力學 2 (Mechanics 2)：碰撞筆記

你好，未來的物理學家！歡迎來到令人興奮的碰撞 (Collisions)章節。在這裡，我們將運用你所學的動量、能量和衝量知識，來理解物體碰撞時發生的現象——從微小的粒子到相撞的撞球。如果起初覺得有點複雜，不用擔心；我們會將這些複雜的問題拆解為兩條簡單而強大的定律。學完這一章，你將能夠預測物體碰撞後的運動速度！

為什麼要學習碰撞？

理解碰撞對於工程學、物理學，甚至是安全設計（想想汽車碰撞測試！）都至關重要。在 M2 中，碰撞是透過完美的數學規則來建立模型的，這使我們能夠精確地解決涉及直接碰撞（一維）和斜碰撞（二維）的問題。

第一部分：基礎回顧——衝量與動量

碰撞是一個極短暫的過程，期間兩個物體之間會產生巨大的作用力。控制這種相互作用的核心概念是衝量 (Impulse)與動量 (Momentum)。

動量 (\(p\))

動量是物體所具備的「運動量」。

\(p = m v\)
其中 m 為質量 (kg)，v 為速度 (\(m s^{-1}\))。動量是一個向量 (vector quantity)，這意味著方向非常重要！

衝量 (\(I\))

當碰撞發生時，衝擊力會產生衝量。衝量定義為動量的變化。

\(I = F t = m v - m u\)

重點總結： 在碰撞過程中，動量永遠守恆，但衝量決定了個別粒子的速度如何改變。

第二部分：控制定律——動量守恆

動量守恆定律 (Principle of Conservation of Momentum, PCM) 是碰撞動力學中最基本的規則。

PCM 的內容是什麼？

當兩個或多個物體發生碰撞時，若系統沒有受到外力（如空氣阻力或摩擦力）作用，則碰撞前的總動量等於碰撞後的總動量。

PCM 方程（直接碰撞）

考慮兩個粒子，粒子 1（質量 \(m_1\)）和粒子 2（質量 \(m_2\)），沿著同一直線移動。

  • 初始速度（碰撞前）：\(u_1\) 和 \(u_2\)
  • 最終速度（碰撞後）：\(v_1\) 和 \(v_2\)

碰撞前總動量 = 碰撞後總動量
\(m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2\)

關鍵約定：方向！

由於動量是向量，你必須保持方向的一致性。

  • 步驟 1： 定義一個正方向（例如：向右）。
  • 步驟 2： 任何向反方向移動的速度，在方程式中必須代入負值。

例子： 如果 \(m_2\) 向左移動 (\(u_2\))，而你定義向右為正，則在方程式中必須使用 \(-u_2\)。

快速複習：PCM

務必先畫出清晰的圖表，標示出初始和最終的方向。在碰撞問題中，通常會有兩個未知數，因此你需要第二個方程式（稍後會提到！）來解題。

第三部分：直接碰撞（一維）與恢復係數

在大多數碰撞問題中，單獨應用 PCM 會得到一個包含兩個未知數（\(v_1\) 和 \(v_2\)）的方程式。我們需要第二條定律來描述碰撞的「彈性」程度。這就是牛頓實驗定律 (Newton's Experimental Law, NEL)。

牛頓實驗定律 (NEL)

NEL 引入了恢復係數 (Coefficient of Restitution, \(e\))，它衡量分離時的相對速度與接近時的相對速度之比。你可以把 \(e\) 想像成「彈性係數」。

恢復係數 (\(e\))

\(e\) 的值必須始終介於 0 和 1 之間：

\(0 \le e \le 1\)

其定義方程式為：

\(e = \frac{\text{分離速率}}{\text{接近速率}}\)

假設粒子 1 正在接近粒子 2（即 \(u_1 > u_2\)）：

\(v_2 - v_1 = e (u_1 - u_2)\)

類比： 想像掉落一個網球。如果它反彈的高度與擊中地面時的速度相同，則 \(e=1\)。如果它擊中地面後停止不動（像一團黏土），則 \(e=0\)。

解決一維碰撞問題（4 步驟流程）

每個標準的一維碰撞問題都可以透過結合 PCM 和 NEL 來解決。

  1. 繪圖與約定： 繪製「碰撞前」和「碰撞後」的圖。選擇一個正方向（例如向右），並清楚標示所有已知的質量和速度（反向速度需加上負號）。
  2. 應用 PCM： 建立方程式 \(m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2\)。這得到方程式 (1)。
  3. 應用 NEL： 建立方程式 \(v_2 - v_1 = e (u_1 - u_2)\)。這得到方程式 (2)。
  4. 聯立求解： 使用代入法或消去法解出未知的速度 (\(v_1\) 和 \(v_2\))。記得檢查最終答案的符號，以確認運動方向。
常見錯誤提示！

