Transformations using matrices

歡迎來到矩陣變換的世界！

你好！這一章將帶你探索如何用矩陣來處理幾何變換。別擔心「變換」(transformation) 這個詞聽起來很複雜——它其實就是指圖形的移動或形狀改變。利用 2x2 矩陣，我們只需透過簡單的乘法，就能執行旋轉、反射等各種變換。

為什麼這很重要？ 在電腦繪圖、工程學和物理學等領域，矩陣是計算物體在空間中如何移動、縮放或變形的基礎工具。掌握這一章，你就擁有了破解幾何難題的強大代數武器！

1. 基礎概念：點的映射

1.1 什麼是變換矩陣？

變換矩陣 \( \mathbf{M} \) 是一個 2x2 矩陣，當它與一個位置向量（即一個點）相乘時，會將其轉換為一個新的位置向量（即像點）。

我們將座標為 \((x, y)\) 的點 \(P\) 表示為列向量 \( \mathbf{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)。

變換的過程永遠是：

$$ \mathbf{M} \mathbf{p} = \mathbf{p}' $$

其中 \(\mathbf{p}'\) 是像點，座標為 \((x', y')\)。

簡單來說： 可以把矩陣 \(\mathbf{M}\) 想像成一台小機器。你把原始點的座標輸入進去，機器就會輸出變換後的新座標！

1.2 映射步驟範例

設變換矩陣為 \( \mathbf{T} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)。求點 \( A(4, -1) \) 的像。

1. 將點 A 寫成列向量： \( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \)。
2. 進行矩陣乘法： $$ \mathbf{a}' = \mathbf{T} \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} $$
3. 計算結果向量： $$ \mathbf{a}' = \begin{pmatrix} (2)(4) + (1)(-1) \\ (0)(4) + (3)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 1 \\ 0 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix} $$

點 \(A(4, -1)\) 的像為 \(A'(7, -3)\)。

2. 如何求變換的矩陣

不用急著死背每一個變換矩陣，有一個天才方法可以讓你推導出 任何 二維變換矩陣 \(\mathbf{M}\)。

2.1 基底向量法

所有（以原點為固定點的）二維變換，都可以由兩個基本基底向量的變化來定義：

• 沿 x 軸的向量： \( \mathbf{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)
• 沿 y 軸的向量： \( \mathbf{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

變換矩陣 \(\mathbf{M}\) 的構造方式是：將 \(\mathbf{i}\) 的像作為 第一列 (第一欄)，將 \(\mathbf{j}\) 的像作為 第二列 (第二欄)。

若變換 T 將 \(\mathbf{i} \to \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}\) 且 \(\mathbf{j} \to \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}\)，則：

$$ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

你知道嗎？ 這就是為什麼對於以原點為中心的二維變換，我們只需要 2x2 矩陣。如果原點發生位移（平移），我們就需要使用不同的系統（稱為齊次座標，通常在高級課程中才會涉及，所以這裡我們只探討以原點為中心的變換！）。

2.2 範例：求直線 \(y = -x\) 的反射矩陣

1. \(\mathbf{i} = (1, 0)\) 變到哪裡去了？
將 \((1, 0)\) 關於 \(y = -x\) 反射，座標會互換並變號。
\(\mathbf{i}\) 的像是 \((0, -1)\)。這就是 第一列 (第一欄)： \(\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}\)。

2. \(\mathbf{j} = (0, 1)\) 變到哪裡去了？
將 \((0, 1)\) 關於 \(y = -x\) 反射。
\(\mathbf{j}\) 的像是 \((-1, 0)\)。這就是 第二列 (第二欄)： \(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}\)。

3. 組合成矩陣： $$ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

3. 常見標準變換

你必須能夠識別並寫出以下標準二維變換的矩陣，所有這些變換均以原點 \((0, 0)\) 為中心。

3.1 旋轉 (Rotations)

除非特別註明，否則旋轉均為逆時針方向。若要順時針旋轉角度 \(\theta\)，請在公式中使用 \(-\theta\)。

繞原點逆時針旋轉 \(\theta\) 角： $$ \mathbf{R} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$

範例： 逆時針旋轉 \(90^\circ\) (\(\theta = 90^\circ\))： $$ \mathbf{R}_{90} = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

3.2 反射 (Reflections)

反射將點映射到它們在鏡像線（反射軸）另一側的位置。

• 關於 x 軸反射 (\(y=0\))： $$ \mathbf{R}_{x} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$
• 關於 y 軸反射 (\(x=0\))： $$ \mathbf{R}_{y} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
• 關於 \(y=x\) 反射： (x 與 y 互換) $$ \mathbf{R}_{y=x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$
• 關於 \(y=-x\) 反射： (x 與 y 互換並同時變號) $$ \mathbf{R}_{y=-x} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

3.3 放大/縮小 (Enlargements)

放大 (Enlargement) 是以原點為中心的縮放，縮放因子為 \(k\)。每個座標都要乘以 \(k\)。

放大，縮放因子 \(k\)，中心為原點： $$ \mathbf{E} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} $$

注意： 若 \(k\) 為負值，則意味著放大再加上 \(180^\circ\) 的旋轉。若 \(k=1\)，該矩陣為 單位矩陣 (Identity Matrix) \( \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)。單位矩陣不會對圖形產生任何影響！

3.4 拉伸 (Stretches)

