨界值是指使表達式可能改變正負號的 \(x\) 值。這些值出現在分子為零或分母為零時。
1. 分子臨界值： \(-2x + 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2}\) (即 \(x = 3.5\))
2. 分母臨界值： \(x - 2 = 0 \implies x = 2\)
重要的記憶小撇步： 由分母得到的臨界值（漸近線）必須始終排除在解集之外，無論原始不等式是 \(> \)、\(<\)、\(\ge\) 還是 \(\le\)。
步驟 4：使用數線或符號表（測試區間法）
臨界值將數線劃分為若干個區間。我們在每個區間中測試一個點，看看整個分式是正還是負（即是否滿足 \(\frac{-2x + 7}{x-2} > 0\)）。
測試區間：
1. \(x < 2\) (例如，測試 \(x=0\))： $$ \frac{-2(0) + 7}{0 - 2} = \frac{7}{-2} = -3.5 \quad (< 0, \text{ 不成立}) $$ 2. \(2 < x < 3.5\) (例如，測試 \(x=3\))： $$ \frac{-2(3) + 7}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1 \quad (> 0, \text{ 成立}) $$ 3. \(x > 3.5\) (例如，測試 \(x=4\))： $$ \frac{-2(4) + 7}{4 - 2} = \frac{-1}{2} = -0.5 \quad (< 0, \text{ 不成立}) $$
步驟 5：寫出最終解
因為我們要求表達式大於 0，所以解就是測試成立的中間區間： $$ 2 < x < 3.5 $$
快速回顧：有理不等式
1. 移項使其與 0 比較。
2. 合併為單一分式 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)。
3. 找出臨界值（\(P(x)=0\) 與 \(Q(x)=0\) 的點）。
4. 使用測試點判斷每個區間的符號。
5. 分母的臨界值永遠要排除。
第二節：解 FP2 中的模不等式
在 FP2 中，我們經常遇到模不等式，其中兩邊都包含變數且皆在絕對值符號內，例如 \(|x+1| \ge |2x-3|\)。
回顧：模（絕對值）的作用
模函數（或絕對值函數）\(|A|\)，簡單來說就是測量 \(A\) 到零的距離，使結果為非負數。
你知道嗎？ 「模」（modulus）一詞來自拉丁語，意為「小的度量」。
方法：兩邊平方
當你有形如 \(|A| > |B|\) 或 \(|A| < |B|\) 的式子時，最安全且最高效的方法是兩邊平方。
由於 \(|A|\) 和 \(|B|\) 保證為非負數，對它們進行平方不會改變不等號的方向。
核心原則： \(|A| > |B| \iff A^2 > B^2\)
例子：解 \(|x+1| \ge |2x-3|\)
步驟 1：兩邊平方
$$ (x+1)^2 \ge (2x-3)^2 $$步驟 2：移項使其與 0 比較
我們想避免展開式子處理複雜的二次方程。相反，將所有項移到左側： $$ (x+1)^2 - (2x-3)^2 \ge 0 $$
步驟 3：使用平方差公式 (\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\))
令 \(A = (x+1)\) 且 \(B = (2x-3)\)。 $$ \left[ (x+1) - (2x-3) \right] \left[ (x+1) + (2x-3) \right] \ge 0 $$
小心第一個括號內的符號！ $$ [ x+1 - 2x + 3 ] [ x+1 + 2x - 3 ] \ge 0 $$ $$ [ -x + 4 ] [ 3x - 2 ] \ge 0 $$
步驟 4：求出臨界值 (CVs)
令每個因式等於零：
1. \(-x + 4 = 0 \implies x = 4\)
2. \(3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}\)
步驟 5：進行符號分析（數線法）
我們正在測試積 \([-x + 4] [ 3x - 2 ]\) 的符號。我們需要該積 \(\ge 0\)（正數或零）。
1. \(x < \frac{2}{3}\) (例如，測試 \(x=0\))：
\([-0 + 4] [ 3(0) - 2 ] = (4)(-2) = -8 \quad (< 0, \text{ 不成立})\)