應用 NEL 時，請確保減法的順序一致。如果你在左側使用 \(v_2 - v_1\)，則右側必須使用 \(u_1 - u_2\)。這能保持「相對分離速度（2 相對於 1）」= \(e \times\)「相對接近速度（1 相對於 2）」。

第四部分：碰撞類型與能量損失

恢復係數 \(e\) 的值明確地告訴我們處理的是哪種類型的碰撞。

情況 1：完全彈性碰撞 (\(e = 1\))

彈性碰撞是指動能 (KE) 守恆的碰撞。

  • 物體分離時的相對速度與接近時相同。
  • 碰撞前總動能 = 碰撞後總動能。
情況 2：完全非彈性碰撞 (\(e = 0\))

非彈性碰撞是指物體在碰撞後合併（黏在一起）的碰撞。

  • 它們會以相同的最終速度一起移動 (\(v_1 = v_2\))。
  • 這會導致動能發生最大的損失。
動能損失 (LKE)

除非 \(e=1\)，否則在碰撞中動能總會有所損失，通常會轉化為熱能和聲能。你必須學會計算這種損失。

LKE 的定義為：

LKE = 初始總動能 - 最終總動能

記住動能公式：

\(KE = \frac{1}{2} m v^2\)

重要： 動能是一個標量，因此無論速度方向如何，它永遠是正值。計算動能時，速度不用帶負號！

你知道嗎？

在物理學中，不存在真正的「完全彈性」碰撞 (\(e=1\))，因為總會有一部分能量轉換為聲能和熱能。不過，撞球之間的碰撞非常接近這個理想狀態！

第五部分：斜碰撞（二維）

當粒子以一定的角度撞擊另一個物體（而非正面撞擊）時，這就是斜碰撞。由於這是發生在二維空間，我們必須使用向量分解。

解決二維碰撞的關鍵在於識別衝擊力的方向：

  • 衝擊力總是作用在中心連線 (line of centres)（或稱衝擊線 line of impact）上。
  • 在垂直於衝擊線的方向上沒有衝量作用。
M2 解決斜碰撞的規則

我們在兩個互相垂直的方向上分析運動：

A. 沿衝擊線方向（平行分量）

這是碰撞力作用的方向。一維碰撞的所有規則皆適用於此。

  1. 速度分量： 將所有初始速度 (\(u\)) 分解到衝擊線上。
  2. 應用 PCM： 動量守恆在此線上成立。
    \(m_1 u_{1, \text{parallel}} + m_2 u_{2, \text{parallel}} = m_1 v_{1, \text{parallel}} + m_2 v_{2, \text{parallel}}\)
  3. 應用 NEL： 牛頓定律僅在此線上適用。
    \(v_{2, \text{parallel}} - v_{1, \text{parallel}} = e (u_{1, \text{parallel}} - u_{2, \text{parallel}})\)

B. 垂直於衝擊線方向（切線分量）

由於此方向沒有衝擊力，因此每個粒子的動量（即速度）在此方向上均保持不變。

對於粒子 1：

\(v_{1, \text{perpendicular}} = u_{1, \text{perpendicular}}\)

對於粒子 2：

\(v_{2, \text{perpendicular}} = u_{2, \text{perpendicular}}\)

合成最終結果

一旦求出了每個粒子最終的平行和垂直分量 (\(v_{parallel}\) 和 \(v_{perpendicular}\))，就必須使用畢氏定理和三角函數將它們合併，以找出最終速度的總大小和方向。

\(v = \sqrt{(v_{parallel})^2 + (v_{perpendicular})^2}\)

二維碰撞重點總結

解決二維碰撞時，請記住核心原則：

  • 平行方向： 使用 PCM 和 NEL（方程式涉及兩個粒子）。
  • 垂直方向： 速度保持不變（方程式一次只涉及一個粒子）。

第六部分：進階考慮——與固定表面的碰撞

一個常見的特殊情況是粒子與大型固定物體（如牆壁或地面）發生碰撞。

如果粒子撞擊固定表面，表面的質量可視為無限大。我們不使用 PCM，因為表面可以吸收或傳遞無限的動量（它屬於外體）。我們只使用 NEL。

如果球撞擊牆壁，牆壁在碰撞前後的速度均為 \(u_{wall} = 0\) 和 \(v_{wall} = 0\)。

將 NEL 應用於固定表面

考慮一個速度為 \(u\) 的粒子撞擊固定表面並以速度 \(v\) 反彈。接近的相對速度為 \(u\)，分離的相對速度為 \(v\)。

\(v = e u\)

注意： 如果是斜碰撞，NEL 規則僅適用於垂直於牆壁的速度分量。平行於牆壁的速度分量保持不變（假設表面是光滑且無摩擦的）。

你已經完成了 M2 最棘手的一章！碰撞問題非常依賴你解聯立方程式的代數技巧以及對向量分量的處理能力。熟能生巧——繼續應用這兩條強大的定律（PCM 和 NEL），你一定會成功！

祝你學習順利！