歡迎來到運動學：探索運動的世界！
你好！如果你正在研讀單元 M2，相信你已經掌握了運動學的基礎（例如 SUVAT 公式）。在進階數學（Further Maths）中，我們會引入變加速度以及二維平面上的運動，讓問題變得更加真實。
本章節至關重要，因為它直接將微積分（微分與積分）與物理學聯繫起來。如果起初覺得有些棘手也別擔心，我們會一步步拆解這些概念。在完成本單元後，即使粒子的加速度不斷變化，你也能精確描述它位於何處、移動速度有多快，以及它的運動方向！
第一部分：直線運動（變加速度）
1.1 一維運動學的語言
當粒子在直線上移動時，我們使用相對於固定原點 (\(O\)) 的位置來描述它。我們使用三個關鍵量，它們全都是時間 \(t\) 的函數：
- 位移 (\(s\))： 粒子相對於原點的位置。（單位：米，m）
- 速度 (\(v\))： 位移的變化率。（單位：m s\(^{-1}\)）
- 加速度 (\(a\))： 速度的變化率。（單位：m s\(^{-2}\)）
1.2 向前推導：微分
當加速度是變量（即它隨時間變化）時，我們使用微分來求取瞬時變化率。你可以將微分想像成求取曲線在特定點的斜率。
微分關係
要從位移推導至加速度，你需要對時間 \(t\) 進行微分。
- 速度是位移的導數： \[v = \frac{ds}{dt}\]
- 加速度是速度的導數： \[a = \frac{dv}{dt}\]
- 因此，加速度是位移的二階導數： \[a = \frac{d^2s}{dt^2}\]
記憶小撇步：微分是按字母順序「向下」推導：S -> V -> A。
若粒子的位移由 \(s = 2t^3 - t + 5\) 給出，求 \(t=2\) 時的速度。
步驟 1：對 \(s\) 微分以求 \(v\)： \[v = \frac{ds}{dt} = 6t^2 - 1\] 步驟 2：代入 \(t=2\)： \[v = 6(2)^2 - 1 = 24 - 1 = 23 \text{ m s}^{-1}\]
1.3 向後推導：積分
如果題目給出加速度，你需要求速度或位移，則必須使用積分。積分可以看作是將時間內所有微小的變化累加起來。
積分關係
- 速度是加速度的積分： \[v = \int a \, dt\]
- 位移是速度的積分： \[s = \int v \, dt\]
關鍵步驟： 在進行積分時，必須加上積分常數 \(C\)。
要求出 \(C\) 的值，你需要初始條件（即在特定時間，通常是 \(t=0\) 時的位置或速度）。
如果粒子由靜止開始，初始速度為 \(0\)（即 \(t=0\) 時 \(v=0\)）。
如果粒子從原點開始，初始位移為 \(0\)（即 \(t=0\) 時 \(s=0\)）。
我們需要這些資訊來解出 \(C\)！
粒子加速度為 \(a = 6t + 2\)。當 \(t=0\) 時，粒子速度為 \(4 \text{ m s}^{-1}\)。求 \(v\) 對 \(t\) 的函數。
步驟 1：積分 \(a\) 以求 \(v\)： \[v = \int (6t + 2) \, dt = 3t^2 + 2t + C\] 步驟 2：使用初始條件（當 \(t=0\) 時 \(v=4\)）： \[4 = 3(0)^2 + 2(0) + C\] \[C = 4\] 步驟 3：寫出完整方程式： \[v = 3t^2 + 2t + 4\]
重點整理（第一部分總結）
運動學就是關於 \(s\)、\(v\) 和 \(a\) 之間的轉換。微分讓你向下一級（S 到 V 到 A），積分則讓你向上一級（A 到 V 到 S），但後者需要邊界條件來找出 \(C\)。
第二部分：平面運動（向量）
2.1 二維運動簡介
在現實世界中，粒子極少進行完美的直線運動。當運動發生在表面上時（例如球在場地上滾動或飛機飛行），我們需要向量來描述二維運動（通常以 \(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 分量表示）。
向量物理量
我們現在使用粗體字母或符號上的箭頭來表示向量（這裡我們統一使用粗體）：
- 位置向量 (\(\mathbf{r}\))： 定義粒子相對於原點的位置。 \[\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}\]
- 速度向量 (\(\mathbf{v}\))： 定義位置的變化率。 \[\mathbf{v} = v_x\mathbf{i} + v_y\mathbf{j}\]
- 加速度向量 (\(\mathbf{a}\))： 定義速度的變化率。 \[\mathbf{a} = a_x\mathbf{i} + a_y\mathbf{j}\]
2.2 向量微積分：獨立性的威力
二維運動學最大的簡化在於：水平方向 (\(\mathbf{i}\)) 的運動與垂直方向 (\(\mathbf{j}\)) 的運動是完全獨立的。你可以分別處理它們的分量！
向量微分
要找出速度向量，請分別對位置向量的各分量進行微分：
\[\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left(\frac{dx}{dt}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{dy}{dt}\right)\mathbf{j}\]同理，對於加速度：
\[\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \left(\frac{dv_x}{dt}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{dv_y}{dt}\right)\mathbf{j}\]向量積分
