歡迎來到代數與函數世界！（純數學 2）
你好，未來的數學家！這一章節至關重要，因為它將你在 P1 學到的基礎代數知識進一步昇華，賦予了它強大的「超能力」。我們將深入探討多項式，學習求餘數和因式的超快技巧，並探索函數如何組合與進行逆運算。
如果起初覺得有些概念很複雜，請不用擔心。我們會將其拆解成簡單易懂的步驟。讀完這些筆記後，你將能夠像專業人士一樣輕鬆處理三次方程和變換圖表！
第 1 節：餘式定理與因式定理
在 P2 中，我們重點研究名為多項式 (polynomials) 的代數式，它們是變數冪次項的總和（例如 \(x^3 - 4x + 1\)）。我們經常需要將一個多項式除以另一個多項式，以找出它的因式或餘數。
1.1 理解多項式除法
當你將多項式 \(P(x)\) 除以除式 \(D(x)\) 時，你會得到商 \(Q(x)\) 和餘式 \(R\)。
其關係如下：
$$P(x) = D(x)Q(x) + R$$
為什麼需要代數除法？
如果餘式 \(R\) 為零，這意味著除式 \(D(x)\) 是 \(P(x)\) 的一個因式 (factor)。找出因式對於解多項式方程（如三次方程）至關重要。
（註：雖然多項式長除法是一項核心技能，但下方的餘式定理與因式定理提供了更快速檢查因式或求出餘數的方法。）
1.2 餘式定理：速算捷徑
餘式定理是一個超級好用的捷徑！它能讓你無需進行長除法即可求出餘數。
法則：
當多項式 \(P(x)\) 除以一次除式 \((x-a)\) 時，其餘數始終等於 \(P(a)\)。
步驟範例：
- 找出除式，例如 \((x-3)\)。這代表 \(a=3\)。
- 將此數值代入多項式 \(P(x)\)。
- 所得的結果 \(P(3)\) 即為餘數。
常見錯誤提示！
如果除式是 \((x+5)\)，那麼 \(a = -5\)。你必須代入能使括號內為零的數值。
1.3 因式定理：尋找根
因式定理其實就是餘式定理的一種特殊情況。
法則：
如果多項式 \(P(x)\) 除以 \((x-a)\)，且餘數 \(P(a)\) 為零，那麼 \((x-a)\) 就是 \(P(x)\) 的一個因式。
記憶小撇步： 如果 \(P(a) = 0\)，代表餘數為零，意味著 \((x-a)\) 能完美整除——它就是一個因式！
利用因式定理求解方程
這是它的主要應用！如果你要解三次方程，你需要透過試誤法（代入一些簡單的小數字，如 \(-2, -1, 1, 2\)）至少找到一個因式。
求解三次方程的流程：
- 找出第一個因式： 測試簡單的 \(a\) 值，直到找到令 \(P(a)=0\) 的數。假設你找到 \(P(2)=0\)，這代表 \((x-2)\) 是其中一個因式。
- 找出剩餘因式（二次式）： 使用代數長除法或觀察法將 \(P(x)\) 除以 \((x-2)\)，這會得到一個二次式 \(Q(x)\)。
- 完全因式分解： 將所得的二次式 \(Q(x)\) 進一步分解為兩個線性因式（如果可以的話）。
- 求解： 將所有因式設為零，即可求出所有根。
第 1 節關鍵總結： 餘式定理與因式定理讓我們能快速分析多項式。餘式定理用於求出剩餘部分；因式定理用於確認 \((x-a)\) 是否能完美整除（餘數 = 0）。
第 2 節：函數：複合與反函數
函數本質上就是數學處理過程。我們放入一個輸入值，就會得到一個唯一且確定的輸出值。在 P2 中，我們要學習如何將這些過程串聯起來（複合函數），以及如何反向運作（反函數）。
2.1 複合函數 (\(fg(x)\))
當一個函數的輸出變成另一個函數的輸入時，就形成了複合函數。
符號記法：
$$fg(x)$$
這代表先執行 \(g\)，然後將結果代入 \(f\)。
類比：想像有兩台機器。\(g\) 是你餵入材料的第一台機器，它的輸出會直接掉進機器 \(f\) 中處理。
計算步驟：
設 \(f(x) = 2x + 1\) 且 \(g(x) = x^2\)。
若要計算 \(fg(x)\)：
- 從外層函數開始：\(f(x) = 2x + 1\)。
- 將 \(f\) 中的每一個 \(x\) 替換為整個 \(g(x)\) 函數。
- $$fg(x) = 2(g(x)) + 1$$
- 代入 \(g(x)\) 的定義：$$fg(x) = 2(x^2) + 1$$
關鍵點： \(fg(x)\) 通常不等於 \(gf(x)\)！
2.2 反函數 (\(f^{-1}(x)\))
反函數 \(f^{-1}(x)\) 執行的是與 \(f(x)\) **相反**的動作。如果 \(f(2) = 5\)，那麼 \(f^{-1}(5) = 2\)。
類比：如果 \(f(x)\) 是「加 3，然後乘以 2」，那麼反函數 \(f^{-1}(x)\) 必須是「除以 2，然後減去 3」。請注意順序是顛倒的！
以代數方式求反函數
要求出 \(f^{-1}(x)\)，請按照以下簡單步驟：