拉伸 只會改變平行於其中一個軸的尺寸。

• 平行於 x 軸拉伸 (y 座標固定)，因子為 \(k\)： $$ \mathbf{S}_{x} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
• 平行於 y 軸拉伸 (x 座標固定)，因子為 \(k\)： $$ \mathbf{S}_{y} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} $$

3.5 錯切 (Shears)

錯切 (Shear) 將圖形平行於一個軸進行滑動，滑動距離取決於它離另一個軸的距離。

• 平行於 x 軸錯切： x 座標改變 \(k \times y\) 的距離。(平行於 x 軸的直線保持不變。) $$ \mathbf{Sh}_{x} = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
• 平行於 y 軸錯切： y 座標改變 \(k \times x\) 的距離。(平行於 y 軸的直線保持不變。) $$ \mathbf{Sh}_{y} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} $$

4. 複合變換

在現實世界中，物體通常會經歷多次移動。複合變換就是連續執行一個變換後，再執行另一個變換。

4.1 乘法順序

如果一個圖形先經過變換 \(T_1\)，再經過變換 \(T_2\)，且它們各自的矩陣分別為 \(\mathbf{M}_1\) 和 \(\mathbf{M}_2\)，則複合變換矩陣 \(\mathbf{M}\) 為這兩個矩陣的乘積。

$$ \mathbf{M} = \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1 $$

關鍵點（常見錯誤提醒！）： 矩陣乘法的順序與變換執行的順序是相反的！

如果你先執行 \(T_1\)，它的矩陣 \(\mathbf{M}_1\) 必須寫在靠近位置向量 \(\mathbf{p}\) 的那一側： $$ \mathbf{p}' = \mathbf{M}_2 (\mathbf{M}_1 \mathbf{p}) $$

4.2 範例：組合變換

求先進行直線 \(y=x\) 的反射，再進行繞原點順時針旋轉 \(90^\circ\) 的複合變換矩陣。

1. 定義矩陣（順時針 \(90^\circ\) 即 \(\theta = -90^\circ\)）：
反射 \(T_1\)： \( \mathbf{M}_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
旋轉 \(T_2\)： \( \mathbf{M}_2 = \begin{pmatrix} \cos(-90) & -\sin(-90) \\ \sin(-90) & \cos(-90) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \)

2. 計算複合矩陣 \(\mathbf{M} = \mathbf{M}_2 \mathbf{M}_1\)： $$ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(0) + (1)(1) & (0)(1) + (1)(0) \\ (-1)(0) + (0)(1) & (-1)(1) + (0)(0) \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{M} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

觀察： 這個複合變換結果等於關於 x 軸的反射！

5. 面積縮放因子與逆變換

5.1 行列式與面積

變換矩陣 \(\mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) 的 行列式 (determinant)，記為 \(\det(\mathbf{M})\) 或 \(|\mathbf{M}|\)，代表了該變換的 面積縮放因子。

$$ \det(\mathbf{M}) = ad - bc $$

若原圖形的面積為 \(A\)，則新面積 \(A'\) 為： $$ A' = |\det(\mathbf{M})| \times A $$ 我們使用絕對值是因為面積永遠為正。

• 若 \(|\det(\mathbf{M})| > 1\)，圖形被放大。
• 若 \(|\det(\mathbf{M})| < 1\)，圖形被縮小。
• 若 \(|\det(\mathbf{M})| = 1\)，面積不變（如旋轉、反射和錯切）。

奇異矩陣： 若 \(\det(\mathbf{M}) = 0\)，該矩陣稱為 奇異矩陣 (singular matrix)。這意味著變換將整個平面壓縮成一條直線或一個點。此時面積變為零，且該變換是不可逆的。

5.2 逆變換

若變換 \(\mathbf{M}\) 將 \(P\) 映射到 \(P'\)，則 逆變換 \(\mathbf{M}^{-1}\) 將 \(P'\) 映射回 \(P\)。

逆矩陣僅在行列式不為零（即矩陣為 非奇異 (non-singular)）時存在。

回顧 2x2 矩陣的逆矩陣公式： $$ \mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{M})} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

逆變換的作用是「還原」原始變換。例如，逆時針旋轉 \(+30^\circ\) 的逆變換就是順時針旋轉 \(30^\circ\)。

6. 不變點與不變直線

當進行變換時，有些點可能保持不動，有些直線可能保持在相同的位置（即使線上的點發生了移動）。這些是不變性的關鍵特徵。

6.1 求不變點

不變點 (invariant point) \(\mathbf{p}\) 是指滿足 \(\mathbf{M} \mathbf{p} = \mathbf{p}\) 的點。

設 \( \mathbf{M} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) 且 \( \mathbf{p} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)。

我們解方程組： $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

這可以重寫為： $$ \begin{pmatrix} a-1 & b \\ c & d-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

範例： 對於任何以原點為中心的旋轉或放大，原點 \((0, 0)\) 永遠是唯一的不變點。

6.2 求不變直線

不變直線 (invariant line) 是指直線上的每一個點映射後仍在該直線上（即使點的位置發生了改變）。

若 \(y = mx + c\) 為不變直線，則對於線上任意點 \((x, y)\)，其像 \((x', y')\) 也必須滿足 \(y' = mx' + c\)。

這通常需要列聯立方程，並找出使結果對應於 x 值區間成立的情況。這往往是本科目中代數處理最複雜的部分。