積分時，請記得必須引入一個常數向量 \(\mathbf{C}\)，它同時具有 \(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 分量： \[\mathbf{C} = C_1\mathbf{i} + C_2\mathbf{j}\]
你需要兩個分量的初始條件來求出 \(C_1\) 和 \(C_2\)。
粒子的位置向量為 \(\mathbf{r} = (t^2 + 3t)\mathbf{i} + (4t^2)\mathbf{j}\)。求時間 \(t\) 時的速度向量。
步驟 1：微分 \(\mathbf{i}\) 分量： \[v_x = \frac{d}{dt}(t^2 + 3t) = 2t + 3\] 步驟 2：微分 \(\mathbf{j}\) 分量： \[v_y = \frac{d}{dt}(4t^2) = 8t\] 步驟 3：結合它們： \[\mathbf{v} = (2t + 3)\mathbf{i} + (8t)\mathbf{j}\]
2.3 求大小與方向
一旦你得到了向量（速度 \(\mathbf{v}\) 或加速度 \(\mathbf{a}\)），通常需要求出它的速率（速度的大小）及其方向。
大小（速率）
任何向量 \(\mathbf{A} = A_x\mathbf{i} + A_y\mathbf{j}\) 的大小可利用畢氏定理求得：
\[|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}\]速率 \(|\mathbf{v}|\) 即為速度向量的長度。
方向
方向通常表示為相對於正 \(\mathbf{i}\) 軸（正 x 軸）的角度 (\(\theta\))。
\[\tan \theta = \frac{\mathbf{j} \text{ 方向分量}}{\mathbf{i} \text{ 方向分量}} = \frac{A_y}{A_x}\]關鍵建議： 務必畫出向量分量圖，確保角度位於正確的象限（0-360 度）。例如，如果 \(A_x\) 為負且 \(A_y\) 為正，則該向量位於第二象限。
重點整理（第二部分總結）
在二維運動學中，我們使用向量。核心技巧是分離分量。將 \(\mathbf{i}\) 部分和 \(\mathbf{j}\) 部分視為兩個獨立的一維問題，然後再將其結合，或利用畢氏定理找出整體的速率與方向。
第三部分：進階概念與解題技巧
3.1 識別轉向點與最大/最小速度
一維運動的粒子可能會暫時停止或改變方向。這發生在速度為零時。
- 瞬時靜止： 令 \(v = 0\) 並解出 \(t\)。
- 最大/最小速度： 這發生在加速度為零時。令 \(a = \frac{dv}{dt} = 0\) 並解出 \(t\)。(你可能需要使用二階導數測試 \(\frac{d^2v}{dt^2}\) 來確認它是最大值還是最小值，但通常題目上下文會很明確)。
積分 \(\int_{t_1}^{t_2} v \, dt\) 給出的是 \(t_1\) 到 \(t_2\) 之間的位移。
如果粒子在該區間內改變了方向（即 \(v\) 改變了符號），總路程不等於位移。你必須分段積分：
- 找出區間 \([t_1, t_2]\) 內所有 \(v=0\) 的時間點 \(t\)。
- 分別計算各個區段位移的大小。
- 將這些絕對值相加，即可得到總路程。(例如：\(|\int_{t_1}^{t_{stop}} v \, dt| + |\int_{t_{stop}}^{t_2} v \, dt|\))。
3.2 使用向量判定共線運動
在二維空間中，我們有時需要判斷兩個事件是否發生在同一條直線上，或者三點是否共線。
若兩個向量 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\) 平行，它們必定是彼此的純量倍數。
範例：如果粒子的速度為 \(\mathbf{v} = (k-t)\mathbf{i} + (2t)\mathbf{j}\)，且題目已知在 \(t=1\) 時，運動平行於向量 \(\mathbf{i} + 4\mathbf{j}\)：
- 找出 \(t=1\) 時的 \(\mathbf{v}\)：\(\mathbf{v} = (k-1)\mathbf{i} + 2\mathbf{j}\)。
- 因為 \(\mathbf{v}\) 平行於 \(\mathbf{i} + 4\mathbf{j}\)，其中一個必為另一個的倍數 (\(\lambda\))： \[(k-1)\mathbf{i} + 2\mathbf{j} = \lambda(\mathbf{i} + 4\mathbf{j})\]
- 相等各分量：
- \(\mathbf{j}\)：\(2 = 4\lambda \implies \lambda = 0.5\)
- \(\mathbf{i}\)：\(k-1 = \lambda = 0.5 \implies k = 1.5\)
3.3 截距與碰撞
運動學問題常涉及兩個粒子 \(P_1\) 與 \(P_2\)。
- 截距（攔截）： 當粒子 \(P_1\) 的位置向量 \(\mathbf{r}_1\) 在某個時間 \(t\) 等於該固定點時，即發生攔截。
- 碰撞： 兩個粒子發生碰撞若且唯若它們在同一時間 \(t\) 擁有相同的位置向量。 \[\mathbf{r}_1(t) = \mathbf{r}_2(t)\] 這代表 \(\mathbf{i}\) 分量必須相等，且 \(\mathbf{j}\) 分量也必須相等，且使用相同的 \(t\) 值。
- 我是否能對 \(t\) 的多項式/三角/指數函數進行微分？（必備先修技能）
- 我是否記得加上積分常數 (\(C\)) 並使用初始條件？
- 處理向量時，我是否將 \(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 分量完全分開處理？
- 我是否能計算速度向量的大小（速率）與方向（角度）？
- 當題目要求總路程時，我是否會檢查 \(v=0\) 的轉向點？