範例： 求 \(f(x) = 4x - 7\) 的反函數。
- 將 \(f(x)\) 替換為 \(y\)：
$$y = 4x - 7$$ - 交換 \(x\) 和 \(y\)：（這在數學上對調了輸入與輸出的角色）
$$x = 4y - 7$$ - 重新排列以 \(y\) 為主項：
$$x + 7 = 4y$$
$$y = \frac{x + 7}{4}$$ - 寫成反函數記法：
$$f^{-1}(x) = \frac{x + 7}{4}$$
反函數的圖像：
\(y = f^{-1}(x)\) 的圖像永遠是 \(y = f(x)\) 沿著直線 \(y = x\) 的反射 (reflection)。
小知識： 一個函數必須是一對一 (one-to-one) 對應（即每一個輸出都只對應一個輸入），才能在其整個定義域內擁有有效的反函數。如果不是，我們通常需要限制其定義域（這在二次函數中很常見）。
第 2 節關鍵總結： 複合意味著按順序執行函數（\(fg(x)\) 是先 \(g\) 後 \(f\)）。反函數則逆轉該過程，透過交換 \(x\) 與 \(y\) 並重組算式即可求出。
第 3 節：圖形變換
你在 P1 已經學習過基本變換。P2 要求你精通所有四種類型——平移、伸縮與反射，並深刻理解影響 \(x\) 變數（函數內部）與影響 \(y\) 變數（函數外部）之間的關鍵差異。
3.1 理解通用法則
設 \(y = f(x)\) 為原始曲線。
黃金法則： 在括號外部的變更 \((f(x) \pm a)\) 會影響 \(y\) 軸（垂直方向），且較符合直覺。在括號內部的變更 \((f(x \pm a))\) 會影響 \(x\) 軸（水平方向），且較反直覺（與你預期的方向相反）。
| 變換 | 規則 | 效果 |
|---|---|---|
| 垂直平移 (上/下) | \(y = f(x) + a\) | 向上平移 \(a\) 個單位 (y坐標 $\to$ y+a) |
| 水平平移 (左/右) | \(y = f(x + a)\) | 向左平移 \(a\) 個單位 (x坐標 $\to$ x-a)。(反直覺！) |
| 垂直伸縮 | \(y = a f(x)\) | 垂直伸縮因子為 \(a\) (y坐標 $\to$ ay) |
| 水平伸縮 | \(y = f(ax)\) | 水平伸縮因子為 \(1/a\)。若 $a>1$ 則收縮。(x坐標 $\to$ x/a)。(反直覺！) |
| x 軸反射 | \(y = -f(x)\) | 垂直反射。(y坐標 $\to$ -y) |
| y 軸反射 | \(y = f(-x)\) | 水平反射。(x坐標 $\to$ -x) |
鼓勵： 如果水平平移讓你感到困惑，不用擔心！記住口訣：「內部皆謊言！」，內部寫著 \(+a\) 實際上意味著在 \(x\) 軸上向負方向移動 \(a\)。
3.2 組合變換
你可能會被要求描述將 \(y=f(x)\) 變換為複雜函數（如 \(y = 2f(x-3) + 1\)）所需的步驟順序。
順序很重要！（請記住 SR-T）
當組合變換時，特別是涉及伸縮/反射與平移時，順序至關重要。
標準順序法則：
先進行伸縮與反射 (Stretches and Reflections, SR)，然後再進行平移 (Translations, T)。
範例： 描述從 \(y = f(x)\) 變換到 \(y = 2f(x) + 5\) 的步驟。
- 伸縮/反射 (SR)： 垂直伸縮，伸縮因子為 2（乘以 \(y\) 值）。（這是由函數外部的 2 所導致）。
- 平移 (T)： 向上垂直平移 5 個單位（\(y\) 值加 5）。（這是由函數外部的 +5 所導致）。
關於水平變換順序的提示
如果變換涉及 \(x\) 的係數（水平伸縮）與水平平移的組合，有時需要先將函數因式分解，才能正確識別平移量。
例如，\(f(2x + 6)\) 應改寫為 \(f(2(x + 3))\)，這樣才能正確識別伸縮（因子 1/2）和平移（向左 3 個單位）。
第 3 節關鍵總結： 搞清楚內部變更（\(x\) 軸，反直覺）與外部變更（\(y\) 軸，直覺）的差異。當組合步驟時，請務必遵循先伸縮/反射後平移 (SRT) 的順序。
章節複習：快速檢查
Algebra and Functions 核心 P2 技能：
- 餘式定理： 除以 \((x-a)\) 時，透過計算 \(P(a)\) 找到餘數 \(R\)。
- 因式定理： 若 \(P(a) = 0\)，則 \((x-a)\) 是因式。
- 複合函數： \(fg(x)\) 意味著將 \(g(x)\) 代入 \(f\)。
- 反函數： 設 \(y=f(x)\)，交換 \(x\) 與 \(y\)，最後重組算式求出。
- 圖形變換： \(y = f(x-a)\) 向右移動。\(y = f(ax)\) 水平伸縮因子為 \(1/a\)。順序很重要（先 SR 後 T）。