2. \(\frac{2}{3} < x < 4\) (例如，測試 \(x=1\))：
\([-1 + 4] [ 3(1) - 2 ] = (3)(1) = 3 \quad (> 0, \text{ 成立})\)
3. \(x > 4\) (例如，測試 \(x=5\))：
\([-5 + 4] [ 3(5) - 2 ] = (-1)(13) = -13 \quad (< 0, \text{ 不成立})\)
步驟 6：寫出最終解
由於不等式為 \(\ge\)，我們包含臨界點。 $$ \frac{2}{3} \le x \le 4 $$
替代方法：臨界點分析（區間分析法）
有時，特別是當不等式類型混雜時（例如 \(|x+1| > x+5\)），平方的方法可能會過於複雜或不適用（如果右側不能保證為非負數）。
臨界點法涉及找到絕對值符號內表達式從負變為正的 \(x\) 值。
例子重溫：\(|x+1| \ge |2x-3|\)
1. 找出使絕對值內項為零的臨界點：
\(x+1=0 \implies x = -1\)
\(2x-3=0 \implies x = 1.5\)
2. 這些臨界點將數線分為三個區域：\(x < -1\)、\(-1 \le x < 1.5\) 以及 \(x \ge 1.5\)。
3. 通過去掉絕對值符號來解每個區域的不等式：
區域 A：\(x < -1\)
兩個絕對值內的表達式均為負。我們使用負號來去掉絕對值： $$ -(x+1) \ge -(2x-3) $$ $$ -x - 1 \ge -2x + 3 $$ $$ x \ge 4 $$ 矛盾： 我們假設 \(x < -1\)，但得到 \(x \ge 4\)。此區域無解。
區域 B：\(-1 \le x < 1.5\)
\(x+1\) 為正，\(2x-3\) 為負。 $$ (x+1) \ge -(2x-3) $$ $$ x + 1 \ge -2x + 3 $$ $$ 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3} $$ 交集： 我們需要同時滿足 \(-1 \le x < 1.5\) 和 \(x \ge \frac{2}{3}\)。解為： $$ \frac{2}{3} \le x < 1.5 $$
區域 C：\(x \ge 1.5\)
兩個表達式均為正。 $$ (x+1) \ge (2x-3) $$ $$ 4 \ge x $$ 交集： 我們需要同時滿足 \(x \ge 1.5\) 和 \(x \le 4\)。解為： $$ 1.5 \le x \le 4 $$
4. 合併解： 我們連接區域 B 和區域 C 的結果：
$$
\left( \frac{2}{3} \le x < 1.5 \right) \cup \left( 1.5 \le x \le 4 \right)
$$
由於 1.5 包含在第二個集合中，且在第一個集合中接近此值，我們可以將合併後的解流暢寫為：
$$
\frac{2}{3} \le x \le 4
$$
重點總結： 在處理 \(|A| > |B|\) 時，平方方法通常快得多且較不容易出現分類討論錯誤。臨界點分析（區間分析法）對於像 \(|A| > B\) 這樣的混合不等式至關重要。
常見陷阱與總結
要避免的錯誤
1. 同乘變數分母：（有理不等式）如果你這麼做，會丟失解或搞錯符號。務必與 0 比較。
2. 排除分子臨界值：（有理不等式）如果原始不等式包含等號（\(\ge\) 或 \(\le\)），分子臨界值必須包含在最終解中。只有分母臨界值是永遠排除的。
3. 平方時的符號錯誤：（模不等式）在使用 \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) 時，計算 \((a-b)\) 時要非常小心負號。例如：\((x) - (2x-3)\) 應變為 \(x - 2x + 3\)。
快速檢查清單
有理不等式 (\(\frac{P}{Q} \ge 0\))
- 移項使右側為 0。
- 合併分式。
- 從 P 和 Q 找出臨界值。
- 使用符號分析（數線）。
- 檢查排除規則（Q=0 永遠不被允許）。
模不等式 (\(|A| \ge |B|\))
- 兩邊平方：\(A^2 \ge B^2\)。
- 移項使用平方差公式：\((A-B)(A+B) \ge 0\)。
- 從因式找出臨界值。
- 使用符號分析（數線）找到最終區間。
現在你已經掌握了求解複雜 FP2 不等式的基礎工具。記住，熟能生巧！專注於維持一致的處理流程，這些問題將會變成你的反射動作。祝你好運！